10.1.2 立方根-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(华东师大版2024)

2.立方根 课题 10.1.2. 立方根 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P5-8 教学目标 1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根. 2.会用立方运算求一个数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算. 3.了解立方根的性质,并学会用计算器去计算一个数的立方根的近似值. 4.区分立方根与平方根的不同. 5.领会并掌握采用类比的方法去学习平方根和立方根的思想. 6.通过对立方根的探究过程,学会解决有关立方根问题的一些基本方法和策略. 7.通过对立方根概念及其性质的探究,培养学生分类讨论的思想和逆向思维的能力. 8.在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中,培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神. 9.学生通过对实际问题的解决,体会数学的实用价值. 教学重难点 重点：立方根的概念和性质,会求某些数的立方根. 难点：立方根的求法,立方根与平方根的联系及区别. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师展示课件。 教师：某化工厂使用半径为1 m的一种球形储气罐储藏气体。现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？ 学生活动：学生思考，回答问题。 教师点拨：有关体积的运算和面积的运算有类似之处,那么有关立方问题与平方问题是否也有类似之处呢? 答案预设： 设新的球形气罐的半径为r m. 如果储气罐的体积是原来的8倍，则：，r3=8，解得：r=2， 因此，它的半径是原储气罐半径的2倍。 教师追问：如果储气罐的体积是原来的4倍呢？ 答案预设：如果储气罐的体积是原来的4倍， 则，r3=4，r=？ 提问：这样的数该如何表示？ 教师：学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案。有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识。 （教师板书：3.立方根） 由实际问题列出算式过渡到立方根的讲解，让学生感受数学与实际生活的紧密联系。 找不到一个整数或分数的立方等于4，所以r是一个无理数。通过提问引出本节课的内容。 2.实践探究，学习新知 【探究1】立方根的定义 教师提问：为了解决前面情境中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运算？ 师生活动：教师先给出平方根的定义，让学生试一试，用类比的方法给出立方根的定义。 教师总结：立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。如：如2是8的立方根，是的立方根，0是0的立方根。 【探究2】开立方 教师提问： 问题1:什么叫开平方? 问题2:类似开平方的运算,你能定义出开立方运算吗? 师生活动：教师先给出开平方的定义，让学生试一试，用类比的方法给出开立方的定义。 教师总结：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。开立方与立方互为逆运算。 【探究3】立方根的性质 教师提问： 问题1:2的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也等于2的立方? 问题2:-3的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也等于-3的立方? 问题3:0的立方等于多少?0有几个立方根? 学生讨论回答： （1）2的立方等于8，(-2)3=-8，所以没有其他的数的立方等于8。 （2）-3的立方等于-27，33=27，所以没有其他的数的立方等于-27。 （3）0的立方等于0，0有一个立方根； 练习：求下列各式的值. 学生活动：独立完成并抢答。 因为23=8，所以8的立方根是( )； 因为( )3=-8，所以-8的立方根是( )； 因为( )3=0，所以0的立方根是( )； 因为( )3=27，所以27的立方根是( )； 因为( )3 =-27，所以-27的立方根( )。 答案：2；-2，-2；0，0；3，3；-3，-3。 教师活动：教师先让学生独立完成，再引导学生观察思考，并追问：通过上述过程你发现了什么呢？思考下面问题 （1）正数有几个立方根？ （2）0有几个立方根？ （3）负数有几个立方根？ 学生活动：学生小组讨论，思考完成问题。 答案预设：正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是0。 教师活动：在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理。 教师总结：每一个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号a”。例如x3=7时，x是7的立方根，即=x。 教师强调：任何有理数都有立方根，而且它的立方根是唯一的！简单来记就是唯一性，同号性。与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略。 教师活动：带领学生整理平方根与立方根的个数的异同并填表。 【探究4】平方根与立方根的区别与联系. 教师提问:学习了平方根与立方根的定义,请大家说说它们的联系与区别(填写表格). 平方根 立方根 定义 表示方法 性质 (多媒体出示表格) 平方根 立方根 定义 如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(square root) 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做数a的立方根(cube root) 表示方法 ±(a≥0) 性质 1.一个正数a有两个平方根,它们互为相反数.如4的平方根为+2和-2,即±=±2 1.一个正数a只有一个立方根,它仍为正数.如8的立方根为2,即=2 2.0的平方根是0. 即=0 2.0的立方根是0. 即=0 3.负数a没有平方根 3.一个负数a只有一个立方根,它仍为负数. 如:-8的立方根为-2,即=-2 教师总结：立方根是它本身的数有1, -1, 0；平方根是它本身的数只有0。 【归纳总结】 1.立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。 2.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 3.每一个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号a”。 4.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。开立方与立方互为逆运算。 【教材例题】 例1 求下列各数的立方根： （1）-27； （2） ； （3）0.216； （4）-5。 学生活动：先独立思考，再小组交流探讨，明确例题的做法。 解：（1）因为（-3）3=-27，所以-27的立方根是-3，即 （2）因为()3=，所以的立方根是，即 （3）因为0.63 = 0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 （4）-5的立方根是 拓展：表示a的立方根，那么等于什么？呢？ 教师活动：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，则可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，则可以引导学生分析：如果=a，那么x就是a的立方根，即，所以==a，同样，根据定义，是a的三次方，所以的立方根就是a，即，=。 答案：a；a。 规律总结：对于任何数a都有。 练习： ； ； ； 。 答案：2；-3；4；-5。 例2 求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3）； （4） 解：（1） （2） （3） （4） 回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，由平方根概念，学生类比得到立方根的概念，让学生的学习形成正迁移，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系。 在已学的开平方的基础上得出开立方的定义，有利于加深对立方根概念的理解。同时通过举例再次强调：“开立方”与“立方”互为逆运算。 使学生进一步了解求一个数的立方与求一个数的立方根是互为逆运算，感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、0。这样设计，旨在让学生在此过程中渗透分类讨论的思想方法。 学生通过前面的例子，很容易回答出三个问题的答案。此处要重点强调立方根与平方根的个数的不同之处，得出结论。 例1着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法。 通过归纳总结，激发学生思考，并讨论交流。引导学生从数学现象背后发现数学规律。 例2则巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质。 3.学以致用，应用新知 考点 立方根 例 下列说法中，正确的是（ ） A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B．一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 答案：D。 变式训练 求下列各式的值： (1)－；(2)； (3)－÷＋。 解：(1)－＝－7； (2)＝＝－； (3)－÷＋＝2÷＋＝2÷＋1＝2×＋1＝。 巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列说法正确的个数有（ ） （1）－4没有立方根； （2）1的立方根是±1； （3）－5的立方根是； （4）64的算术平方根是8； （5）正数有两个立方根，负数没有立方根. A.1 B.2 C. D.4 答案：B 2.8的立方根为( ) A．2√2 B．±2√2 C．2 D．±2 答案：C 3.求下列各式中x的值. （1）x3=0.125； （2）(x-1)3-8=0； （3）4(x-1)3=-256。 解：（1） （2）由原方程，得， 则， 解得 （3）由原方程，得， 则， 解得 4.若=2，=4，求的值。 解：因为=2，=4， 所以x=23，y2=16， 所以x=8，y=±4。 所以x+2y=8+2×4=16或x+2y=8–2×4=0。 所以==4或==0。 及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的. 5.课堂小结，自我完善 1.了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根。 2.在学习中应注意以下5点： （1）符号中根指数“3”不能省略； （2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根； （3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根； 负数没有平方根，但却有一个立方根； （4）灵活运用公式：=a，，=； （5）立方与开立方也互为逆运算．我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根。 引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化。通过小结，学生进一步加深了对类比学习方法的感受，对所学的知识进行了梳理，学习更有条理性。 6.布置作业 课本P7练习和习题。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 2.立方根 提纲掣领，重点突出。 教后反思 1.关注类比思想的渗透，关注学习方法的指导 类比是在两类不同的事物之间进行的对比，在找出若干相同或相似点之后，推测在这两类事物的其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。当然，类比的结果是猜测的，不一定可靠，但它作为一种思考问题的方法，可以发现数学结论，可以沟通数学知识，可以解决生活中的一些实际问题，具有发现的功能，有助于发展学生的创新精神。因此，学习中要注意渗透这样的思维方式，实际上，类比学习法让学生省时省力，在学习新知的同时巩固已学的知识，通过新旧对比更好地掌握知识。为此，本节课让学生应用类比法顺理成章地学习立方根的概念、性质、运算．同样在学生以后的数学学习中，可以通过三角形类比四面体、通过圆类比球…… 2.关注学生个体差异，关注学生探究过程 教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化。在教学活动中，教师应关注学生的参与程度和表现出来的思维水平，应关注学生对“议一议”“想一想”“比一比”的探究情况和学生反馈练习的完成情况，应关注学生是否理解立方和开立方是互为逆运算的，是否会用根号正确地表示一个数的立方根。教学过程中，教师应给予学生充足的思考和计算的时间，使学生用原有知识进行新知识建构，对于学生的回答应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立自信。 3.需要说明的几个问题 在“尝试反馈，巩固练习”的环节中的例1补充了带分数的立方根求法，在教学中只要讲明将带分数转化为假分数，再求立方根的方法，学生就容易掌握。例2则为“深入探究”环节补充立方根性质的3个公式，即=a, ，=打下了基础；若学生基础较差，则教师也可删去这3个公式。“课堂小结”中的探究与思考，将平方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习，教师在教学过程中可根据学生的学习情况确定是否补充这部分内容，也可留给学生课后思考，分层要求，调动不同学生的学习热情。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$