第04讲 复数（专项训练）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04 讲 复数 目录 01 常考题型过关练 题型01 复数的概念 题型02 复数的分类 题型03 复数相等的充要条件 题型04 复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 题型05 复数的模及其应用 题型06 复数模的几何意义 题型07 复数代数形式的加、减运算 题型08 复数模的综合问题 题型09 复数代数形式的乘、除法运算 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 复数的概念 1．i是虚数单位， 则的虚部为（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算化简，再根据复数的虚部概念判断. 【详解】因为， 所以该复数的虚部为1. 故选：B. 2．已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数乘法运算化简复数，即可由虚部定义求解. 【详解】由可得， 故虚部为， 故选：D 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出复数的实部与虚部，写出结果即可． 【详解】的虚部为3，所求复数实部为3， ，即的实部为，所求复数的虚部为． 所求复数为． 故选：C． 4．已知复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法运算直接计算可得结果. 【详解】因为. 所以. 所以的虚部为. 故选：A 5．若，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D．i 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求，进而根据复数的概念分析判断. 【详解】由题意可得：， 所以的虚部为. 故选：B. 02 复数的分类 6．i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数乘法法则得到，根据复数类型得到方程，求出，故，，得到对应的点的坐标，求出所在象限. 【详解】， 复数为纯虚数，则，解得，故， 故复数， 故复数在复平面上对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D 7．已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的概念，即可得出答案. 【详解】若，则复数是实数； 若复数是实数，则. 所以“”是“复数是实数”的充要条件. 故选：C. 8．已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解. 【详解】由题意：，解得：， 所以，虚部为， 故选：C 9．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据复数的类型可得答案. 【详解】若复数（是虚数单位）是纯虚数， 则，解得. 故选：A. 10．已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位),若z<6,则实数m＝（    ） A．2 B．2或－4 C．4 D．－2或4 【答案】A 【分析】根据虚数不能比较大小与z<6可知为实数,故虚部为0,进而求得的值,再根据z<6 【详解】因为z<6,故为实数,故,即,解得或. 当时成立；当时, 不满足.故. 故选：A 03 复数相等的充要条件 11．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由得，设代入建立方程组，解方程组即可得到. 【详解】设， 由，得，即， 所以或， 所以. 故选：B. 12．已知复数，若集合，则的子集个数是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】方法一：利用代入法，由复数相等的条件得到关于实数的方程组求解，得到集合的元素；方法二：直接利用求根公式解方程得到集合的元素；方法三：利用判别式直接得到方程得根的个数.最后根式集合的元素个数，利用集合的子集个数计算公式得到答案. 【详解】方法一：由，复数， ，即， ，解得， 所以， 所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个； 方法二：，所以由求根公式得， 所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个； 方法三：因为，∴有且仅有2个虚数根， 所以含有两个元素，所以A的子集有个. 故选：C. 13．若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数运算结合复数相等概念可得，然后结合可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，解得，.因为，所以， 解得或. 故选：A. 14．已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数相等求出复数z即可作答. 【详解】设，，则，由得：， 即，于是得，解得，则有对应的点为， 所以在复平面内复数z对应的点在第一象限. 故选：A 15．已知，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件列式求解． 【详解】由, 得a+2i=-1+bi， ∴a=-1，b=2，则a+b=1． 故选B． 04 复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 16．当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】原复数化为（3m﹣2）+i（m﹣1），再根据m的范围确定. 【详解】m（3+i）﹣（2+i）化简得（3m﹣2）+i（m﹣1）， ∵ ∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0 ∴所对应的点在第四象限 故选：D. 17．若复数所表示的点在第一象限，则实数m的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】表示的点在第一象限， ，解得． 实数的取值范围是．故选C． 18．若复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】∵=1﹣i，∴z=， ∴， 则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限． 故选A． 19．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义写出复数，，再结合共轭复数、复数的乘法运算求解作答. 【详解】因复数，对应的向量分别是，，则，， 于是得， 所以复数对应的点位于第二象限. 故选：B 20．设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算，结合复数的几何意义求解即可 【详解】由题意 故选：B 05 复数的模及其应用 21．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以. 故选：A. 22．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】应用复数除法求得复数，再求其模. 【详解】由，故. 故选：A 23．已知复数z在复平面上对应的点为，则（    ） A．z的虚部为 B． C． D．是纯虚数 【答案】D 【分析】根据题意得，根据虚部的概念、模的求法、共轭复数的概念、纯虚数的概念依次判断选项，即可求解. 【详解】A：因为复数z在复平面上对应的点为， 则，所以复数z的虚部为-1，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，为纯虚数，故D正确． 故选：D． 24．若复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知求出复数，再求其模即可 【详解】因为， 所以， 故选：B 25．