精品解析：辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团2025-2026学年 上学期九年级假期线上作业反馈数学试题（开学考试）

2025-2026学年度上学期沈阳市虹桥中学教育集团 九年级假期线上作业反馈 数学学科 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 4. 若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. 一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（　　） A. B. C. D. 6. 如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，则两三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 7. 矩形一定具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和等于 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ） A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处 10. 如图，在正方形中，，对角线相交于点，点从点出发，在边上由向移动，同时点从点出发，以相同的速度在边上由向移动，连接．下列结论：；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 12. 不等式组的最大整数解是___________ 13. 如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是___________． 14. 如图所示，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB边上一点，且，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为点P，当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为__________． 15. 如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___________． 三、计算题：本大题共2小题，共32分． 16. （1）因式分解； （2）解不等式组：． 17. 解方程： （1）． （2）． 四、解答题：本大题共5小题，共43分． 18. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长． 19. 某商品原来每件的售价为200元，经过两次降价后每件的售价为162元，并且每次降价的百分率相同，求该商品每次降价的百分率． 20. 疫情形势稳定后，各行各业复工复产，地摊经济依靠其独特优势，在金融危机背景下一定程度上缓解了就业压力某流动地的一种商品进价为156元/件，若以200元/件售出平均每天能售出20件在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件商品应降价多少元？ 21. 如图①，正方形中，点是边上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点． （1）结合函数图象，直接写出的长为___________； （2）连接，当时，直接写出的值___________； （3）在（2）的条件下，连接，直接写出的长为___________． 22. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； （1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则___________； 性质变式： （2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式： （3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，，，是内一点，且，，则的最小值是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期沈阳市虹桥中学教育集团 九年级假期线上作业反馈 数学学科 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、分母有未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数；掌握概念是解题的关键． 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是  （ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是理解一元二次方程的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ，，， 故选：． 3. 如图所示的三个三角形，相似的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 4. 若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 5. 一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的面积，列出y与x之间的关系式，且根据y与x的实际意义，即可解答． 【详解】解：∵ xy＝2， ∴ ∴ （x＞0，y＞0） 故选：C． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，及反比例函数的图象，明确题意，确定两个变量之间的函数关系是解题的关键． 6. 如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，则两三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质：相似比对应高的比，面积比相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的高之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的面积比为． 故选：B． 7. 矩形一定具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和等于 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案． 【详解】解：矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：． 【点睛】此题考查了矩形与菱形的性质等知识，解题的关键是记住矩形和菱形的性质，属于中考基础题． 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 9. 如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ） A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，，对角线相交于点，点从点出发，在边上由向移动，同时点从点出发，以相同的速度在边上由向移动，连接．下列结论：；②四边形的面积为1；③；④四边形周长的最小值为．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由题意得，又四边形是正方形，则， ，．证明，根据性质可判断①；由，则，根据面积和差可判断②；连接，根据勾股定理可判断③；由四边形周长为，根据垂线段最短可判断④． 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ，． ． ． ． ． ，故①正确； ， ． 四边形的面积为：，故②正确； 如图，连接， ， ． ． ． ． ，故③正确： ， ． 四边形周长为． 根据垂线段最短可知，当时，四边形周长最小． ，， ． ， ． 四边形周长最小值为，故④不正确， 综上可知：①②③正确，共3个， 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 12. 