专题01 二次函数的图象与性质（专项训练）数学北京版九年级上册

专题01 二次函数的图象与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、y=ax2的图象与性质 1 题型二、y=ax2+k的图象与性质 2 题型三、y=a(x-h)2的图象与性质 3 题型四、y=a(x-h)2+k的图象与性质 5 题型五、y=ax2+bx+c的图象与性质 6 题型六、一次函数与二次函数图象综合判断 8 题型七、根据二次函数的图象判断式子符号 8 题型八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 8 题型九、根据二次函数的对称性求函数值 9 题型十、y=ax2+bx+c的最值 11 题型十一、待定系数法求二次函数解析式 11 题型十二、二次函数图象的平移问题 11 题型十三、一次函数与二次函数的切点问题 11 题型十四、二次函数的倍点关系问题 11 题型十五、二次函数的恒成立求参数问题 11 题型十六、二次函数的图象与性质综合 11 B综合攻坚・能力跃升 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 题型一、y=ax2的图象与性质 1．已知点，都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 3．二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 4．已知线段的两个端点都在抛物线上，点在点的左侧，过线段的中点作轴的平行线，交抛物线于点，且． （）若点是抛物线的顶点，则点的坐标是 ； （）设两点的横坐标分别为．则的值为 题型二、y=ax2+k的图象与性质 5．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 6．定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是 ． 7．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 8．如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 题型三、y=a(x-h)2的图象与性质 9．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 12．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 题型四、y=a(x-h)2+k的图象与性质 13．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 14．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 15．对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． 题型五、y=ax2+bx+c的图象与性质 17．二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 18．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ． 20．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，存在，求t的取值范围． 题型六、一次函数与二次函数图象综合判断 21．在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 22．在同一直角坐标系中，直线与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 23．在同一直角坐标系中，函数和函数是带数，且的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   24．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 题型七、根据二次函数的图象判断式子符号 25．如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 27．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 28．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点M，点N是函数图象上的两点，则；④；⑤若t为任意实数，则，其中正确的结论有 ． 题型八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 29．已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 30．若抛物线（）经过，两点，则抛物线的对称轴为（    ） A． B． C． D． 31．已知抛物线经过点，， （1）抛物线的对称轴为 ； （2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ． 32．在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)若对于，有，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 题型九、根据二次函数的对称性求函数值 33．已知点、为抛物线上的两点，当，时，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 34．函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 ． 35．已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为 ． 36．在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 题型十、y=ax2+bx+c的最值 37．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 39．已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ． 40．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数解析式及其对称轴； (2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 题型十一、待定系数法求二次函数解析式 41．在平面直角坐标系中，设函数（、是实数）． (1)当时，若该函数的图象经过点，求函数表达式． (2)若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围． 42．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值． (2)求当时，二次函数的最大值． (3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式． 43．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求出该抛物线的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 44．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)求此抛物线的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 题型十二、二次函数图象的平移问题 45．将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 46．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段上移动，若A、B的坐标分别为，点M的横坐标的最小值为，则点N的横坐标的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 47．已知抛物线． (1)求拋物线的顶点坐标、对称轴； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，任写出一种平移方法． 48．平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点，求a和n的值； (2)若抛物线上存在两点和，． ①判断抛物线的开口方向，并说明理由； ②若，求a的取值范围 ． 题型十三、一次函数与二次函数的切点问题 49．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 50．已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到新函数的图象（如图），当直线与新图象有4个交点时，的取范围是（   ） A． B．或 C． D． 51．二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ． 52．如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 题型十四、二次函数的倍点关系问题 53．新定义：若点满足，则称这个点为“6阶点”．若二次函数（为常数）的图象上始终存在“6阶点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 54．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像上的一个“n阶方形内点”．例如，点是函数图像上的一个“阶方形内点”；点是函数图像上的一个“2阶方形内点”．若y关于x的二次函数的图像上一定存在“n阶方形内点”，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 55．定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值； (2)对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值； (3)已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值． 56．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十五、二次函数的恒成立求参数问题 57．“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 58．已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 60．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 题型十六、二次函数的图象与性质综合 61．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围． 62．已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 63．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 64．在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． (1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； (2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 1．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为与时，其函数值分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时，取最大值57.9 C．该抛物线的对称轴的取值范围是 D．当时，一元二次方程总有两个不相等的实数根 3．（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交． （1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ； （2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，若抛物线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 5．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，，在抛物线上，且，求的取值范围． 6．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 二次函数的图象与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、y=ax2的图象与性质 1 题型二、y=ax2+k的图象与性质 2 题型三、y=a(x-h)2的图象与性质 3 题型四、y=a(x-h)2+k的图象与性质 5 题型五、y=ax2+bx+c的图象与性质 6 题型六、一次函数与二次函数图象综合判断 8 题型七、根据二次函数的图象判断式子符号 8 题型八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 8 题型九、根据二次函数的对称性求函数值 9 题型十、y=ax2+bx+c的最值 11 题型十一、待定系数法求二次函数解析式 11 题型十二、二次函数图象的平移问题 11 题型十三、一次函数与二次函数的切点问题 11 题型十四、二次函数的倍点关系问题 11 题型十五、二次函数的恒成立求参数问题 11 题型十六、二次函数的图象与性质综合 11 B综合攻坚・能力跃升 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 题型一、y=ax2的图象与性质 1．已知点，都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 比较抛物线上点的纵坐标大小，根据开口方向及对称轴分析函数值变化趋势即可求解． 【详解】解：∵抛物线顶点为坐标原点，开口向下，对称轴为y轴． ∴ 当时，函数图象在第三象限，y随x增大而增大，当时，函数图象在第四象限，y随x增大而减小， ∵ ∴． 故选：B． 2．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 3．二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 4．已知线段的两个端点都在抛物线上，点在点的左侧，过线段的中点作轴的平行线，交抛物线于点，且． （）若点是抛物线的顶点，则点的坐标是 ； （）设两点的横坐标分别为．则的值为 【答案】 【分析】（）由题意得，即得点在轴上，可得点的坐标轴为，再把代入函数解析式解答即可求解； （）由点的横坐标可得纵坐标分别为，，即得，进而得，再根据得到，据此解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）∵点是抛物线的顶点， ∴， ∵过线段的中点作轴的平行线，交抛物线于点， ∴点在轴上，如图， 则轴， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∵点位于第二象限， ∴点的坐标是， 故答案为：； （）∵两点的横坐标分别为， ∴两点的纵坐标分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， ∴， 故答案为：． 题型二、y=ax2+k的图象与性质 5．二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 6．定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，当抛物线的顶点在y轴上时，则，，顶点坐标，设抛物线，把，代入得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：利用特殊情况，当抛物线的顶点在y轴上时，则，，顶点坐标， 设抛物线，把，代入，得：， 解得：， 故答案为：． 7．对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 8．如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 题型三、y=a(x-h)2的图象与性质 9．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 10．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 12．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【答案】h的值为8或2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，顶点坐标为，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∵当时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧． ①当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． ②当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，h的值为8或2． 题型四、y=a(x-h)2+k的图象与性质 13．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A．，抛物线的开口向上，所以A选项正确，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，所以B选项正确，不符合题意； C．抛物线的顶点坐标为，所以C选项正确，不符合题意； D．在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以D选项错误，符合题意； 故选：D． 14．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 15．对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质．先化为顶点式，求得、，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解． 【详解】解：由得， 设，则， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴抛物线的“开口大小”为， 故答案为：2． 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)a的取值范围是或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质， 运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 把代入，根据顶点式得到顶点坐标； 分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 此时顶点坐标为． （2）解：的对称轴为直线， 分以下两种情况讨论： ①当时，如图①． ，且当时，y随x的增大而增大， ，解得． 又； ②当时，如图②． 由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为． ，且当时，y随x的增大而减小， ，解得． 又． 综上所述，a的取值范围是或． 题型五、y=ax2+bx+c的图象与性质 17．二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出，两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出，之间的关系，再将点和点代入二次函数解析式，进一步得出，之间的关系，最后用表示出和即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，在二次函数图象上， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 18．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由二次函数的图象经过，，可得其对称轴是直线，结合图象开口向下，从而当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，进而可以判断得解． 【详解】解：二次函数的图象经过，， 对称轴是直线． 又结合图象开口向下， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 若y随x的增大而减小，则． 故答案为：． 20．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，存在，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据抛物线的对称性解决问题即可． （2）利用二次函数性质存在点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离的情况即可解答． 【详解】（1）解：当，，，， 点和抛物线与y轴的交点关于直线对称， ， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：，， 则，， ， ，， ，， 在的左侧，且点N在对称轴的右侧， 、是抛物线上任意两点，存在， ， ， 题型六、一次函数与二次函数图象综合判断 21．在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意． 故选：D． 22．在同一直角坐标系中，直线与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解． 【详解】解：A、根据一次函数图象知道，与轴的交点不是，故A选项错误； B、根据二次函数的图象知道，同时与轴的交点是，但是根据一次函数的图象知道，故B选项错误； C、根据图象知道两个函数图象与轴的交点坐标为，同时也得到，故C选项正确； D、根据一次函数图象知道，根据二次函数的图象知道，故D选项错误． 故选：C． 23．在同一直角坐标系中，函数和函数是带数，且的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先先确定的正负，对于二次函数的开口方向以及对称轴分析． 【详解】解：由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，故选项A正确； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，与图像不符，故选项B错误； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，与图像不符，故选项C错误； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝下，与图像不符，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二次函数的图像性质是解题的关键． 24．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线．直线与抛物线交于C，D两点，点D在x轴下方且横坐标小于3．有下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到时，二次函数有最大值，可对③进行判断；由于直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得时，一次函数值比二次函数值大，即，然后把代入解a的不等式，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧， ∴当时， ， ∴，所以②错误； ∵时，二次函数有最大值， ∴m为任意实数时， ， ∴，即，所以③正确； ∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ∴，解得，所以④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 题型七、根据二次函数的图象判断式子符号 25．如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， 对称轴位于轴的右侧， ∴， 抛物线与轴交于正半轴， 故错误； ②对称轴为直线，得，故正确； ③抛物线与x轴交于点， ，即， 故③错误； ④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线， ， 设二次函数关系式为， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为， 当时，， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点故④正确； 综上所述，正确的结论为：② 故选B． 26．二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵二次函数图象与y轴的正半轴相交， ∴， 故B选项错误，不符合题意； 根据二次函数图象与x轴的交点为， ∴，， 两式相减，得， ∴， 故C选项正确，符合题意； 当时，， 即， 故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 27．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向判断①②，对称性，增减性判断③，根据时，取得最大值，判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④正确； 故答案为：①③④共3个， 故选：D． 28．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点M，点N是函数图象上的两点，则；④；⑤若t为任意实数，则，其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，增减性判断③，对称轴结合特殊点以及的范围判断④，最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线 ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∴；故②正确； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵当时，函数值最大， ∴， ∴；故⑤错误； 故答案为：①②③④． 题型八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 29．已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质；熟练掌握其性质并能能发现题干所给的两点关于对称轴对称是解决此题的关键．根据、两点纵坐标一样，且都在函数图象上，得出抛物线的对称轴为直线，得到，代入解析式即可得解． 【详解】解：二次函数的图象上有两点， 抛物线的对称轴为直线， ， 当时， ， 故选：． 30．若抛物线（）经过，两点，则抛物线的对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线经过点，即可确定抛物线的对称轴为直线x=2． 【详解】∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 故选：B． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，正确掌握抛物线的性质是解题的关键． 31．已知抛物线经过点，， （1）抛物线的对称轴为 ； （2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ． 【答案】 直线 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）根据对称性求出对称轴即可； （2）根据对称轴求出值，求出和时的函数值，根据，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； （2）∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 32．在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)若对于，有，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等． （1）利用轴对称的性质求解即可； （2）直接代入得到整理得，推出或，再分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，有， ∴这两点关于轴对称，抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵，，又， ∴， 整理得， ∴或， ①若，即， ∵， ∴且， ∴且， ∴； ②若， 同理且， ∴且， ∴； 综上，或． 题型九、根据二次函数的对称性求函数值 33．已知点、为抛物线上的两点，当，时，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先解出二次函数的对称轴，再结合开口方向向下，以及每个 选项的具体条件作进一步分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上且对称轴， ∴设关于对称轴对称点的坐标为 如图所示： 当时， ∵， ∴， ∵对称轴， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴ ∵开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴ 即 故A选项是错误的； 若， 当都位于对称轴的右侧时， 则 ∴ 当位于对称轴的异侧时， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴， 则 ∴ ∵， ∴ ∴ 故B选项是错误的； 若， 当位于对称轴的右侧时， ∵二次函数开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴不存在 当位于对称轴的异侧时， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴， 则 ∴ ∵， ∴ ∴ 故C选项是错误的； 当时， ∵， ∴， ∵对称轴， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴ ∵开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴ 即 故D选项是正确的； 故选：D． 34．函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得对称轴是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，根据二次函数的图象的对称性以及已知条件可得时，，当和时y值相等，都是0，进而求得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线在时，它的图象位于x轴的下方，当时，它的图象位于x轴的上方，当时，它的图象位于x轴的上方， ∵和到对称轴直线的距离相等， ∴当和时y值相等，都是0，则， ∴． 故答案为：． 35．已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将点代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解． 【详解】解：将代入中得到：， 解得， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知， 当时，对应的最大为：， 当时，对应的最小为：， 故n的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解． 36．在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）把代入，再将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据题意，得抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为，由抛物线的性质得当时，y 随x增大而增大，当时，y 随x增大而减小，再根据，，则当点A在点B左侧时，则，当点A在点B右侧时，则．然后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵ ∴抛物线的开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∵，， 当点在点左侧时，即， ∴， 当点在点右侧时，即， ∴． ①当，即时，此时点在对称轴右侧或顶点处， 当点在点左侧时，即， 由图象知，恒成立， 即时符合题意； 当点在点右侧时，即， 则， ∵关于对称轴的对称点， 此时要使，应有：， 化简得：， 又∵， ∴应有， 即； 综上，； ②当，即时，此时点在对称轴左侧， 当点在点左侧时，即， 则， ∵关于对称轴的对称点， 此时要使，应有：， 化简得：， 又∵， ∴， 即； 当点在点右侧时，即， 由图象知，恒成立， ∴； 综上：； 由①②得，． 题型十、y=ax2+bx+c的最值 37．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 故选：D． 38．已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，再分①和②两种情况，然后利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此建立方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①当时， 则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以， 解得，符合题设， 则此时； ②当时， 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 所以当时，取得最大值；当时，取得最小值， 所以， 解得，符合题设， 则此时； 综上，的值为9， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确分两种情况讨论是解题关键． 39．已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关键． 根据二次函数的对称轴为直线，若，当时，函数y取得最大值，得；若，根据与关于对称轴对称，得当时，y随x增大而增大，得当时，y取得最大值，得． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为直线． ∴当时， 在范围内，当时，函数y取得最大值． ∴； 当时， ∵与关于对称轴对称，当时，y随x增大而增大，且， ∴在范围内，当时，y取得最大值． ∴． ∴a的值为2或． 故答案为：2或． 40．已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数解析式及其对称轴； (2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． （1）代入点B坐标计算，求出b，再根据求出对称轴即可； （2）设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出t，从而得出上移距离m． （3）先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解． 【详解】（1）解：将代入函数表达式得：，则， 即抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时， 设点、， 则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则， 则点、的坐标分别为：、， 则新抛物线的表达式为：， 即； （3）解：由（1）知，抛物线的顶点为， 当，即时， 抛物线在顶点处取得最小值，即，则； 当时，即时， 则抛物线在时取得最小值，即， 解得：（舍去）或6（舍去）， 综上，． 题型十一、待定系数法求二次函数解析式 41．在平面直角坐标系中，设函数（、是实数）． (1)当时，若该函数的图象经过点，求函数表达式． (2)若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据待定系数法即可求得； （2）求得抛物线与的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得出，即可求解； 【详解】（1）解：当时，则， 把点代入得，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向上且当时，随的增大而减小， ∴， ∴； 42．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值． (2)求当时，二次函数的最大值． (3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点，代入，即可求得b、c的值； （2）根据二次函数的性质即可求得； （3）平移后新的二次函数的表达式为，分三种情况讨论：①当，即时，在对称轴的右侧，②当，即时， ③当，即时，在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得解得 ，的值分别是，． （2）解：二次函数的表达式为， 二次函数图象的对称轴为直线． ， 二次函数图象的开口向上，当时，随的增大而减小． ， 当时，二次函数有最大值，最大值为． （3）解：平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ，解得或，不符合题意． ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意． ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ，解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为，即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 43．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求出该抛物线的解析式； (2)当时，求的最小值； (3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，函数最小值为；当时，函数最小值为 (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、待定系数法求函数表达式，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）根据题意分和两种情况分别求解即可； （3）由函数的对称性知，，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，当时，函数取得最小值，即； 当时，抛物线在顶点处取得最小值，即， 综上，当时，函数最小值为；当时，函数最小值为； （3）解：由函数的对称性知，，则， 即， 解得：． 44．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)求此抛物线的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴． （1）根据表格里的数据得到对称轴，可设抛物线解析式，再找一个组值代入即可； （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象的性质，即可得到时，y的范围． 【详解】（1）解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：函数图象如图所示 由（1）可知，对称轴为， 所以令时，， 当时， ∴能取到最小值， 即． 题型十二、二次函数图象的平移问题 45．将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，根据函数图像的平移规律求解即可． 【详解】解：向下平移3个单位后可得即，再向右平移3个单位后可得即， 故选：C． 46．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段上移动，若A、B的坐标分别为，点M的横坐标的最小值为，则点N的横坐标的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象的性质．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 由当顶点为时，函数图象的对称轴为，M的横坐标为，可得N的横坐标为1，即，根据当在时，此时N的横坐标最大进行求解即可． 【详解】解：当顶点为时，函数图象的对称轴为， ∵M的横坐标为， ∴N的横坐标为1， ∴ 当顶点为时，M点横坐标为， ∴N的横坐标为4； 故选：B． 47．已知抛物线． (1)求拋物线的顶点坐标、对称轴； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，任写出一种平移方法． 【答案】(1)顶点坐标为、对称轴是直线 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． （1）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移解答即可． 【详解】（1）解：， ∴拋物线的顶点坐标为、对称轴是直线； （2）解：， ∴由抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位可得抛物线或抛物线先向下平移5个单位，再向右平移2个单位可得抛物线． 48．平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点，求a和n的值； (2)若抛物线上存在两点和，． ①判断抛物线的开口方向，并说明理由； ②若，求a的取值范围 ． 【答案】(1)， (2)①开口向上，理由见解析；② 【分析】（1）把代入，求得，从而得抛物线解析式为，再根据抛物线的对称轴为直线，即可求得． （2）①根据当，又对称轴为，得是抛物线的顶点，再根据，且，所以点B在顶点A的上方，即可得出抛物线开口向上； ②设，根据所以或，将抛物线平移，使其顶点落在坐标原点，根据平移a的值不变，平移后抛物线表达式为，此时，则或，将或代入得，即可得出． 【详解】（1）解：把代入得 ， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． （2）解：①开口向上． ∵当，又对称轴为， ∴是抛物线的顶点， ∵，且， ∴点B在顶点A的上方， ∴抛物线开口向上， ②设， ∵ ∴或， 将抛物线平移，使其顶点落在坐标原点， 平移a的值不变，平移后抛物线表达式为， 此时， ∴或， 将或代入得， ∵，结合图象， ∴a的取值范围为． 【点睛】本题考查抛物线的图象性质，抛物线的平移．熟练掌握抛物线的图象性质是银题的关键． 题型十三、一次函数与二次函数的切点问题 49．如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是数形结合思想的应用．把关于x的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：若关于x的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，k的取值范围是， 故选：A． 50．已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到新函数的图象（如图），当直线与新图象有4个交点时，的取范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握根据图象求一元二次方程解的方法． 求出二次函数与轴相交于，，先求出当经过点时的值，再求出与只有一个交点时的值，即可解答． 【详解】解：如图：当时， ， 解得，， 则，， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解， 整理得： ， 则，解得：， ∴所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：C． 51．二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是利用根的判别式得出不等式及数形结合来求解，先确定二次函数与轴的交点，再分析直线经过特殊点以及与翻折后抛物线相切时的情况，从而确定直线与新图象有两个公共点时的取值范围． 【详解】解：如图： 对于二次函数， 令，即， 解得或 ， 所以该二次函数与轴交点为和 ． 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ； 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ． 由此可知，当时，直线与新图象有两个交点． 先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为． 联立直线与翻折后抛物线的方程 ， ， ． ∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解， ∴一元二次方程的判别式． 则，即， 解得 ． 由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点． 综上，的取值范围是或． 52．如图1，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，函数的最大值为_____，最小值为_______； ②当时，设函数的最大值为，最小值为，若，求的值； (3)如图2，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴的下方，图象的其余部分不变，得到一个“M”形状的新图象，再将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；0②0 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，图象与轴交点问题，翻折变换，一元二次方程与二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据直线可求出点的坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）①求出抛物线的顶点坐标，对称轴以及点A的坐标，在范围内可求出最大值和最小值； ②分、和三种情况，分别求出最大值和最小值，根据列式求解即可； （3）求出翻折后的函数关系式，求出经过点A且与平行的直线的解析式和与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵, ∴, ∴当时最大值为4，最小值为0， 故答案为：4；0； ②∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，与关于对称轴对称，函数值相等， 分以下三种情况： （i）当时， 又∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或（舍去）； （ii）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， 此时，不满足题意舍去； （ⅲ）当时， 当时，y取最大值为 当时，y取最小值为， ∵， ∴， 解得，或； 因为，则或都不符合题意，舍去； 综上，t的值为0， 故答案为：0； （3）解：根据题意得，翻折后的抛物线顶点坐标为， 设翻折后的抛物线解析式为， 把代入得， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设经过点A且与平行的直线的解析式为， 把代入得，， 解得，； 设与新抛物线有唯一公共点且与平行的直线的解析式，则有： ， 整理得： ∴， ∴， ∴直线与这个新图象有4个公共点时，的取值范围． 题型十四、二次函数的倍点关系问题 53．新定义：若点满足，则称这个点为“6阶点”．若二次函数（为常数）的图象上始终存在“6阶点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据“6阶点”找出二次函数与的关系，将其代入二次函数中，使其转化关于的二次函数，利用完全平方公式配方，观察式子即可求出答案. 【详解】解：二次函数（为常数）的图象上始终存在“6阶点”，且“6阶点”满足， 设二次函数上的“6阶点”为， ，， ， ， ， . 故答案为：A. 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，完全平方公式，解题的关键在于理解新定义，转化成关于的二次函数，利用二次函数顶点式求出取值范围. 54．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像上的一个“n阶方形内点”．例如，点是函数图像上的一个“阶方形内点”；点是函数图像上的一个“2阶方形内点”．若y关于x的二次函数的图像上一定存在“n阶方形内点”，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴ 二次函数图象的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点坐标在直线上移动， ∵y关于x的二次函数图象的“n阶好点”一定存在， ∴二次函数的图象与以顶点坐标为，，，的正方形有交点， 如图，当二次函数恰好经过时，则， ∴； 如图，当二次函数恰好经过时，则， 解得或（舍去）； ∴由图可知，当时二次函数的图像上一定存在“n阶方形内点”， 故选B．    55．定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值； (2)对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值； (3)已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)最小值为 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根的判别式，二次函数的最值，掌握新定义是解题的关键． （1）配方得到抛物线的顶点坐标，然后根据“4阶点”的定义解答即可； （2）设这一点为，根据“阶点”的定义得到方程，然后根据根的判别式解题即可； （3）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到，是方程的两根，即，，然后求出M和N的坐标，即可得到，根据t的取值范围确定最值即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为， ∵顶点与点互为“4阶点”， ∴， 解得：； （2）解：设这一点为， 根据“阶点”的定义得：， 整理得：， ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得：或； （3）解：设点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、都与点互为“阶点”， ∴，， 整理得，， ∴，是方程的两根， ∴，， 又∵， ∴顶点M坐标为， 又∵是线段的中点， ∴点的坐标为， ∵与互为“阶点”， ∴， 整理得， 代入得：， 即， 当时，随k的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为． 56．若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围． 【详解】解：由“倍值点”的定义可得：， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点， ∴ ∵对于任意实数总成立， ∴ 整理得， ∴ ∴， ∴，或 当时，解得， 当时，此不等式组无解， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键． 题型十五、二次函数的恒成立求参数问题 57．“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，涉及到分类讨论思想和一元二次方程判别式的应用．当时，当时，两种情况进行讨论，即可解答． 【详解】解：①当时，原不等式变为，即， ∴不能在上恒成立，不合题意， ∴； ②当时，不等式是一元二次不等式， 对于一元二次函数， 当时，函数图象开口向上，要使恒成立，即函数图象在轴上方， ∴需要满足判别式， 由不等式，得，，， ∴， 即， 解得：， 当时，二次项系数，二次函数的图象开口向下，必然存在实数使得不满足不等式，在上恒成立． 综上可得：． 故选：A． 58．已知二次函数，对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用分类讨论的方法，根据二次函数的对称性和增减性可以求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的对称轴是直线， ∵点、是该二次函数图象上的两点，且，， ∴点在对称轴的右侧，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 当时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵对于该二次函数图象上的两点、，设，当时，恒成立， ∴且， 解得； 当时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线，对称轴右侧y随x的增大而减小，无法保证，当时，恒成立， 故选：D． 59．已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，先联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得： 整理，得， 解得，， 由题意，， 当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上， 若时，恒成立， 则， 解得，即； 当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下， 若时，恒成立， 则， 解得，即， 综上，满足条件的a的取值范围为且， 故答案为：且． 60．已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)已知点在该二次函数的图像上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值与最小值之差为9． (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意先设顶点式，再代入，即可求解； （2）由题意得，由于开口向上，那么当时，有最小值1；由于横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1，则当时，取得最大值，即可求解； （3）①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，则，由于恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，则，由于恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可． 【详解】（1）解：因为对称轴为直线， 所以设， 因为图象经过点， 所以， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以， 因为该函数二次项系数为1大于0， 所以当时，有最小值1； 因为横坐标为的点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离1， 所以当时，取得最大值为， 因为， 所以的最大值与最小值之差为9； （3）解：二次函数图象的对称轴为直线， ①若点在轴的左侧，点在轴的右侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以． ②若点在轴的右侧，点在轴的左侧， 所以，解得：， 因为恒成立，所以，解得， 所以， 综上所述，的取值范围是或． 题型十六、二次函数的图象与性质综合 61．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线，可以判断得解； （2）依据题意，由，故抛物线开口向下，进而抛物线上的点到对称轴越大对应的函数值就越小，再结合对于点，，，总有，又抛物线的对称轴是直线，可得，进而分类讨论即可计算得解． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：抛物线的对称轴为直线， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 抛物线开口向下， 抛物线上的三个点，，，总有， ． ． ①当时， ． ． ②当时， ． ． 综上，或． 62．已知二次函数． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； … 0 1 2 3 … … 0 3 … (2)根据图象回答：当时，的取值范围是______； (3)设，，过点与轴垂直的直线l与抛物线交于点，．其中，与直线交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)，，；函数图象见解析 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键． （1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； （2）图象法进行求解即可； （3）图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 时，；时，，时，， 描点、连线、绘制函数图象如下： 故答案为：，，； （2）解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足， ∴t的取值范围为， 故答案为：． 63．在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 64．在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． (1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； (2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)且且且 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论． （1）令，解方程即可得解； （2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：令，即， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：抛物线的对称轴为直线． 由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，． ∵，，，四点中，任意两点不重合， ∴且且且． ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ①当时， ∵， ∴． ∴． 由知，不符合题意． ②当时，点在对称轴的左侧． 点关于直线的对称点为． ∵， ∴． ∴且． ∴． 综上所述，的取值范围是且且且． 1．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为与时，其函数值分别为，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到该函数的对称轴和的取值范围，再根据当自变量为与时，其函数值分别为，，即可得到和大小关系，本题得以解决． 【详解】解：二次函数，， 该函数图象开口向下，当，函数最大值为，当时，， 该函数与轴的交点为(0，c)，在y轴的负半轴， 点(1，c)在该函数图像上，在x轴下方， 当自变量时，起函数值0， ， ， 当自变量与时，其函数值分别为，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解题． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．当时，取最大值57.9 C．该抛物线的对称轴的取值范围是 D．当时，一元二次方程总有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，依据题意，结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案． 【详解】解：A．由图可知抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； B．当时，取最大值，则点A和点C到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点C纵坐标显然不相等，故B错误，不符合题意； C．图象经过，，三点，则点到称轴的距离最小，其次是点，点到称轴的距离最远，则，解得，故C正确，符合题意； D．抛物线开口向下，所以二次函数有最大值，当且大于它的最大值时，二次函数的图象与直线就没有交点，即一元二次方程没有实数根，故D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·安徽滁州·一模）已知抛物线的对称轴与轴正半轴相交． （1）不论取何值时，该抛物线过一定点，则该点坐标为 ； （2）若点，在该抛物线上，且，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，确定m的范围是本题的难点． （1）将抛物线的解析式化为两根式，求得抛物线与轴的交点，其中一个是定点，不随的变化而变化； （2）根据题意得，即，求得在抛物线上，且，判断出，得，求出的取值范围． 【详解】解：①， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴无论取何值，抛物线总与轴交于， 故答案为：； ②∵抛物线与轴的交点坐标为，且对称轴与轴正半轴相交． ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵在该抛物线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵在抛物线上，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，若抛物线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，分别把点坐标代入函数解析求出的值，再根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当抛物线过点时，把代入 得，， 解得； 过点时，把代入得，， 解得； ∴当抛物线与线段没有交点时，由的大小与抛物线开口大小关系可知的取值范围为 或， 故答案为：或． 5．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数对称轴公式即可求解； （2）先表示出，再根据已知条件得到不等式组，化为解不等式组即可． 【详解】（1）解：对于抛物线， ∴ ∴对称轴为直线； （2）解：∵点，，在抛物线上，且， ∴，，， ∴由得： 由①得：； 由②得：，即或， 解得：； 由③得：，则， ∴或， 解得：或， ∴原不等式组的解集为：． 6．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． $$