第二十二章 二次函数回归教材系列之教材重点例题与习题 2025～2026学年人教版九年级数学上册

回归教材系列 2025～2026学年人教版九年级上册数学回归教材系列 ——教材重点例题与习题 范围：人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数 1.填空： 已知函数，当          时，随的增大而减小，当          时，随的增大而增大； 已知函数，当          时，随的增大而增大，当          时，随的增大而减小． 2.分别写出抛物线与的开口方向、对称轴和顶点． 3.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，那么的面积随出发时间如何变化？写出关于的函数解析式及的取值范围． 4.根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式： ，，； ，，； ，，； ，，． 5.如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． 写出滚动的距离单位：关于滚动的时间单位：的函数解析式．提示：本题中，距离平均速度时间，，其中，是开始时的速度，是秒时的速度． 如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ 6.画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点．怎样移动抛物线就可以得到抛物线？ 7.探究 我们知道，由两点两点的连线不与坐标轴平行的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，探究下面的问题： 由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ 如果一个二次函数的图象经过，，三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式． 8.如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积与的关系式． 9.一个二次函数，当自变量时，函数值，当与时，求这个二次函数的解析式． 10.已知函数． 画出这个函数的图象； 观察图象，当取哪些值时，函数值为？ 11.如果，抛物线的顶点在什么位置时， 方程有两个不等的实数根？ 方程有两个相等的实数根？ 方程无实数根？如果呢？ 12.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系 ． 考虑以下问题： 小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多少飞行时间？ 小球的飞行高度能否达到？如果能，需要多少飞行时间？ 小球的飞行高度能否达到？为什么？ 小球从飞出到落地要用多少时间？ 13.某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件．已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．我们先来看涨价的情况． 设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化．我们先来确定随变化的函数解析式．涨价元时，每星期少卖件，实际卖出件，销售额为元，买进商品需付元．因此，所得利润 ， 即 ， 其中，． 根据上面的函数，填空： 当          时，最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价          元，即定价          元时，利润最大，最大利润是          ． 在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考的讨论，自己得出答案．由的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 14.图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽水面下降，水面宽度增加多少？ 15.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标： ； ． 16.如图，点，，，分别位于正方形的四条边上．四边形也是正方形．当点位于何处时，正方形的面积最小？ 17.某宾馆有个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？ 18.如图，正方形的边长是是上一点，是延长线上的一点，四边形是矩形，矩形的面积随的长的变化而变化，与之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 19.根据下列条件，分别确定二次函数的解析式： 抛物线过点，，； 抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，与轴交点的纵坐标是． 20.如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 21.如图，点，，，分别在菱形的四条边上，，连接，，，，得到四边形． 求证：四边形是矩形． 设，，当为何值时，矩形的面积最大？ 22.对某条路线的长度进行次测量，得到个结果，，，如果用作为这条路线长度的近似值，当取什么值时，最小？所取的这个值是哪个常用的统计量？ 答案和解析 1.【答案】【小题】     【小题】 2.【答案】解：抛物线开口向上，对称轴是轴，顶点是抛物线开口向下，对称轴是轴，顶点是．  3.【答案】解：由已知，，， 则，即． 又线段的长度只能为正数， ，即自变量的取值范围是． ， 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而减小．  4.【答案】【小题】解：  设函数解析式为，由函数图象过三点， 得关于，，的三元一次方程组解得 所以所求二次函数解析式为． 【小题】解：设函数解析式为， 由函数图象过三点，得关于，，的三元一次方程组解得 所以所求二次函数解析式为． 【小题】解：设函数解析式为，由函数图象过三点， 得关于，，的三元一次方程组 所以所求二次函数解析式为． 【小题】解：设函数解析式为， 由函数图象过三点，得关于，，的三元一次方程组 所以所求二次函数解析式为． 5.【答案】【小题】由已知 ，， ， 即． 【小题】把代入中，得 ． 解得，舍去． 故钢球从斜面顶端滚到底端用． 6.【答案】解：函数的图象如图所示． 抛物线的开口向下，对称轴是：，顶点是． 把抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，就得到抛物线． 7.【答案】【小题】 确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式．，需求出，的值．用待定系数法，由两点两点的连线不与坐标轴平行的坐标，列出关于，的二元一次方程组就可以求出，的值．类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式，需求出，，的值．由不在同一直线上的三点任意两点的连线不与轴平行的坐标，列出关于，，的三元一次方程组就可以求出，，的值． 【小题】 设所求二次函数为． 由已知，函数图象经过，，三点，得关于，，的三元一次方程组 解这个方程组，得 ，，． 所求二次函数是．   8.【答案】解：  【解析】扩充后的矩形绿地的长为，宽为 9.【答案】解：设二次函数解析式为由已知，函数图象经过，，三点，得关于，，的三元一次方程组解这个方程组，得 所以二次函数的解析式为．  10.【答案】【小题】图象如图所示． 【小题】由图象看出，当或时，函数值为． 11.【答案】【小题】顶点在轴下方； 【小题】顶点在轴上； 【小题】顶点在轴上方． 若，顶点在轴上方；顶点在轴上；顶点在轴下方 12.【答案】【小题】 解：解方程 ， ， ，． 当小球飞行和时，它的飞行高度为． 【小题】 解方程 ， ， ． 当小球飞行时，它的飞行高度为． 【小题】 解方程 ， ． 因为，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高度达不到． 【小题】 小球飞出时和落地时的高度都为，解方程 ， ， ，． 当小球飞行和时，它的高度为这表明小球从飞出到落地要用从图来看，时小球从地面飞出，时小球落回地面． 13.【答案】【小题】 5,65，最大利润6250元 【小题】-20（x-2.5）2+6125，降价2.5元，定价57.5元，最大利润6125元 14.【答案】解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系图． 设这条抛物线表示的二次函数为． 由抛物线经过点，可得 ， ． 这条抛物线表示的二次函数为． 解得，则水面宽 水面下降，水面宽增加． 15.【答案】【小题】解： ， 抛物线有最高点． ，， 最高点的坐标是 【小题】解： ，抛物线有最低点． ，， 最低点的坐标是 16.【答案】解：设，，正方形的面积为，则，， 则， 即． 当时，有最小值， 即点为的中点时，正方形的面积最小．  17.【答案】解：设房价增加元时，利润为元，则有 ． ，有最大值． 当，即房价为元时，宾馆的利润最大，最大利润为元  18.【答案】解：由已知条件，得，， 则， 即关于的函数解析式是  19.【答案】【小题】抛物线过点，，， ，解得 二次函数的解析式为． 【小题】设二次函数的解析式为 抛物线与轴交点的纵坐标为， ，， ． 二次函数的解析式为． 20.【答案】解：设平行于墙的一边的长为，矩形菜园的面积为，则垂直于墙的另一边的长为，．，有最大值即当时，最大，最大值为． 故当矩形的长、宽分别为，时，菜园的面积最大，最大面积为．  21.【答案】【小题】证明：连接，，如图所示． 四边形是菱形，，，，． ， ，≌， ≌，，． 四边形是平行四边形． 由已知易得，． ，， 平行四边形是矩形． 【小题】解：设，与的交点为．，．， 在中，，， ， ， 矩形的面积， 当时，有最大值， 即当时，矩形的面积最大． 22.【答案】解：设， ，有最小值． 当，即当时， 最小． 所取的这个值是数据，，，的平均数．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$