精品解析：湖南省长沙市长郡雨花外国语洪塘学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（B卷）

2025年上学期期末检测卷 八年级数学（B卷） 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 30 3. 已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 甲、乙、丙、丁四位同学参加学校象棋选拔赛培训．已知这四位同学近5次组内训练积分均相同，5次成绩的方差分别为，若从中选拔发挥最稳定的1位选手参加县级象棋赛，则应选择参赛的同学是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，四边形是平行四边形，若，则∠A的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点为斜边的中点，则的长为（ ） A. 16 B. 5 C. 4 D. 7 7. 已知函数的图象经过点，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，点E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 直线与轴的交点坐标为______； 12. 如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为______． 13. 某电商平台以店铺近六个月收到顾客关于商品描述、服务态度的两项评分综合计算店铺的信誉分，两项比重为．若某店铺的商品描述得分，服务态度得分，则该店铺的信誉分为______． 14. 从“若前方无路，我便踏出一条路”的呐喊到“扭转乾坤”的豪情，哪吒用热血点燃银幕，用倔强征服世界．《哪吒之魔童闹海》动画电影杀入全球影史票房榜前5名，4月7日票房为155.91亿元，4月9日票房突破到156.05亿元再次刷新中国影史记录．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为______． 15. 若，则________． 16. 如图，已知菱形的边长为3，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，使得点恰好落在边的中点处，则________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图所示，在中，，，，．求： （1）的长； （2）的面积． 19. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）（时间为整数，且）进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成，，，四组：组“”，组“”，组“”，组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是________人，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是________度； （3）若B组员工每天学习和使用时间为：63，67，70，75，78，78，78，81，84，84，85，86，86，88，求本次抽查的每天学习和使用时间的中位数，并解释其在本题中的意义； （4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 20. 已知一次函数的图象与的图象平行，且经过点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求一次函数图象与坐标轴围成三角形的面积． 21. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 商场销售某种商品，进价元，每件售价元，平均每天售出件，经调查发现：当商品销售价每降低元时，平均每天可多售出件． （1）当商品售价降价元时，每天销售量可达到______件，每天盈利______元； （2）为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到元？ 23. 一年一度的校园文化节开始了，某班艺术节目需要采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买x件甲种道具，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求y与x之间的函数解析式． （2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共100件，甲种道具的数量不少于60件，且不超过75件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额单位：元最少？ 24. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． （3）若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 25. 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． （1）求直线的解析式． （2）点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． （3）如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末检测卷 八年级数学（B卷） 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； B．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； C．图像中出现给定一个x，有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； D．图像中给定一个x，只有1个y值与它对应，能表示是的函数，符合题意． 2. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为24，26，29，30，30，处在第三名的是29， ∴这组数据的中位数是29， 故选：C． 3. 已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 4. 甲、乙、丙、丁四位同学参加学校象棋选拔赛培训．已知这四位同学近5次组内训练积分均相同，5次成绩的方差分别为，若从中选拔发挥最稳定的1位选手参加县级象棋赛，则应选择参赛的同学是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义进行判断即可解答． 【详解】解：∵平均数相同，， ∴丁的方差最小， ∴成绩最稳定的是丁，即应选择丁同学参赛． 故选：D． 5. 如图，四边形是平行四边形，若，则∠A的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，证明是解题的关键． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， 故选：D． 6. 如图，在中，，点为斜边的中点，则的长为（ ） A. 16 B. 5 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识是关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵点为斜边的中点， ∴， 故选：C ． 7. 已知函数的图象经过点，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； B、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； C、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； D、当时，，故在函数的图象上，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在菱形中，点E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）． A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 先证明是的中位线得，再根据菱形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为：． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，由变形得到，则，然后解一元一次方程． 【详解】解：根据题意得，解得， ，， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 直线与轴的交点坐标为______； 【答案】 【解析】 【分析】令，求出的值即可． 【详解】解：当时，， 直线与轴交点坐标是．． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 12. 如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：正方形和正方形的面积之和为， 中，， ， ， ， 故答案为：25． 13. 某电商平台以店铺近六个月收到顾客关于商品描述、服务态度的两项评分综合计算店铺的信誉分，两项比重为．若某店铺的商品描述得分，服务态度得分，则该店铺的信誉分为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数进行计算即可，解题的关键是掌握相关的定义和意义． 【详解】解：∵某店铺的商品描述得分，服务态度得分，两项比重为， ∴该店铺的信誉分为， 故答案为：． 14. 从“若前方无路，我便踏出一条路”的呐喊到“扭转乾坤”的豪情，哪吒用热血点燃银幕，用倔强征服世界．《哪吒之魔童闹海》动画电影杀入全球影史票房榜前5名，4月7日票房为155.91亿元，4月9日票房突破到156.05亿元再次刷新中国影史记录．设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用4月9日的票房金额4月7日的票房金额（1平均每天票房的增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 15. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设x2+y2=a，把原方程化为关于a的一元二次方程，解方程求出a，根据非负数的性质判断即可． 【详解】设x2+y2=a，原方程变形为：（a+2）（a+3）=12， 即a2+5a﹣6=0，解得：a1=1，a2=﹣6． ∵x2+y2≥0，∴x2+y2=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤、非负数的性质是解题的关键． 16. 如图，已知菱形的边长为3，，点、分别在边、上．若将沿直线折叠，使得点恰好落在边的中点处，则________． 【答案】2.1 【解析】 【分析】过点作于点，由菱形的性质和已知条件得出，再设，则，，，，在中，依据勾股定理得到方程，求得的值即可得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，四边形是菱形， ， ， 设，则，，， ， ， 中，， 解得：， ， 故答案为：2.1． 