精品解析：2025年湖南省株洲市天元中学中考数学适应性试卷

2025年湖南省株洲市天元中学中考数学适应性试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 2025年武汉马拉松的报名人数达到了人．数据可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的三视图，则此几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 直三棱锥 D. 球 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是甲、乙两位女生9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 计算的结果是（　　） A. 16 B. C. 4 D. 7. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，其中，，，为中点，过点，交、于点、，连接、，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 四边形不可能为正方形 10. 对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（ ） A. ， B. 若无论取何值时，的值均不变，则 C. 若，则、有且仅有组整数解 D. 若对任意有理数、都成立，则 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 单项式的次数是______________． 12. 因式分解：___________． 13. 已知点在y轴上，则______． 14. 不透明的袋子中装有6个球，其中有3个黑球、1个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球恰好是黑球的概率为_________． 15. 如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则________． 16. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 17. 如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ______． 18. 传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，能拼出1600多种不同的图形．嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图9-2所示，A，B，C三点在圆上． （1）的长为________； （2）圆的半径是________． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 20. 先化简，再求值：．其中． 21. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进个种头盔和个种头盔共需资金元，购进个种头盔和个种头盔共需资金元． （1）求，两种头盔的单价． （2）若该商店要购进种头盔的数量是种头盔数量的倍，且购进头盔的总金额不超过元，则该商店最多可以购进多少个种头盔？ 22. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活．技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好的甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于分（成绩得分用表示，共分为五组：：；：；：；：；：）． 下面给出了部分信息：甲款软件名使用者打分为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款软件名使用者打分在等级的数据是：，，，，，． 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款软件 乙款软件 （1）上述表中______；______； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中组所占圆心角的度数． （3）下列结论错误的是______． ①甲乙两款样本数据的中位数均在组； ②得分分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多． （4）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由． 23. 如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长为，斜坡的坡度，在C，D处测得楼顶端A的仰角分别为和． （1）求点D到地平面的距离； （2）求居民楼的高度（保留根号）． 24. 如图，在矩形ABCD中，O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的与对角线相交于点E，连接BE，且． （1）求证：BE是的切线； （2）若，BC长为6，求的半径． 25. 已知：二次函数与轴相交于、两点，与轴交于点，点是该二次函数图象上位于第一象限的动点． （1）求二次函数的表达式和直线的表达式； （2）连接，，若的面积为，求点的坐标； （3）如图，，是轴上点右侧不与重合两个动点，在的左边，，连接交直线于点，连接交直线于点，求的最小值． 26. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省株洲市天元中学中考数学适应性试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴这四个数中，是负数的是． 故选：A． 2. 2025年武汉马拉松的报名人数达到了人．数据可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图是某几何体的三视图，则此几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 直三棱锥 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状， 主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形． 主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥，由此可以得出答案． 【详解】解：主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥， 此几何体为圆锥， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5. 如图是甲、乙两位女生9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折线图及方差，根据折线图可知甲的成绩比较稳定，然后问题可求解．正确理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定， ∴． 故选：A． 6. 计算的结果是（　　） A. 16 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题的关键． 7. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 8. 如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，，其中，，，为中点，过点，交、于点、，连接、，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 四边形不可能为正方形 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得到，由此判断A选项；利用勾股定理的逆定理判断B选项；利用直角三角形斜边中线的性质定理得到，由此判断C选项；利用判断D选项． 【详解】证明：， ， ， 为中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形，故A选项正确； ，，， ， ， ，， ， 不是直角，故四边形不为矩形，故B选项错误； 当时，则， ， ， ， 四边形为菱形，故C选项正确； ，，， ， 四边形不可能为正方形，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，菱形及矩形的判定定理，正方形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，熟记各判定定理是解题的关键． 10. 对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（ ） A. ， B. 若无论取何值时，的值均不变，则 C. 若，则、有且仅有组整数解 D. 若对任意有理数、都成立，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可． 本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、由题意，得， 解得：，故选项A正确； B、， 若始终不变，则有种情况： ，则， ，少考虑一种情况，故选项B错误； C．， ， ， 当为整数时，，，， 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意， 综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确； D．当时，则， ， ， 即， 对任意有理数，都成立， ，故选项D正确． 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 单项式的次数是______________． 【答案】5 【解析】 【分析】单项式的次数是所有字母的指数的和，根据定义解题即可． 【详解】解：∵单项式的次数是所有字母的指数的和， ∴的次数是5次． 故答案为5． 【点睛】本题主要考查单项式的次数，能够熟练运用定义算出次数是解题关键． 12. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可．找出公因式，即可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 已知点在y轴上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． 14. 不透明的袋子中装有6个球，其中有3个黑球、1个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球恰好是黑球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据题意，用黑球数除以总球数即可得黑球的概率． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是：， 故答案为：． 15. 如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则________． 【答案】112 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到的度数，再由两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，∵射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴， 故答案为：． 16. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 17. 如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，由勾股定理得，根据，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，． 由勾股定理得，． ， ， ． 故答案为：． 18. 传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，能拼出1600多种不同的图形．嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图9-2所示，A，B，C三点在圆上． （1）的长为________； （2）圆的半径是________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，七巧板，正方形的性质，确定圆的条件，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先求出七巧板各个图形的边长，再根据是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成求解即可； （2）如图，延长交于，设圆心，连接，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到垂直平分，得到圆心在上，，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵边长为的正方形纸板做出如图9-1所示的七巧板， ∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和， ∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即， 故答案为：； （2）如图，延长交于，设圆心，连接， ∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形， ∴垂直平分， ∴圆心在上，， 由题意可得， 设半径，则， ∵中，， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数，零指数幂和负整指数幂，掌握相关的运算法则是解题的关键 首先根据0次幂、负指数次幂、绝对值以及三角函数的计算方法得出各式的值，然后进行求和. 【详解】 20. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 21. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进个种头盔和个种头盔共需资金元，购进个种头盔和个种头盔共需资金元． （1）求，两种头盔的单价． （2）若该商店要购进种头盔的数量是种头盔数量的倍，且购进头盔的总金额不超过元，则该商店最多可以购进多少个种头盔？ 【答案】（1）种头盔的单价为元，种头盔的单价为元 （2）个 【解析】 【分析】（）设种头盔的单价为元，种头盔的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； （）设商店购进个种头盔，则购进种头盔个，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种头盔的单价为元，种头盔的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种头盔的单价为元，种头盔的单价为元； 【小问2详解】 解：设商店购进个种头盔，则购进种头盔个， 由题意得，， 解得， 答：商店最多可以购进个种头盔． 22. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活．技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好的甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于分（成绩得分用表示，共分为五组：：；：；：；：；：）． 下面给出了部分信息：甲款软件名使用者打分为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款软件名使用者打分在等级的数据是：，，，，，． 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款软件 乙款软件 （1）上述表中______；______； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中组所占圆心角的度数． （3）下列结论错误的是______． ①甲乙两款样本数据的中位数均在组； ②得分分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多． （4）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由． 【答案】（1）100，98； （2）； （3）①③； （4）甲款； 理由： ∵甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数和中位数都大于乙款软件的众数和中位数， ∴甲款软件更优． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可解答； （2）用组所占百分比计算即可； （3）通过已知数据逐项分析即可； （4）根据甲、乙两款软众数和中位数判断即可． 本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 【详解】在甲款软件名使用者打分所得个数据中出现次数最多的是， 众数是，即； 乙款软件名使用者打分在等级的数据有个， 将乙款软件名使用者打分从大到小排列处在中间位置的两个数的平均数为， 即中位数， 故答案为：，； 扇形统计图中组所占圆心角的度数为； 由（1）知：乙款软件名使用者打分的中位数在组，故错误； 甲款软件名使用者打分中分以上的样本数据为，乙款软件名使用者打分中分以上的样本数据为：， 得分分以上的样本数据甲乙一样多，故正确； 甲款软件样本数据的众数为，共7个，乙款软件样本数据的众数为，且组数据总共有8个， 甲款软件样本数据比乙款样本数据的满分多，故错误， 故答案为：①③； 略 23. 如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长为，斜坡的坡度，在C，D处测得楼顶端A的仰角分别为和． （1）求点D到地平面的距离； （2）求居民楼的高度（保留根号）． 【答案】（1） （2）居民楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，根据斜坡的坡度，得出，设，则，求出，根据，求出，即可得出答案； （2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点， ∵斜坡的坡度， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D到地平面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 根据解析（1）可知：，， 由题意可得，， 设， 在中，， 解得， 在中，， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ． 答：居民楼的高度为． 24. 如图，在矩形ABCD中，O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的与对角线相交于点E，连接BE，且． （1）求证：BE是的切线； （2）若，BC长为6，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵OE为的半径， ∴BE是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出∠ABC=90°，由等腰三角形的性质得出∠EAO=∠AEO，∠CEB=∠ACB，证出∠OEB=90°，则可得出结论； （2）证明△BCE为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBE=60°，CB=BE=6，由直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键． 25. 已知：二次函数与轴相交于、两点，与轴交于点，点是该二次函数图象上位于第一象限的动点． （1）求二次函数的表达式和直线的表达式； （2）连接，，若的面积为，求点的坐标； （3）如图，，是轴上点右侧不与重合两个动点，在的左边，，连接交直线于点，连接交直线于点，求的最小值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则的面积，求出的值即可求点坐标； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，，由平行可得， ，求得，当时，有最小值． 【小问1详解】 解：将、代入， ， 解得， ； 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：连接，， 点是该二次函数图象上位于第一象限的动点， 设，，， 的面积， 解得，（负值舍去）， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设，， ， ， ，， 轴，轴， ， ， 同理，， ， 当时，取最大值， 此时有最小值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，平行线的性质等，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 26. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2） （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $