15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（课件）2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦人教版八年级上册“线段的垂直平分线”，围绕性质定理、判定定理及互逆命题展开，通过复习轴对称性质与垂直平分线概念导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于以合作探究为主线，结合对折操作、几何画板动态演示（含几何画板文件链接），培养学生几何直观与推理意识，通过实例对比性质与判定，结构化小结梳理知识脉络，既提升学生探究能力，又为教师提供清晰教学路径。

人教版2024·八年级上册 第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 15.1 图形的轴对称 章节导读 第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.2 画轴对称图形 15.1 等腰三角形 15.1.1 轴对称及其性质 15.1.2 线段的垂直平分线 15.3.1 等腰三角形 15.3.2 等边三角形 学习目标 了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立； 理解并证明垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 复习引入 轴对称的性质： 连接对称点的线段被对称轴垂直平分 垂直平分线的概念： 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线 对称轴就是线段的垂直平分线 具有什么性质呢？ 合作探究 探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现? 发现 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、 线段P2A与P2B、线段P3A与P3B......都是重合的， 因此P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B. 猜想 线段的垂直平分线有以下性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 合作探究 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 信息技术验证 已知 求证 合作探究 直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. PA=PB. 证明 当点P与点C重合时，显然成立. 当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB. 又AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 合作探究 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上， ∴ PA=PB . 解：点P在线段AB的垂直平分线上.理由如下： 过点P作PC⊥AB于点C， ∴∠ACP=∠BCP=90°. 在Rt△ACP和Rt△BCP中， ∴ Rt△ACP≌Rt△BCP(HL). ∴ AC=BC， ∴PC垂直平分AB，即点P在线段AB的垂直平分线上. 合作探究 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗?即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢? 针对训练 教材P67练习 第1题 如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？ A B E D C 针对训练 教材P67练习 第1题 解：AB = AC = CE，AB + BD = DE. 理由： ∵AD⊥BC，BD = DC， ∴AD 是 BC 的垂直平分线. ∴AB = AC. 又点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴AC = CE. ∴AB = AC = CE. 又 BD = DC， ∴AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE. A B E D C 2.线段垂直平分线的判定 思 考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 已知：如图，在△ABP 中 PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 猜想：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 A B P 2.线段垂直平分线的判定 证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°． 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， ∵PA = PB，PC = PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)． ∴AC = BC． 又 PC⊥AB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． A B P C 2.线段垂直平分线的判定 A B P C 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【点击打开几何画板文件】 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 几何语言： ∵ PA = PB， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. 针对训练 2. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ 教材P67练习 第2题 A B M C 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 理由：∵AB = AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上. ∵MB = MC， ∴点 M 也在线段 BC 的垂直平分线上， ∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 探究新知 名称 角平分线 线段垂直平分线 图示 性质 判定 C A B O D E P A B P C 角平分线上的点到角两边的距离相等 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 探究新知 3. 互逆命题与互逆定理 思 考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 探究新知 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 线段的垂直平分线的性质与判定 “对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角” 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 两个命题的题设、结论正好相反. 探究新知 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 线段的垂直平分线的性质与判定 角的平分线的性质与判定 “两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” ······ 探究新知 题型3：线段的垂直平分线的判定 例4.△ABC 中，AB =AC,D 在AB边上，M 在线段AD上，且MB =MC, 求证：DB =DC． A B C D M 解 方法1：定义法。 △ABM≌△ACM（SSS） ∠BAD=∠CAD △ABD≌△ACD（SAS） BD=CD ∠ABD=∠ADC=90° 方法2：判定定理法。 ∵ AB = AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上 ∵ MB = MC， ∴点M在线段BC的垂直平 分线上 ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线 ∵D在直线AM 上， ∴ DB=DC. 题型4：线段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用 例5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC 的延长线于点 F.求证: (1)FC=AD. (2)AB=BC+AD. 证明(1)∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠FCE. ∵E是CD的中点, ∴DE=EC. 在△ADE 与 △FCE 中， ∴△ADE≌△FCE, ∴ FC=AD. ∠ADE=∠FCE DE=EC ∠AED=∠FEC ∵△ADE≌△FCE, ∴AE=EF,AD=CF. ∵BE⊥AE, ∴BE 是线段AF 的垂直平分线, ∴AB=BF=BC+CF. ∵AD=CF, ∴AB=BC+AD. 变式2.如图所示，已知AB=AC，DB=DC,P 是 AD 上的一点, 求证:∠ABP=∠ACP. 题型4：线段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用 课堂小结 性质 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 见垂直平分线，得线段相等 线段的垂直平分线 判定 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 命题 互逆命题 互逆定理 当堂练习 QING JING YIN RU 8. 如图所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . 10 cm A B C D E 7.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是_______． 10° 当堂练习 QING JING YIN RU 9.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD. A B C D E F 证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE. ∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE，∴ FC＝AD. (2) ∵△ADE≌△FCE， ∴ AE＝FE. 又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝BF＝BC＋CF. ∵ AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD. 当堂练习 QING JING YIN RU 10.已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD. 求证：OE 是 CD 的垂直平分线. A B O E D C 证明：∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴ OE 是 CD 的垂直平分线. ∴ DE = CE. 又 ∵ OE = OE， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC. ∴ DO = CO. $