【点睛】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；在直角三角形中运用勾股定理得出方程是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用配方法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，． 18. 如图所示，在中，，，，．求： （1）的长； （2）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出，在中再利用勾股定理计算的长； （2）根据计算即可． 【小问1详解】 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ； 【小问2详解】 的面积：． 【点睛】本题考查勾股定理以及逆运算，熟练掌握勾股定理的含义是解题的关键． 19. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）（时间为整数，且）进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成，，，四组：组“”，组“”，组“”，组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是________人，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是________度； （3）若B组员工每天学习和使用时间为：63，67，70，75，78，78，78，81，84，84，85，86，86，88，求本次抽查的每天学习和使用时间的中位数，并解释其在本题中的意义； （4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 【答案】（1）40， 补全频数分布直方图如下： （2）108 （3）分钟，意义是有一半人每天学习使用的时间超过分钟 （4）255人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图、求中位数、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）利用组人数除以组人数占比得出抽样调查的人数，用抽样调查的人数减去，，组的人数得出组人数，即可补全频数分布直方图； （2）利用组人数占比乘以度即可求解； （3）根据中位数的定义求出中位数，再结合中位数的意义即可解答； （4）求出每天学习和使用不少于90分钟的人数占比，再乘以600即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 这次抽样调查的人数是40人， （人）， 故答案为：40． 【小问2详解】 解：， 组所在扇形的圆心角是108度． 故答案为：108． 【小问3详解】 解：将40个员工每天学习使用的时间从小到大顺序排列，中位数为第20位和第21位的平均数， 本次抽查的每天学习和使用时间的中位数为（分钟），意义是有一半人每天学习使用的时间超过分钟． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是255人． 20. 已知一次函数的图象与的图象平行，且经过点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求一次函数图象与坐标轴围成三角形的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数与坐标轴交点问题； （1）根据两条直线相交或平行问题由一次函数的图象与正比例函数的图象平行得到，然后把点代入一次函数解析式可求出b的值； （2）由一次函数解析式与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可得结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ， ， 把点代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， ∴与x轴的交点的坐标为， 令，可得， ∴与y轴的交点坐标为， ∴一次函数图象与坐标轴围成三角形的面积为：． 21. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ． ， 四边形是平行四边形， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．直角三角形30度角的性质，熟记掌握矩形的性质是解答本题的关键． （1）可证四边形是平行四边形以此求证； （2）由矩形的性质可得，，再由，可得．求得，再利用直角三角形30度角的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ． ， ， ， ． 22. 商场销售某种商品，进价元，每件售价元，平均每天售出件，经调查发现：当商品销售价每降低元时，平均每天可多售出件． （1）当商品售价降价元时，每天销售量可达到______件，每天盈利______元； （2）为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到元？ 【答案】（1），； （2）每件商品应降价元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数乘法的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （）利用每天的销售量每件商品降低的价钱，求出每天的销售量；利用每天销售该商品获得的总利润每件的销售利润每天的销售量，可求出每天盈利金额； （）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，根据商场通过销售这种商品每天盈利可达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，（件）， （元）， 即当商品售价降价元时，每天销售量可达到件，每天盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵为了让顾客得到更多的实惠， ∴， 答：每件商品应降价元． 23. 一年一度的校园文化节开始了，某班艺术节目需要采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买x件甲种道具，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）当时，求y与x之间的函数解析式． （2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共100件，甲种道具的数量不少于60件，且不超过75件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额单位：元最少？ 【答案】（1） （2）购买甲种道具75件、乙种道具25件 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及一次函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）写出w关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时w值最小即可． 【小问1详解】 解：设当时，y与x之间的函数解析式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入，得， 解得， 当时，y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， ， 随x的增大而减小， ， 当时，w值最小， 件， 答：购买甲种道具75件、乙种道具25件才能使该班付款总金额w最少． 24. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． （3）若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】（1）②④ （2）①②或 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可；②利用，求得，，分两种情况，代入即可求得的值； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． 【小问2详解】 解：①方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； ②方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，， 解得，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； ，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； 故一次函数的解析式为或； 【小问3详解】 解：由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 25. 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． （1）求直线的解析式． （2）点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． （3）如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出点A的坐标得到的长，则可求出的长得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立直线和直线解析式求出点D坐标，则可求出，进而可得，再根据三角形面积计算公式求出的长，从而得到点P的坐标；作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长，据此利用两点距离计算公式求出的长，再求出直线的解析式，进而求出点E坐标即可； （3）先求出直线的解析式；如图所示，取，连接，可证明，即是等腰直角三角形，则，即点M即为直线与直线的交点，求出直线解析式为，联立，解得，则点M的坐标为；如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且，则，则点M为直线与直线的交点，同理求出此时点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：联立，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵点P在y轴正半轴上， ∴点P的坐标为； 如图所示，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式； 如图所示，取，连接， ∵， ∴，． ， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点M即为直线与直线的交点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点M为直线与直线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $