第03讲 平面向量的数量积（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 平面向量的数量积 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 向量的夹角 4 知识点2 平面向量的数量积 4 知识点3 平面向量数量积的几何意义 5 知识点4 向量数量积的运算律 6 知识点5 平面向量数量积的有关结论 6 知识点6 平面向量常用结论 7 题型破译 8 题型1 平面向量数量积的计算 8 题型2 模长问题 10 题型3 角度问题 13 题型4 向量垂直的应用 17 题型5 投影问题 19 题型6 数量积求最值取值范围问题 22 04真题溯源·考向感知 26 05课本典例·高考素材 31 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）平面向量数量积的有关结论 （2）模长问题 （3）数量积求最值取值范围问题 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第14题，5分 天津卷，第14题，5分 天津卷，第14题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，要求线性表示与数量积，模长与角度问题，设题稳定，难度较高，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握向量的数量积公式 2.能掌握向量的模长，垂直于投影公式 3.具备数形结合的思想意识，会借助直角坐标系，求解向量的数量积与夹角模长等问题 4.会解借助点坐标解决最值与取值范围问题 知识点1 向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的 ． 自主检测已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 知识点2 平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的 ，记作a·b. 自主检测在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点3 平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b 的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ．记为|a|cos θ e. 自主检测已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为（    ） A． B． C． D． 知识点4 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 自主检测如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（   ）    A．8 B． C．4 D． 知识点5 平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 自主检测记面积的为S，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 知识点6 平面向量常用结论 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 自主检测已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C．1 D． 题型1 平面向量数量积的计算 例1-1（2025天津·联考）若与的数量积为6，，则（    ） A． B． C． D． 例1-2已知为不共线的非零向量，若，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．相等 D．方向相同 方法技巧 求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 【变式训练1-1·变考法】设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2024·天津·模拟预测）若在中，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练1-3】已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 题型2 模长问题 例2-1已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2-2（2024天津·联考）如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 平面向量的模及其应用的类型与解题策略： （1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． （2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法： ①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用． 【变式训练2-1·变考法】为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式训练2-2】（2023·天津南开·模拟预测）下列关于向量，，的运算，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2022天津·联考）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型3 角度问题 例3-1（2025·天津·联考）已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例3-2（2025天津·模拟预测）已知两不共线向量，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．与的夹角等于 C． D．与在方向上的投影相等 方法技巧 （1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 【变式训练3-1·变载体】已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知为单位向量，向量，且，则（    ） A．135° B．60° C．45° D．30° 【变式训练3-3】在四边形中，，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型4 向量垂直的应用 例4-1已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若则实数（ ） A． B． C．1 D． 例4-2（2025天津西青·模拟预测）设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 方法技巧 垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|． 【变式训练4-1】已知，，，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知是半径为的圆上的三点，若且，则 A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与向量垂直，则 题型5 投影问题 例5-1已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 例5-2（2025天津·联考）有下列四个结论： ①已知，则不能作为平面内所有向量的一个基底； ②若平面向量，则在上的投影向量是； ③两个非零向量，若，则与垂直； ④已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为． 其中所有正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 方法技巧 ，其中，故可变形为 【变式训练5-1·变考法】（2025天津静海·模拟预测）已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（    ） ①在上的投影向量为② ③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练5-2·变考法】（2025天津·联考）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是（   ）． A． B． C． D． 题型6 数量积求最值取值范围问题 例6-1（2025·天津·期末）在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例6-2（2025·天津滨海新·期末）已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【变式训练6-1·变考法】（2021·天津南开·二模）在直角梯形中，，，，为边上一点，，为直线上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（2020天津河西·模拟预测）已知梯形中，，且，，，，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】（2020·天津武清·模拟预测）在等腰梯形中，，，，，点F是线段AB上的一点，为直线BC上的动点，若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 2．（2018·天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知,则的值为 A． B． C． D．0 3．（2012·天津·高考真题）已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则= A． B． C． D． 4．（2016·天津·高考真题）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2010·天津·高考真题）如图，在中，，，，则    A． B． C． D． 6．（2014·天津·高考真题）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　) A． B． C． D． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 1．若向量，，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A．1 B． C． D． 3．已知向量，对任意的，恒有，则（    ） A． B． C． D． 4．设，是单位向量，若，则的值为（    ）． A．1 B．0 C． D． 5．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 6．若，是单位向量，且，则与的夹角是 . 7．已知，，当，满足下列条件时，分别求的值． (1)； (2)； (3)与的夹角为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量的数量积 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 向量的夹角 4 知识点2 平面向量的数量积 4 知识点3 平面向量数量积的几何意义 5 知识点4 向量数量积的运算律 6 知识点5 平面向量数量积的有关结论 6 知识点6 平面向量常用结论 7 题型破译 8 题型1 平面向量数量积的计算 8 题型2 模长问题 10 题型3 角度问题 13 题型4 向量垂直的应用 17 题型5 投影问题 19 题型6 数量积求最值取值范围问题 22 04真题溯源·考向感知 26 05课本典例·高考素材 31 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）平面向量数量积的有关结论 （2）模长问题 （3）数量积求最值取值范围问题 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第14题，5分 天津卷，第14题，5分 天津卷，第14题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，要求线性表示与数量积，模长与角度问题，设题稳定，难度较高，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握向量的数量积公式 2.能掌握向量的模长，垂直于投影公式 3.具备数形结合的思想意识，会借助直角坐标系，求解向量的数量积与夹角模长等问题 4.会解借助点坐标解决最值与取值范围问题 知识点1 向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 自主检测已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量夹角求解即得. 【详解】由，得， ， 则， 因，故. 故选：B 知识点2 平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 自主检测在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和得到，然后利用外心的结论和得到的方程，最后解方程即可. 【详解】∵， 由余弦定理有：， ∴，解得， 由得，， 即， ， 即， 即：，，解得，， ∴. 故选：A． 知识点3 平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e. 自主检测已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义、向量的模计算求解即可. 【详解】因为，， 所以向量在方向上的投影向量为， 投影向量的长度为， 故选：A 知识点4 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 自主检测如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（   ）    A．8 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据基底向量方法，以为基底表达，进而根据数量积公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又， 所以 ． 故选：C 知识点5 平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 自主检测记面积的为S，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及三角形面积公式求解. 【详解】依题意，，， 则，故， 而，所以. 故选：A. 知识点6 平面向量常用结论 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 自主检测已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 题型1 平面向量数量积的计算 例1-1（2025天津·联考）若与的数量积为6，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义结合给定条件得到，再代入得到方程，最后结合求解夹角即可. 【详解】因为，所以， 即，而， 得到，解得， 因为，所以，故B正确. 故选：B 例1-2已知为不共线的非零向量，若，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．相等 D．方向相同 【答案】B 【分析】利用向量与向量的数量积为0即可判断. 【详解】因为为不共线的非零向量，且， 所以，故向量与向量垂直. 故选：B 方法技巧 求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简． 【变式训练1-1·变考法】设向量的夹角为，定义：．若平面内不共线的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平面向量数量积的定义与运算求向量的夹角，再根据的定义求值即可. 【详解】设向量的夹角为，因为， 所以， 由，所以. 又与的夹角为，所以， 所以或， 因为向量不共线，所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【变式训练1-2】（2024·天津·模拟预测）若在中，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】结合平面向量数量积的运算律得，即可判断求解． 【详解】在中，，且，， 则，即，即AB⊥BC，， 则的形状是等腰直角三角形． 故选：D 【变式训练1-3】已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量投影向量的模的定义得出与之间的关系，再利用向量垂直得到向量数量积为零建立一个方程，将关系式代入方程中，结合向量夹角的范围解出即可. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量的模为， 向量在向量方向上的投影向量的模为1， 所以，， 所以有：， 因为， 所以 ， 即 因为，所以， 又，所以， 故选：B. 题型2 模长问题 例2-1已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 例2-2（2024天津·联考）如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】解：在中，，则，分别是边的点，线段的中点分别为 ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，最小值为，即的最小值为. 故选：B. 方法技巧 平面向量的模及其应用的类型与解题策略： （1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． （2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法： ①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用． 【变式训练2-1·变考法】为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解. 【详解】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B 【变式训练2-2】（2023·天津南开·模拟预测）下列关于向量，，的运算，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义及运算律，对各选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，根据平面向量数量积的分配律可知一定成立，故A正确； 对于B，由数量积的结果为数量，则表示与共线的向量，表示与共线的向量， 所以与不一定相同，故B错误； 对于C，设与的夹角为，则，因为， 所以，故C正确； 对于D，，， 由选项C知，则， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：B. 【变式训练2-3】（2022天津·联考）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量运算法则计算出与的数量积，接着求出两个向量的模长，从而求解出夹角的余弦值，求出夹角. 【详解】， ，故，，故，所以，所以向量与的夹角为. 故选：D 题型3 角度问题 例3-1（2025·天津·联考）已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求出，再由即可判断. 【详解】由可得，， ， 因在上的投影向量为，故，则， 因，则， 即与的夹角为. 故选：C. 例3-2（2025天津·模拟预测）已知两不共线向量，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．与的夹角等于 C． D．与在方向上的投影相等 【答案】B 【分析】由向量垂直数量积的坐标表示结合同角的三角函数关系可得A正确；由向量的夹角公式和余弦函数的性质可得B错误；由模长的计算和同角三角函数关系可得C正确；由投影向量和同角三角函数关系可得D正确； 【详解】对于A，，， 所以 ， 所以，故A正确； 对于B，， 当时与的夹角等于；当时与的夹角不等于，故B错误； 对于C，， ， 所以， 因为两向量不共线，，有， 所以，所以，故C正确； 对于D，在方向上的投影为， 在方向上的投影为， 又，， 所以与在方向上的投影相等，故D正确； 故选：B. 方法技巧 （1）求夹角的大小：若，为非零向量，则由平面向量的数量积公式得（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． （2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 【变式训练3-1·变载体】已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长公式，即可结合数量积的定义代入求解. 【详解】由可得， 将，代入可得， 所以，故，由于，所以， 故选：A 【变式训练3-2】已知为单位向量，向量，且，则（    ） A．135° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【分析】利用向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，又， 所以. 故选：C. 【变式训练3-3】在四边形中，，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可以得到四边形为平行四边形，平方后可以得到，所以四边形为矩形，再根据，即可求出与的夹角. 【详解】因为，所以，所以四边形为平行四边形， 又，两边平方得： ， 所以，即，所以平行四边形为矩形， 为与的夹角，所以与的夹角为， 又 所以在中，， 所以， 所以与的夹角为， 故选：C. 题型4 向量垂直的应用 例4-1已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若则实数（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用结合数量积的定义可求的值. 【详解】因为，所以，即， 又，与夹角的余弦值为，所以，故， 故选：A 例4-2（2025天津西青·模拟预测）设，向量且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 方法技巧 垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|． 【变式训练4-1】已知，，，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、数量积的定义，求得向量与向量夹角的余弦值，可得向量与向量的夹角. 【详解】设向量与向量的夹角为. 故选：B 【变式训练4-2】已知是半径为的圆上的三点，若且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量加法几何意义以及向量垂直确定四边形形状，再根据向量数量积定义求结果. 【详解】因为，，所以平行四边形的对角线相互垂直，即四边形为菱形，因为，所以∠,因此选C. 【变式训练4-3】已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与向量垂直，则 【答案】C 【分析】对于A，根据与共线的单位向量的定义将两坐标除以模长，取两个方向即得；对于B，根据投影向量的定义计算即得；对于C，设出所求向量，由和联立方程组求解；对于D，由计算即得. 【详解】对于A，由可得，，故共线的单位向量的坐标为或，故A正确； 对于B，因在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，设与垂直的单位向量为，则有，解得，或， 即与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误； 对于D，由， 解得.故D正确. 故选：C. 题型5 投影问题 例5-1已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系得出，再利用向量的投影的概念即得. 【详解】因为，， ， 解得， ， ，， ， 在上投影向量为： . 故选：C. 例5-2（2025天津·联考）有下列四个结论： ①已知，则不能作为平面内所有向量的一个基底； ②若平面向量，则在上的投影向量是； ③两个非零向量，若，则与垂直； ④已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为． 其中所有正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由得到两向量平行，得到①正确；利用投影向量求解公式求出②正确；两边平方得到，故与垂直，③正确；且与不同向共线，得到④错误. 【详解】对于①，向量，故平行，不能作为平面内所有向量的一组基底，故①正确； 对于②，若平面向量， 则在上的投影向量为，故②正确； 对于③，两个非零向量，，两边平方得 ，解得，则与垂直，故③正确； 对于④，，若与的夹角是锐角， 故且与不同向共线，即且， 解得且，故④错误. 故选：A 方法技巧 ，其中，故可变形为 【变式训练5-1·变考法】（2025天津静海·模拟预测）已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（    ） ①在上的投影向量为② ③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】对于①，根据在上的投影向量为即可判断；对于②，根据即可判断；对于③，根据即可判断；对于④，根据若，则即可判断. 【详解】对于①，在上的投影向量为，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，，故③正确；， 对于④，故④正确. 故选：D 【变式训练5-2·变考法】（2025天津·联考）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知模相等平方后得，再求出在方向上的投影，由投影向量的模为可得结论． 【详解】 ∴， 因为在方向上的投影向量为单位向量， 所以， 故选：A． 【变式训练5-3】已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过向量线性运算、向量平行求得参数，根据投影向量求法求解即可. 【详解】因为向量， 所以， 因为，则，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 题型6 数量积求最值取值范围问题 例6-1（2025·天津·期末）在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量基底法进行转化并结合数量积运算公式、二次函数相关知识求解即可. 【详解】由题意得，，， 因为，， 所以，， 所以， 因为， 所以， 函数开口向下，对称轴为， 当时，取最大值. 故选：A 例6-2（2025·天津滨海新·期末）已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，t +(1-t)=1，可知：若起点相同，则其终点共线，采取数形结合法进行解决. 【详解】如图，，，则，则，因为，其中t +(1-t)=1，于是与共起点，且终点共线，即在直线AB上，于是时（即）最小，最小值为1，无最大值. 故选：C. 方法技巧 （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【变式训练6-1·变考法】（2021·天津南开·二模）在直角梯形中，，，，为边上一点，，为直线上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，、所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，可得的坐标，由得到的坐标，设，由可得答案. 【详解】以为原点，、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 所以， 设，则，，因为， 所以，解得，， 所以直线所在的直线方程为，设， ，， 所以 ，因为为直线上一点， 所以当时有最大值，为， 故选：C. 【变式训练6-2】（2020天津河西·模拟预测）已知梯形中，，且，，，，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作DM⊥AB，根据可得M为AB中点，求出DM的长，建立坐标系，设F（1，m），得出关于m的式子，从而得出答案． 【详解】∵，∴E为CD的中点，过D作DM⊥AB，垂足为M， 则cos∠ABD＝2cos∠ABD＝2， ∴cos∠ABD＝1，即BM＝1，∴M为AB的中点． 又BM∥CD，BM＝CD＝1，DM⊥AB，∴四边形MBCD是矩形． ，可得∠BAD＝，AM＝AB＝1，∴DM＝， 以D为原点，以DC，DM为坐标轴建立平面直角坐标系， 则E（，0），A（﹣1，），设F（1，m），则0≤m≤， ∴当m＝时，取得最小值， 当m＝0或m＝时，取得最大值1． 故选：C 【变式训练6-3】（2020·天津武清·模拟预测）在等腰梯形中，，，，，点F是线段AB上的一点，为直线BC上的动点，若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立平面直角坐标系，根据条件求出，写出的表达式， 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 由已知可得，； 设，则， 由可得 解得，所以； ， 由得，解得，此时. 设,则， ， 所以 当时，取到最大值. 故选：B. 1．（2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。 详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 = 所以当时，上式取最小值 ，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。 2．（2018·天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知,则的值为 A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN， 由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点， 则， 由题意可知： ，， 结合数量积的运算法则可得： . 本题选择C选项. 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 3．（2012·天津·高考真题）已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则= A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 【考点定位】本题考查向量的数量积和向量的减法运算，考查学生灵活应用数形结合思想的解题和字母的运算能力 4．（2016·天津·高考真题）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：设，，∴，， ，∴. 【考点】向量数量积 【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 5．（2010·天津·高考真题）如图，在中，，，，则    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴， 故选． 6．（2014·天津·高考真题）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C． 考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 1．若向量，，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量的平方即为模的平方求模，再求出，的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到． 【详解】，， ，，， 设与夹角的余弦值为， ，所以． 故选：． 2．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件和算出答案即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以，即 故选：D 3．已知向量，对任意的，恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律求得，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】由可得， 又，令则上式等价于，对任意的恒成立， 故，解得，解得，即； 对A：由，故不成立，A错误； 对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误； 对C：，故，C正确； 对D： ，不确定其结果，故不一定成立，D错误. 故选：C. 4．设，是单位向量，若，则的值为（    ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】直接根据平面向量数量积的运算律，将展开，计算结果. 【详解】因为，是单位向量，且，所以，， 所以 故选：A. 5．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据已知化简即可得出，，进而得出答案. 【详解】设， 由已知可得，， 所以. 又， 所以，解得（舍去负值）， 所以，. 故选：D. 6．若，是单位向量，且，则与的夹角是 . 【答案】 【分析】根据已知即可求出，结合向量夹角的范围，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又，所以. 故答案为：. 7．已知，，当，满足下列条件时，分别求的值． (1)； (2)； (3)与的夹角为． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】根据数量积的定义计算可得. 【详解】（1）因为，所以与的夹角为或，又，， 当与的夹角为时， 当与的夹角为时. （2）因为，所以与的夹角为， 所以. （3）因为与的夹角为， 所以. 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$