第01讲 平面向量的概念及线性计算（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 平面向量的概念及线性运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 向量的概念 4 知识点2 向量的表示法 4 知识点3 向量的共线或平行 4 知识点4 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 5 知识点5 向量求和的多边形法则及加法运算律 6 知识点6 向量的减法 6 知识点7 数乘向量 6 知识点8 向量共线的条件 7 知识点9 平面向量的数量积 7 知识点10 平面向量数量级的运算 7 题型破译 8 题型1 向量的基本概念 8 题型2 向量的表示方法 9 题型3 向量加法运算律的应用 10 题型4 向量减法法则的应用 11 题型5 向量的线性运算 13 题型6 三点共线的常用结论 14 题型7 求两向量的数量积 15 题型8 向量的模和夹角的计算问题 15 04真题溯源·考向感知 16 05课本典例·高考素材 18 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）向量的共线或平行 （2）向量共线的条件 （3）三点共线的常用结论 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第14题，5分 天津卷，第14题，5分 天津卷，第14题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，运用三角形的加减法法则进行线性表示，以及求参，设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握向量的概念，能够熟练使用三角形法则与平行四边形法则 2.能掌握向量共线的性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助建系解决线性表示与共线的问题 4.会利用共线定理解决含参问题 知识点1 向量的概念 1、向量：既有______又有________的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有________的量（如年龄、身高、长度、面积和质量等），称为数量． 3、向量与数量的区别：数量与数量之间_________比较大小，而向量与向量之间_________比较大小． 自主检测下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 知识点2 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 自主检测下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 知识点3 向量的共线或平行 1、方向相同或相反的非零向量，叫________向量（_______向量又称为________向量，相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量）． 规定：与任一向量共线，________的方向是任意的． 自主检测在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 知识点4 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的__________法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的____________法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的________． 对于零向量与任一向量，我们规定． 自主检测如图所示，，，M为AB的中点，则为（    ）    A． B． C． D． 知识点5 向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的．这个法则______________叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 自主检测下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 知识点6 向量的减法 1、如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的________． 2、相反向量：与向量方向______________的向量叫做的相反向量． 3、向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的． 自主检测是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 知识点7 数乘向量 1、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 自主检测设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 知识点8 向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与______________． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使得．（是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化） 自主检测已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点9 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的_________是，则数量叫与的__________，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 自主检测设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 知识点10 平面向量数量级的运算 1、交换律： 2、结合律： 3、分配律： 自主检测已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 题型1 向量的基本概念 例1-1（24-25北京丰台）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2（22-23天津河北·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 B．零向量是最小的向量 C．若向量与向量平行，向量与向量平行，则向量与向量一定平行 D．单位向量的长度为1 方法技巧 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 【变式训练1-1】给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同； ②若向量满足，则 ③若，，，是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件； ④的充要条件是且. 其中正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2】（23-24山东德州）下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【变式训练1-3】（23-24天津静海）下列四个结论，正确的个数是（   ） ①两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行 ②与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 ③在中，若，则； ④若//，则存在唯一实数使得； ⑤若，，则； ⑥在中，若，且，则为等边三角形. A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 向量的表示方法 例2-1已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例2-2（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 作向量的方法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 【变式训练2-1】下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【变式训练2-2】（23-24全国模拟）下列命题正确的是（ ） A．若四点在同一条直线上，且，则 B．在中，若点满足，则点是的外心 C．若，把右平移个单位，得到的向量的坐标为 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 【变式训练2-3】下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 向量加法运算律的应用 例3-1（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 方法技巧 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．由于向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【变式训练3-1】（2003·天津·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式训练3-2】（2023·天津南开·二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式训练3-3】（23-24天津南开·阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 题型4 向量减法法则的应用 例4-1（23-24天津南开）化简等于（    ） A． B． C． D． 例4-2（2022天津模拟）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）      A． B． C． D． 方法技巧 1、向量减法运算的常用方法 可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算 运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同起点 2、向量加减法化简的两种形式 （1）首尾相连且为和（2）起点相同且为差 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用 【变式训练4-1】在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-2】如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型5 向量的线性运算 例5-1已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 例5-2在中，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【变式训练5-1】（22-23天津和平）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（23-24天津·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练5-3】25．（19-20天津红桥·模拟预测）如图所示，在菱形中，，，为 的中点，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型6 三点共线的常用结论 例6-1（24-25天津蓟州·阶段练习）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 例6-2已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【变式训练6-1】（2022·全国·模拟预测）在等腰直角三角形的斜边上有一点.已知，，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【变式训练6-2】（2021高三·全国·专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式训练6-3】（20-21全国·模拟预测）已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 题型7 求两向量的数量积 例7-1（24-25天津·模拟预测）已知正六边形边长为2，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 方法技巧 求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【变式训练7-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练7-2】（24-25天津·模拟预测）记面积的为S，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型8 向量的模和夹角的计算问题 例8-1已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 例8-2已知非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【变式训练8-1】若与的数量积为6，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】（24-25天津南开·模拟预测），是两个非零向量，且，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 3．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．    7．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为 8．（2006·天津·高考真题）设向量与的夹角为，且，，则 . 1．下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同； C．，为任意向量 D．且 2．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 3．若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 4．设，是单位向量，若，则的值为（    ）． A．1 B．0 C． D． 5．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A．1 B． C． D． 6．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A． B． C． D． 7．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念及线性运算 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 向量的概念 4 知识点2 向量的表示法 4 知识点3 向量的共线或平行 5 知识点4 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 6 知识点5 向量求和的多边形法则及加法运算律 7 知识点6 向量的减法 7 知识点7 数乘向量 8 知识点8 向量共线的条件 8 知识点9 平面向量的数量积 9 知识点10 平面向量数量级的运算 10 题型破译 10 题型1 向量的基本概念 10 题型2 向量的表示方法 13 题型3 向量加法运算律的应用 16 题型4 向量减法法则的应用 19 题型5 向量的线性运算 21 题型6 三点共线的常用结论 24 题型7 求两向量的数量积 27 题型8 向量的模和夹角的计算问题 29 04真题溯源·考向感知 31 05课本典例·高考素材 38 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）向量的共线或平行 （2）向量共线的条件 （3）三点共线的常用结论 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第14题，5分 天津卷，第14题，5分 天津卷，第14题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，运用三角形的加减法法则进行线性表示，以及求参，设题稳定，难度中档，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握向量的概念，能够熟练使用三角形法则与平行四边形法则 2.能掌握向量共线的性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助建系解决线性表示与共线的问题 4.会利用共线定理解决含参问题 知识点1 向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积和质量等），称为数量． 3、向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 自主检测下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 知识点2 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 自主检测下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错； 对于②，若，，则，②对； 对于③，且或， 所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错； 对于④，取，则、不一定共线，④错； 对于⑤，若、、、是不共线的四点， 当时，则且，此时，四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知， 所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对. 故选：A. 知识点3 向量的共线或平行 1、方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量，相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量）． 规定：与任一向量共线，零向量的方向是任意的． 自主检测在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【详解】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 知识点4 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 自主检测如图所示，，，M为AB的中点，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，M为AB的中点， 所以. 故选：B 知识点5 向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 自主检测下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】； ； ； . 故选：D. 知识点6 向量的减法 1、如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 2、相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． 3、向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的． 自主检测是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 知识点7 数乘向量 1、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 自主检测设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，所以为中点，即， 又因为点E为边上的中点，所以， 由， 因为，，所以， 故选：D. 知识点8 向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使得．（是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化） 自主检测已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 知识点9 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 自主检测设平面向量，，且，则=（    ） A．1 B．14 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以又， 则 所以， 则 ， 故选： 知识点10 平面向量数量级的运算 1、交换律： 2、结合律： 3、分配律： 自主检测已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 题型1 向量的基本概念 例1-1（24-25北京丰台）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 例1-2（22-23天津河北·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 B．零向量是最小的向量 C．若向量与向量平行，向量与向量平行，则向量与向量一定平行 D．单位向量的长度为1 【答案】D 【分析】利用向量的定义与性质即可判断AB，利用零向量的特殊性即可判断C，根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对A，若向量方向不同，则终点不同，故A错误； 对B，向量无大小之分，故B错误； 对C，若，根据零向量与任何向量共线，则与可能不平行，故C错误； 对D，根据单位向量的定义知，单位向量的长度为1，故D正确. 故选：D. 方法技巧 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 【变式训练1-1】给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同； ②若向量满足，则 ③若，，，是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件； ④的充要条件是且. 其中正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据平面向量定义及共线的条件，充分必要条件的判断，可判断四个选项. 【详解】对于①，因为向量可以平移，所以相等向量的坐标相同，所以①正确； 对于②，若向量满足，因为方向向量不确定，所以不一定正确，故②错误； 对于③，，，，是不共线的四点，若“”，由平行四边形判定定理“一组对边平行且相等，则四边形为平行四边形”可知“四边形为平行四边形”；若“四边形为平行四边形”，由平行四边形性质可知“对边平行且相等”，所以“”，即“”是“四边形为平行四边形”的充要条件，故③正确； 对于④，若，则且；若且，则或，故④错误. 综上可知，正确的为①③ 故选：B 【变式训练1-2】（23-24山东德州）下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，则不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确. 故选：C. 【变式训练1-3】（23-24天津静海）下列四个结论，正确的个数是（   ） ①两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行 ②与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 ③在中，若，则； ④若//，则存在唯一实数使得； ⑤若，，则； ⑥在中，若，且，则为等边三角形. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平行向量的概念判断①，根据向量的定义判断②，根据正弦定理判断③，根据共线向量基本定理判断④，举反例判断⑤，根据向量的加法运算和数量积的定义求解三角形的边角关系判断⑥. 【详解】①平行向量可以在同一直线上，也可以不在同一直线上，错误. ②向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，错误. ③在中，若，则，由正弦定理可得：，正确. ④若且，则存在唯一实数使得， 故当时，不能表示非零向量，错误. ⑤当时，满足，，但与不平行，错误. ⑥在中，为方向的单位向量，为方向的单位向量， 设的角平分线交于点. 所以在的角平分线上，由， 所以，所以； 又，所以，又，所以， 所以为等边三角形，正确. 综上，正确的个数是2个. 故选：B 题型2 向量的表示方法 例2-1已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得. 【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误； 对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误； 对于C，向量，为单位向量，则，C正确； 对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误. 故选：C. 例2-2（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，得到点为线段的中点，得出为直角三角形，且为等边三角形，进而求得向量在向量上的投影向量. 【详解】由，可得， 所以，即点为线段的中点， 又因为的外接圆圆心为，所以为直角三角形，所以 因为，可得，所以为等边三角形， 故点作，可得，所以， 因为向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量为. 故选；A. 方法技巧 作向量的方法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 【变式训练2-1】下列说法错误的是（     ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】C 【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确； 对于C项，由于向量不能比较大小，故C项错误； 对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确. 故选：C. 【变式训练2-2】（23-24全国模拟）下列命题正确的是（ ） A．若四点在同一条直线上，且，则 B．在中，若点满足，则点是的外心 C．若，把右平移个单位，得到的向量的坐标为 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 【答案】D 【分析】根据相等向量定义可知AC正误；根据向量线性运算和向量加法几何意义，结合三角形重心和内心的定义与性质可确定BD正误. 【详解】对于A，如下图所示， 此时，但与反向，，A错误； 对于B，设中点为，则， ，即， 点是的重心，B错误； 对于C，向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 即将向右平移个单位，所得向量坐标依然为，C错误； 对于D，，点在边长为的菱形的对角线上， 又菱形对角线平分一组对角，即平分角，点的轨迹经过的内心，D正确. 故选：D. 【变式训练2-3】下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. ，为相反向量；④错误.  A与C，B与D不一定重合. 【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. ③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量. ④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合. 故选：C 题型3 向量加法运算律的应用 例3-1（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 方法技巧 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．由于向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【变式训练3-1】（2003·天津·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】， 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 【变式训练3-2】（2023·天津南开·二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】求出，由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可． 【详解】，，所以，则， 又因为， 所以，所以 由可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 所以， 故选：A 【变式训练3-3】（23-24天津南开·阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得结果. 【详解】由题设 ， 所以，即， 又，故. 故选：A 题型4 向量减法法则的应用 例4-1（23-24天津南开）化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算计算即可． 【详解】， 故选：D． 例4-2（2022天津模拟）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法运算法则直接计算. 【详解】由题意得，， 因为，， 所以. 故选：B 方法技巧 1、向量减法运算的常用方法 可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算 运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同起点 2、向量加减法化简的两种形式 （1）首尾相连且为和 （2）起点相同且为差 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用 【变式训练4-1】在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算法则即可得解. 【详解】对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确； 故选：C. 【变式训练4-2】如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法结合图形计算得出线性表示求解, 【详解】 在中， 点D是边BC的中点， 所以， 所以，化简得， 则 . 故选：A 【变式训练4-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的值域可化简集合A，根据指数函数的值域化简集合B，然后利用集合交集的运算求解即可， 【详解】因为时，，所以集合， 因为时，，所以集合， 所以， 故选：A， 题型5 向量的线性运算 例5-1已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 例5-2在中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点所在位置，结合平面向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】因为，所以为线段上靠近的三等分点，如下图所示：    故． 故选：C． 方法技巧 向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【变式训练5-1】（22-23天津和平）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B 【变式训练5-2】（23-24天津·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可得，又三点共线，可得，则，利用向量的线性运算可得，进而表示出，计算即可. 【详解】在中，因为，所以，， 所以， 即， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而， 所以， 又，，， 则 . 故选：C. 【变式训练5-3】25．（19-20天津红桥·模拟预测）如图所示，在菱形中，，，为 的中点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算，表示出，然后根据数量积的运算法则求得答案. 【详解】由题意得： , 故 ， 故选：A 题型6 三点共线的常用结论 例6-1（24-25天津蓟州·阶段练习）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 例6-2已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 方法技巧 判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【变式训练6-1】（2022·全国·模拟预测）在等腰直角三角形的斜边上有一点.已知，，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，由与建立方程组，联立即可求出答案. 【详解】由题意可建立平面直角坐标系，令，，，则，，，所以有；而，又在上，，所以有.因此，，则. 故选：A. 【变式训练6-2】（2021高三·全国·专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由向量共线可得，再结合等差数列前项和公式即求. 【详解】点、、是直线上不同的三点， 存在非零实数，使； 若， ，； ； 数列是等差数列， ； ． 故选：A． 【变式训练6-3】（20-21全国·模拟预测）已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题首先可设点的坐标为，然后通过题意得出，再然后写出、，最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果. 【详解】设点的坐标为， 因为、、三点共线，所以， 因为，，所以，， 则，整理得， 将、、、代入中，只有满足， 故选：C. 题型7 求两向量的数量积 例7-1（24-25天津·模拟预测）已知正六边形边长为2，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】在正六边形中，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，在上的投影向量为，D正确. 故选：D 方法技巧 求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【变式训练7-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义求两个向量的数量积. 【详解】因为. 故选：B 【变式训练7-2】（24-25天津·模拟预测）记面积的为S，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及三角形面积公式求解. 【详解】依题意，，， 则，故， 而，所以. 故选：A. 【变式训练7-3】已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系得出，再利用向量的投影的概念即得. 【详解】因为，， ， 解得， ， ，， ， 在上投影向量为： . 故选：C. 题型8 向量的模和夹角的计算问题 例8-1已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量夹角求解即得. 【详解】由，得， ， 则， 因，故. 故选：B 例8-2已知非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设非零向量与的夹角为，由向量垂直得到，根据数量积的定义及运算律求出， 【详解】设非零向量与的夹角为， 由且， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：． 方法技巧 （1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【变式训练8-1】若与的数量积为6，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义结合给定条件得到，再代入得到方程，最后结合求解夹角即可. 【详解】因为，所以， 即，而， 得到，解得， 因为，所以，故B正确. 故选：B 【变式训练8-2】已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求出，再由即可判断. 【详解】由可得，， ， 因在上的投影向量为，故，则， 因，则， 即与的夹角为. 故选：C. 【变式训练8-3】（24-25天津南开·模拟预测），是两个非零向量，且，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】令根据已知及数量积的运算律有，进而求得，且，再由向量的夹角公式求夹角. 【详解】若，则， 所以，则， 由， 又，故. 故选：A 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 3．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 5．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    7．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为 【答案】 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出． 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 8．（2006·天津·高考真题）设向量与的夹角为，且，，则 . 【答案】 【分析】由已知可先求得，再根据向量夹角关系即可求出. 【详解】设，则， 则，解得，即， 则. 故答案为：. 1．下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同； C．，为任意向量 D．且 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念，即可得到结果. 【详解】由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 2．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据已知化简即可得出，，进而得出答案. 【详解】设， 由已知可得，， 所以. 又， 所以，解得（舍去负值）， 所以，. 故选：D. 3．若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的性质即可判断：. 【详解】因为， ∴. 若与共线，由则中有一个必为零向量， 与不共线，即， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 4．设，是单位向量，若，则的值为（    ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】直接根据平面向量数量积的运算律，将展开，计算结果. 【详解】因为，是单位向量，且，所以，， 所以 故选：A. 5．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件和算出答案即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以，即 故选：D 6．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 7．若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 共线：B. 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据向量加减法法则和向量数乘即可求解； （2）证明即可判断EF⊥EG. 【详解】（1）； . （2）. 证明如下： 由（1）知，，， . ，. 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$