不等式组的最大整数解是___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的整数解．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解”的原则求出其公共解集，最后求其最大整数解即可． 【详解】解：， 解得：， 解得：， 则不等式组的解集是：． 则最大整数解是2． 故答案为：2． 13. 如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用图象法解不等式是解题的关键．观察图象，找出反比例函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时，对应的取值范围即可． 【详解】解：由图象得，当或时，， ∴当时，则的取值范围是或； 故答案为：或． 14. 如图所示，已知等边△ABC，边长为3，点M为AB边上一点，且，点N为边AC上不与A、C重合的一个动点，连结MN，以MN为对称轴，折叠△AMN，点A的对应点为点P，当点P落在等边△ABC的边上时，AN的长为__________． 【答案】1或 【解析】 【分析】分点P落在AC上时和点P落在BC上时两种情况，分别运用相似三角形的性质构建方程组解答即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当点P落在AC边上时，如图1所示． 由折叠可知： ∵ ∴△APM为等边三角形 ∴ ∴； ②当点P落在BC边上时，如图2所示． 设 由折叠可知： ， ∴ 易证：△PBM∽△NCP（“一线三等角”模型） ∴ ∴ ∵ ∴ 整理得： 解之得：（舍去） ∴ 综上所述， AN的长为1或． 【点睛】本题考查翻折的性质、相似三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质，准确寻找相似三角形是解答本题的关键. 15. 如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题分三种情况讨论，当的垂直平分线分别经过的、边中点时，利用含角的直角三角形性质、线段垂直平分线性质、等边三角形判定与性质以及勾股定理来求解的长度． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵的垂直平分线经过一边中点， 可分为以下三种情况： 经过的中点；经过的中点；经过的中点； 第一种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ； 第二种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵，垂直， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：； 第三种：当经过的中点时，交于点， 如图：， 同理可证：， 在中，，， ∴， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题目综合考查了直角三角形的性质、旋转的性质、垂直平分线的性质、中点的性质以及几何计算与证明等知识点；通过分类讨论，逐步推导出的可能长度． 三、计算题：本大题共2小题，共32分． 16. （1）因式分解； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解即可得出答案． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得，， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 四、解答题：本大题共5小题，共43分． 18. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长． 【答案】14. 【解析】 【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相等，由相似得比例，把已知边代入求出BC的长即可． 【详解】∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AB=7，AD=5，DE=10， ∴BC==14． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 19. 某商品原来每件的售价为200元，经过两次降价后每件的售价为162元，并且每次降价的百分率相同，求该商品每次降价的百分率． 【答案】该商品每次降价的百分率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该商品每次降价的百分率为x，利用经过两次降价的售价原价（1该商品每次降价的百分率），可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该商品每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该商品每次降价的百分率为． 20. 疫情形势稳定后，各行各业复工复产，地摊经济依靠其独特优势，在金融危机背景下一定程度上缓解了就业压力某流动地的一种商品进价为156元/件，若以200元/件售出平均每天能售出20件在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件商品应降价多少元？ 【答案】每件降价4元． 【解析】 【分析】设降价x元，根据总利润＝每件利润×数量列方程求解即可． 【详解】解：设降价x元， ， ， ， ， ， 降价幅度不超过10元， 舍去， ， 答：每件降价4元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键． 21. 如图①，正方形中，点是边上的动点（不与正方形顶点重合），，与相交于点．设长为，长为，与的函数图象如图②所示，图象经过点． （1）结合函数图象，直接写出的长为___________； （2）连接，当时，直接写出的值___________； （3）在（2）的条件下，连接，直接写出的长为___________． 【答案】（1）5 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到，根据函数图象可得当时，，即可求出的长； （2）通过证明，得到，结合（1）中的结论有，求出此时的长，即可得出答案； （3）延长与交于点，通过证明，得到，得到，再利用全等三角形和直角三角形的性质得到，再利用斜边中线定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵与的函数图象经过点 ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图， ∵正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，延长与交于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、动点问题的函数图象，在图中正确找出全等三角形是解题的关键． 22. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； （1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则___________； 性质变式： （2）如图2，图3，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图2为例将此重要结论证明出来． 应用变式： （3）①如图4，在矩形中，为对角线交点，为中点，则___________； ②如图5，在中，，，是内一点，且，，则的最小值是___________． 【答案】（1） （2）证明：如图，过P作于M，交于N， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得：，，，， ∴，， ∴； （3）①10；② 【解析】 【分析】（1）将代入计算即可； （2）如图，过P作于M，交BC于N，四边形、四边形是矩形，得，，，再由勾股定理即可得出结论； （3）如图：以、为边作矩形，连接、，则，由题意得，再结合题中数据可得；C、D、E三点共线时，最小，最后根据矩形的对角线相等即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②如图：以、为边作矩形，连接、，则， 由题意得：，即，解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $