专题02 二次函数的图象与各项系数关系（专项训练）数学北京版九年级上册

专题02 二次函数的图象与各项系数关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次函数的图象判断式子的符号 1 题型二、二次函数的图象与各项系数符号 2 题型三、利用二次函数的图象判断参数范围 3 题型四、二次函数的图象与系数关系的新定义问题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次函数的图象判断式子的符号 1．已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；（的实数）．其中正确的结论有 个． 6．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 7．如图，二次函数的图像的对称轴是直线，有以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）    8．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤． 其中正确的是 填序号．        题型二、二次函数的图象与各项系数符号 9．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 10．二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 12．二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 13．二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 15．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 17．已知点、为抛物线上的两点，当，时，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型三、利用二次函数的图象判断参数范围 19．已知抛物线，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是 ． 20．已知二次函数的图象过点，当x＞0时，，当时，，则a的值是 ． 21．已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为 ． 22．已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为 ． 23．若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四、二次函数的图象与系数关系的新定义问题 25．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 26．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，函数的最大值是8 C．当时，直线与该图象恰有三个公共点 D．关于x的方程的所有实数根的和为3 27．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 28．定义：为二次函数的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 ． 29．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图像上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 31．定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 ． 32．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数的图像（如图所示），下列结论错误的是（    ） A．图像具有对称性，对称轴是直线 B．当时，函数有最大值是4 C．当或时，函数有最小值是0 D．当或时，函数值随值的增大而减小 1．（24-25九年级上·北京西城·期末）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线上的两点，满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：；；；当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点其中正确的结论为 ． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有如下结论 ； ； 若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是； 若点，，均在二次函数的图象上，若，则． 其中正确的结论是 ． 5．（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②关于x的方程有两个不等的实数根； ③； ④若方程的两根为，则．其中正确的有 ． 6．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）已知函数（）的图象如图所示，现有下列4个结论：    ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则当时，； ④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根． 其中所有正确结论的序号是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图象与各项系数关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据二次函数的图象判断式子的符号 1 题型二、二次函数的图象与各项系数符号 2 题型三、利用二次函数的图象判断参数范围 3 题型四、二次函数的图象与系数关系的新定义问题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据二次函数的图象判断式子的符号 1．已知点，，都在二次函数的图象上．则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求得抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据二次函数的图象与性质一一判断即可． 【详解】解：将代入二次函数， 二次函数的图象过点， 点，都在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线， ， ，故A错误； ， ， ， 故B错误； 二次函数的对称轴为直线， 为二次函数的顶点， 当时，二次函数有最小值为， ， ，故C错误； ， ， 点，都在二次函数的图象上，且在对称轴的左侧， 二次函数的图象在对称轴的左侧，随的增大小减小， ， ， ，故D正确； 故选：D 2．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据题中所给二次函数的图象逐项判断即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线开口向下，则正确，不符合题意； B、由图象可知，抛物线与轴交于正半轴上，则正确，不符合题意； C、由图象可知，抛物线对称轴在轴右侧，则，再结合，可知正确，不符合题意； D、由图象可知，抛物线对称轴在左侧，则，再结合，可知，即，则错误，符合题意； 故选：D． 3．已知二次函数的图象如图，下列5个结论：①，②，③，④，⑤．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是数形结合．根据二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴的交点个数确定，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， 对称轴为：， ， 则，①正确； ， ，②错误； 时，，对称轴为直线， 当时，， ，③错误； ， ，④正确； 抛物线与轴有两个交点， ， 即，⑤正确； 正确的结论有①④⑤， 故选：B． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即． ∴当时，，故②正确； 当时，由图及对称性可知，x的取值范围为，故③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④. 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；（的实数）．其中正确的结论有 个． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故错误； 当时，， ∴，故错误； 当时，，故正确； 由图象可知对称轴为直线，则， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵图象开口向下， ∴当时，有最大值， 当时，，则 ∴，故正确； 综上可知：正确，共个， 故答案为：． 6．已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线，即，可得进而可以判断；③当时，，即，根据,可得，即可判断；④根据顶点坐标和进而可以判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴①错误； ②∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故②正确； ③由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵, ∴，故③正确； ④∵, ∴， 如果, 那么, ∵， ∴, 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④正确． 故答案为：②③④． 7．如图，二次函数的图像的对称轴是直线，有以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）    【答案】②④/④② 【分析】由图像可知开口向下，与y轴的交点位于1和2之间，从而得出，．结合对称轴为和对称轴公式可得出，，即可判断①②；又可知，即得出，根据不等式的性质可得出，根据a和b的关系即得出可判断③；根据图像可知当时，，结合a和b的关系即得出可判断④． 【详解】解：由图像可知抛物线开口向下，与y轴的交点位于x轴上方， ∴，． ∵对称轴是直线， ∴， ∴，，故②正确； ∴，故①错误； 由图像可知抛物线与y轴的交点位于1和2之间， ∴． ∵， ∴， 两边都乘以，得：． ∵， ∴， ∴，即， ∴，故③错误； 由图像可知当时，， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤． 其中正确的是 填序号．        【答案】②③⑤ 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出， ，，据此可判断①；根据图当时所对应点的位置可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤． 【详解】解：由于抛物线的开口向下，因此， 由于抛物线的对称轴是直线，所以、异号，而，所以， 由于抛物线与轴的交点在轴的正半轴，因此， 所以， 因此①不正确； 由图象可知，当时，，即， 因此②正确； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，等于c，c大于0， 当时，， 因此③正确； 因为对称轴为，即， 而当时，， 所以， 即， 因此④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握：抛物线的开口方向确定a的正负，对称轴的位置及a的符号确定b的符号，与y轴交点的位置确定c的符号． 题型二、二次函数的图象与各项系数符号 9．二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．此函数图象与直线有两个公共点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．，故，即可判断A；抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，即可判断B；抛物线和x轴有两个交点，即可判断C；从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，即可判断D． 【详解】解：A．从函数图象看，，故，故A错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴在y轴左侧，则a、b同号，均为负数，故B错误，不符合题意； C．从函数图象看，抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误，不符合题意； D．从函数图象看，抛物线和直线有两个交点，正确，符合题意， 故选：D． 10．二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ，则， 图象与轴的交于负半轴， ， ，，， 故选：C． 11．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵二次函数图象与y轴的正半轴相交， ∴， 故B选项错误，不符合题意； 根据二次函数图象与x轴的交点为， ∴，， 两式相减，得， ∴， 故C选项正确，符合题意； 当时，， 即， 故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 12．二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查二次函数图象与系数的关系．首先根据二次函数图象的开口方向确定，再根据对称轴在y轴右侧，可确定a与b异号，即，最后根据二次函数与y轴的交点可以确定． 【详解】解：由图象可知该二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点位于x轴上方， ∴，，， ∴， 故选：A． 13．二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④即可． 【详解】解：①∵抛物线的开口方向向上， ∴． ∵对称轴， ∴， 又∵该抛物线与y轴交于负半轴， ∴． ∴；故①错误； ②根据图象知，当时，，即；故②正确； ④当时，，即， 由②可得：， ∴， ∴；故④错误； ③∵对称轴， ∴， ∵， ∴，即；故③正确； 综上所述，正确的说法是：②③； 故选：B． 14．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，可对③进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时， ， ∴，所以②错误； ∵时，二次函数有最大值， ∴m为任意实数时， ， ∴，即，所以③正确； ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ∴，解得，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴判断①，开口方向判断②，对称性，增减性判断③和④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故①错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；故②正确； ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵点在此抛物线上， ∴点关于对称轴的对称点为：， 由图象可知：当时，；故④正确； 故答案为：②③④． 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点，列方程组判断①，由顶点的性质即可判断②，根据直线在直线的下面，即可判断③． 【详解】∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得，故①错误； ∵， ∴， ∴直线， ∴当时，有最大值， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴直线在直线的下面， ∵当时，， ∴直线于抛物线的交点的在轴的两侧， 故关于的一元二次方程有两个异号实数根，故③正确， 故答案为：②③． 17．已知点、为抛物线上的两点，当，时，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先解出二次函数的对称轴，再结合开口方向向下，以及每个 选项的具体条件作进一步分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上且对称轴， ∴设关于对称轴对称点的坐标为 如图所示： 当时， ∵， ∴， ∵对称轴， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴ ∵开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴ 即 故A选项是错误的； 若， 当都位于对称轴的右侧时， 则 ∴ 当位于对称轴的异侧时， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴， 则 ∴ ∵， ∴ ∴ 故B选项是错误的； 若， 当位于对称轴的右侧时， ∵二次函数开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴不存在 当位于对称轴的异侧时， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴， 则 ∴ ∵， ∴ ∴ 故C选项是错误的； 当时， ∵， ∴， ∵对称轴， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴ ∵开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴ 即 故D选项是正确的； 故选：D． 18．已知抛物线（，）的对称轴为直线．若当时，，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系； 利用对称轴方程求得，将，代入得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵（，）的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型三、利用二次函数的图象判断参数范围 19．已知抛物线，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的对称性、抛物线与线段交点个数等知识点，分情况画出图形成为解题的关键． 分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分别求出点m的值，然后再结合图形即可解答． 【详解】解：∵抛物线为， ∴如图：当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线的顶点在线段上时，，解得：； 结合图象可知，m的取值范围是或或． 故答案为：或或． 20．已知二次函数的图象过点，当x＞0时，，当时，，则a的值是 ． 【答案】/0.25 【分析】直接根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：∵当x＞0时，，当时，， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x＞0时，可知抛物线对称轴在y右侧，为直线，如图， ∵点在抛物线的图象上， ∴， 当时，y有最小值为，， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据已知条件确定抛物线开口向上是解答本题的关键． 21．已知关于的二次函数的最小值为．当变化时，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，最值的计算是关键． 根据题意得到当，二次函数的最小值为，由此得到，结合二次函数最值的计算即可求解． 【详解】解：关于的二次函数， ∵， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当，二次函数的最小值为， ∴， ∵， ∴关于的二次函数图象开口向下， ∴当，的最大值为， 故答案为： ． 22．已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，求得该函数的对称轴，进而根据二次函数性质，离对称轴距离越近其值越大，建立不等式，求解即可； 【详解】解：由题可知，抛物线（，是常数且，）经过点， 则对称轴为， 则， 则， ， ， 该抛物线开口向下， 根据二次函数性质可知，离对称轴距离越近其值越大， 则， 即， 两边平方可得：， 解得：； 故答案为： 23．若二次函数的图象经过点，且图象的顶点在第四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，得故，根据顶点在第四象限，确定b的范围，解答即可． 本题考查了抛物线性质，图象过点，顶点与象限，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 故即， 设， 则， 又 且图象的顶点在第四象限， 故， 若，则故即， 此时，顶点不能落在第四象限，不符合题意，舍去， 故， 故，，， 故， 故， 故， 故选：B． 24．已知二次函数（a、b为常数，且）的图象经过点，其顶点在第三象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据图象过得出a，b的关系是解决问题的关键． 【详解】解：将点代入二次函数， 得， ， 二次函数的顶点坐标为，其中， 又二次函数的顶点在第三象限， ，， 代入，得，， 解得， 的取值范围是． 故选：A． 题型四、二次函数的图象与系数关系的新定义问题 25．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：∵开口向上， ∴， 故①错误； ∵， ∴； ∵与y轴交于负半轴， ∴； 故， 故②正确； ∵抛物线经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线． 故③正确； 根据的取值范围是，得， 由直线得直线与x轴的交点坐标为， 故交点在得左侧， 由直线得直线与y轴的交点坐标为，    且， 故交点在正半轴上，大致如下： 故与的图象有4个公共点， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 26．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．当时，函数的最大值是8 C．当时，直线与该图象恰有三个公共点 D．关于x的方程的所有实数根的和为3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，由，是函数图象和x轴的交点，利用待定系数法求得的值可判断A错误；根据图象可判断B错误；由图象可判断C正确；由题意可得或，利用根与系数的关系可判断D错误．利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，是函数图象和x轴的交点， ∴， 解得：， ∴， 故A错误； 由图象可得，函数没有最大值，故B错误； 如图，当时，直线， 当时，，当时，，则， 即直线，与x轴交于点，与y轴交于点，如图， 此时直线与该图象恰有三个公共点， 故C正确； 关于x的方程，即或， 当时，， 当时，， ∴关于x的方程的所有实数根的和为，故D错误， 故选：C． 27．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将函数化成顶点式，由二次函数的图象与性质可知，有最小值，，故函数不是有上界函数；根据一次函数的性质可知函数的增减性，由此可得答案； （2）将函数化成顶点式，分，，三种情况讨论，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， 二次函数图象开口向上， 当时，有最小值， ， 不是有上界函数； ， ， 随的增大而增大， 又， 当时，有最大值， ， 是有上界函数，上确界为； 故答案为：，； （2）解：， 可知，该二次函数图象的对称轴为直线， ， 二次函数图象开口向下， 分三种情况讨论： 当时， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值， 的最大值为， 函数是以为上确界的有上界函数， 根据题意可得：， 解得：； 当时， ， 当时，有最大值， 的最大值为， 函数是以为上确界的有上界函数， 根据题意可得：， 解得：， 这与相矛盾，故舍去； 当时， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 的最大值为， 函数是以为上确界的有上界函数， 根据题意可得：， 解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了将二次函数化成顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，一次函数的性质（判断一次函数的增减性），解一元一次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 28．定义：为二次函数的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，掌握二次函数的基本性质是解题的关键．利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然后判断即可． 【详解】解：当时，把代入，可得特征数为， ，，， 函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确； 当时，把代入，可得特征数为， ，，， 函数解析式为， 当时，，函数图象过原点，故②正确； 函数，当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确； 当时，函数图像开口向下，对称轴为：， 时，随的增大而增大，故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故答案是：①②③． 29．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，数形结合思想的应用是解决本题的关键．首先将二次函数的表达式化为顶点式，可以直接得到点，，，必在所要求的区域内，然后向外扩充2个“整点”，通过图象经过点，点判断区域内“整点”个数，进而求出的取值范围． 【详解】解：由已知可得， 函数的顶点是， ， 点，，，四点必在抛物线在，之间部分与线段所围成的区域（包括边界）内， 当点在边界上时，，由抛物线的对称性可知，图象过，此时区域内有6个“整点”， 当点在边界上时，，由抛物线的对称性可知，图象过，此时区域内有8个“整点”，不符合题意， 当时，该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”． 故选：D． 30．我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4，⑥若点P（a，b）在该图像上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（       ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可． 【详解】令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0， ∴（x+1）（x-3）=0， ∴x1=-1，x2=3， ∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标， 令x=0可得y=3， ∴与y轴的交点坐标为（0,3），，故①正确； 观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x=1，故②正确； 又对称轴是直线x=1， ∴当或时，，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； 由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0，故④正确； 由图象可知，函数图像向两边无限延伸，没有最大值，故⑤错误； 由图象可知，函数图像与直线y=2有四个交点，即当b＝2时，可以找到4个不同的点P．故⑥正确； 综上，正确的有5个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 31．定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③． 【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案． 【详解】解：当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确； 当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为， 当时，，函数图象过原点，故②正确； 函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确； 当时，函数图像开口向下， 对称轴为： ∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故答案是：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键． 32．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数的图像（如图所示），下列结论错误的是（    ） A．图像具有对称性，对称轴是直线 B．当时，函数有最大值是4 C．当或时，函数有最小值是0 D．当或时，函数值随值的增大而减小 【答案】B 【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可． 【详解】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故A正确，不符合题意； 令可得， ∴， ∴， ∴和是函数图象与x轴的交点坐标， 由图象可知，当时，函数值随x的减小而增大，当时，函数值shi随x的增大而增大， 由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故C正确，不符合题意； 综合来看：， 故当时的函数值4并非最大值，故B错误，符合题意； ∵对称轴是直线， ∴当或时，函数值y随x值的增大而减小，故D正确，不符合题意； 综上，只有B错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数在新定义函数中的应用等知识，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·北京西城·期末）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，由即可得出，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①错误； ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵若， ∴， ∴时的函数值小于时的函数值， ∵横坐标是的点的对称点的横坐标为， ∴时的函数值等于时的函数值， ∴时的函数值小于时的函数值， 故③错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线经过点， ∴，即， ∴， ∴， ∵点的对称点是， ∴点一定在此抛物线上，故④正确． 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线上的两点，满足，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将代入解析式可得的值，通过抛物线的对称性及求出最终结论． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 令 当时， 若，则，故C错误 若，则，故A错误 ， ， ， ， ， 当时，，， ，， ，故B正确，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：；；；当抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度就可能经过点其中正确的结论为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， 对称轴位于轴的右侧 抛物线与轴交于正半轴， 故错误； ②对称轴为直线，得， 故错误； ③抛物线与x轴交于点， ，即， 故③错误； ④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线， ， 设二次函数关系式为， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为， 当时，， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点 故④正确； 综上所述，正确的结论为： 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有如下结论 ； ； 若抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界），则系数a的取值范围是； 若点，，均在二次函数的图象上，若，则． 其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象可得二次函数开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，从而得出，，，即可判断①，根据二次函数与轴的一个交点为即可判断②；由题意可得，推出，即可判断③，根据二次函数的性质即可判断④，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，二次函数开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数与轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线与y轴的交点在与之间（包含边界）， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，，， ∴若，则， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 5．（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点和，当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①； ②关于x的方程有两个不等的实数根； ③； ④若方程的两根为，则．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键． ①③当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出，再判断a的范围； ②将，代入方程，根据根的判别式即可判断； ④由，，可得，所以，再根据b的范围求解后即可判断． 【详解】解：抛物线，，是常数，经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值． ， ，解得：， ， ， ，， ， 故①③正确； ，， ，即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故②正确； ，， ， ， ， ， 故④正确； 故答案为：①②③④ 6．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）已知函数（）的图象如图所示，现有下列4个结论：    ①； ②； ③若，是抛物线上的两点，则当时，； ④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断符号；把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负；由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大；由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根； 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ∵对称轴在直线轴左侧， ∴同号，， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ∴，故①正确； ②， 当时， 由图象可得， 由图象知，当时， ， 由图象可得， ∴， 即，故②正确； ③， ， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点， ∴，故③错误； ④抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴无实数根，故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数 中与函数图象的关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$