20.1 轴对称 线段的垂直平分线的性质 课件 2024-2025学年人教版（五四制）数学八年级上册

20.1 轴对称 线段的垂直平分线 画一画、想一想 1、请大家两个人为一组，一个人画一条线段AB另一人作出这条线段的垂直平分线 2、在线段AB的垂直平分线上任取一点P，分别连结PA、PB，你发现连结的这两条线段有什么关系？ 3、换个点再试一试？通过刚才的探究，你有猜想，如何验证？ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 探究发现 线段垂直平分线的性质 已知：如图，MN⊥AB于点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点。试说明：PA=PB △APC≌△BPC 边: 角: 边: ∠ACP=∠BCP AC=BC 分析：要得到AP=BP PC=PC C M A B N P （1）如何说明PA=PB？ 思考 （2）请你书写过程？ 归纳总结 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 几何语言 C M A B N P ∵MN⊥AB，AC=BC，点P在直线MN上 ∴AP=BP 点在线段垂直平分线上 距离（线段）相等 【用途】利用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可以解决线段相等的问题。 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D A B C E D （1）若∠A = 40°，求∠DBC的度数； （2）若△DBC的周长为15cm，BC=5cm， 求AC的长。 解：(1)∵AB=AC,∠A = 40° ∴∠C=∠ABC=（180°-40°） 2=70° ∵DE垂直平分AB ∴AD=BD ∴∠A =∠ABD =40° ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30° (2)∵DE垂直平分AB ∴AD=BD ∴AD+CD=BD+CD=AC ∵△DBC的周长为15cm ，BC=5cm ∴BD+CD+BC=15 ∴BD+CD=AC=10cm A B C E D 练一练： A B C D E 图② 1.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点 D，交边AC于点E,AC的长是10cm ,则△BCE的周长等于 . 18cm 探究发现 线段垂直平分线的判定 问题1：请你指出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的条件和结论。 条件：点在线段的垂直平分线上 结论：点到线段两端点的距离相等 问题2：请你写出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的逆命题。 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 问题3：这个命题是真命题吗？若是，请你证明，若不是，请举反例。 探究发现 线段垂直平分线的判定 已知：如图，QA=QB 试说明：点Q在线段AB的垂直平分线上 Q A B M N C 解：过点Q作MN⊥AB于点C 在Rt△AQC和Rt△BQC中 ∴∠QCA=∠QCB=90° AQ=BQ（已知） QC=QC（公共边） ∴Rt△AQC≌Rt△BQC（HL） ∴AC=BC 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 作垂直， 证中点 取中点，证垂直 归纳总结 线段垂直平分线的判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 几何语言 ∴ MN⊥AB，AC=BC ∵ AQ=BQ 点到线段两端点距离相等 点在线段的垂直平分线上 【用途】利用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可以解决点的位置问题。 Q A B M N C 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D A B C E D （1）若∠A = 40°，求∠DBC的度数； （2）若△DBC的周长为15cm，BC=5cm， 求AC的长。 解：(1)∵AB=AC,∠A = 40° ∴∠C=∠ABC=（180°-40°） 2=70° ∵DE垂直平分AB ∴AD=BD ∴∠A =∠ABD =40° ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30° (2)∵DE垂直平分AB ∴AD=BD ∴AD+CD=BD+CD=AC ∵△DBC的周长为15cm ，BC=5cm ∴BD+CD+BC=15 ∴BD+CD=AC=10cm A B C E D 练一练： A B C D E 图② 1.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点 D，交边AC于点E,AC的长是10cm ,则△BCE的周长等于 . 18cm 探究发现 线段垂直平分线的判定 问题1：请你指出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的条件和结论。 条件：点在线段的垂直平分线上 结论：点到线段两端点的距离相等 问题2：请你写出“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等” 的逆命题。 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 问题3：这个命题是真命题吗？若是，请你证明，若不是，请举反例。 探究发现 线段垂直平分线的判定 已知：如图，QA=QB 试说明：点Q在线段AB的垂直平分线上 Q A B M N C 解：过点Q作MN⊥AB于点C 在Rt△AQC和Rt△BQC中 ∴∠QCA=∠QCB=90° AQ=BQ（已知） QC=QC（公共边） ∴Rt△AQC≌Rt△BQC（HL） ∴AC=BC 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 作垂直， 证中点 取中点，证垂直 归纳总结 线段垂直平分线的判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 几何语言 ∴ MN⊥AB，AC=BC ∵ AQ=BQ 点到线段两端点距离相等 点在线段的垂直平分线上 【用途】利用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可以解决点的位置问题。 Q A B M N C 例2 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA, ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB ∴∠DOE=∠AOE,∠EDO=∠ECO ∴OE是CD的垂直平分线 ∴△OED≌△OEC（AAS) ∴DO=CO 在△OED和△OEC中， OE=OE ∠EDO=∠EC0 ∠DOE=∠AOE 2.在△ABC中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足AB+BD=DE， 求证：点C在线段AE的垂直平分线上。 练一练： C A B D E 证明：∵AD垂直平分BC ∴AB=AC,BD=CD ∵AB+BD=DE ∴AC+CD=DE 又∵CE+CD=DE ∴AC=CE ∴点C在线段AE的垂直平分线上 随堂演练 基础巩固 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上的一点.已知线段MA=12cm，则线段MB的长为_____cm. 12 2. 在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（ ） A.50° B.40° C.40°或140° D.40°或50° C 3.画出下列图形的对称轴（有几条对称轴就画出几条，不要遗漏）. 综合应用 4.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处BC′交AD于E； （1）若∠DBC=22.5°，则在不添加辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有多少个？ （2）你认为图中有多少组全等三角形，并把他们写下来. 解：（1）5个. （2）4组， △BCD≌△BC′D，△ABE≌△C′DB，△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB. 课堂小结 　　线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 　　 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． $$