设复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】对复数进行化简变形，结合复数模公式即可得解． 【详解】由题：， ，则 故选：A 06 复数模的几何意义 26．若复数在复平面上所对应的点为，则的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的四则运算化简，即可求得复数的模. 【详解】由题意知，则, 所以， 故选：D. 27．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的向量表示形式，结合复数的几何意义、复数实部定义进行求解即可. 【详解】因为复数4i对应的向量为， 所以 ， 绕点O逆时针方向旋转后变为， 再将模变为原来的倍，得，对应的复数的实部是， 故选：B 28．设复数z在复平面内对应的点为，则的模为（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】根据复数对应点得出复数，再应用乘法除法计算即可得出复数，最后计算求模. 【详解】因为复数z在复平面内对应的点为,所以, 所以. 故选：A. 29．在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由复数对应的点求出复数的代数形式，利用共轭复数和复数的除法化简，模长公式求模. 【详解】复平面内，复数，对应的点分别是， 则有，，， ， . 故选：D 30．设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，且，利用得，模长为1得，求出后可得. 【详解】设，因为在复平面对应的点位于第一象限， 所以，由得， 因为复数z的模长为1，所以，解得， 所以，. 故选：C. 07 复数代数形式的加、减运算 31．是虚数单位，复数，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由复数的乘方和除法运算可得解. 详解：由复数， 可得. 故选C. 点睛：本题主要考查了复数的乘方和除法运算，属于基础题. 32．若复数（为虚数单位），则的共轭复数 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，应选答案B． 33．设，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】试题分析：,对应的点为,在第四象限 考点：复数运算及其相关概念 34．若复数满足，则的虚部是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数满足，所以z=1-3+4i=-2+4i，所以根据复数实部和虚部的概念得z的虚部为4.故选B. 35．设复数的共轭复数为 ，若，则z=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的加法运算及复数相等求解. 【详解】设， 则， 所以， 故，解得 故， 故选：D 08 复数模的综合问题 36．已知复数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：利用复数除法运算化简得到，由共轭复数定义和模长运算法则可求得结果； 方法二：根据可直接求得结果. 【详解】方法一：，. 方法二：. 故选：B. 37．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法运算法则以及复数的模的概念即可得到结果. 【详解】， ， 故选：B. 38．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数模求解的范围，化简B，求交集即可. 【详解】由，解得， 所以， ， 故选：A 39．已知为虚数单位，若复数的实部为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复数的运算法则可得，进而可得，求得后，由复数模的概念即可得解. 【详解】由题意， 所以复数的实部为，解得， 所以，所以. 故选：D. 40．设复数满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】化简得到，得到模长. 【详解】，故. 故选：. 09 复数代数形式的乘、除法运算 41．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法及除法运算化简复数，再根据共轭复数定义判断即可. 【详解】因为. 所以. 故选：C. 42．设为虚数单位，复数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z的值，然后求解其共轭复数的值即可. 【详解】，则， 故选B. 43．已知是虚数单位，则复数                                 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ,选A. 44．为虚数单位，复数的共轭复数是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解： 则复数的共轭复数是. 故选B. 点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题． 45．已知复数，若为实数，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的运算法则与复数为实数的条件求解即可 【详解】因为复数， 所以 ， 又因为是实数， 所以， 解得， 故选：A. 1．（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的乘法，结合复数相等，可得参数的值，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，则， 所以复数在复平面上的对应点为. 故选：D. 2．（2024·天津·一模）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数四则运算的规则，计算出z，再根据复数的几何意义即可确定. 【详解】解：依题意，，，所以， 根据复数的几何意义，对应的是点（1，1）； 故选：C. 3．（2025·天津河东·模拟预测）复数满足，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】设复数， 由得， 所以，解得， 因为时，不能满足，舍去； 故，所以，其对应的点位于第二象限， 故选：B. 4．（2023·天津·一模）已知a，，若（i是虚数单位），则复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法，先得到，根据复数相等，求出参数，即可得出结果. 【详解】因为， 所以，因此. 故选：B. 5．（2025·天津·二模）已知复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对称性求出，再利用复数除法的运算法则求解即可. 【详解】因为复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称， ， ，故选B. 6．（2024·天津·二模）若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 A．-6 B．13 C． D． 【答案】A 【详解】解答： ∵是纯虚数， ∴，解得a=−6. 本题选择A选项. 7．（2024·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用复数的四则运算求出，再结合共轭复数的定义求解． 【详解】复数， 所以的共轭复数． 故选：C． 8．（2023·天津·二模）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的周期性以及复数的除法进行计算即可. 【详解】因为，所以由周期性可知. 故选：C. 9．（2025·天津南开·二模）复数（是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（    ） A．（1，0） B．（0，1） C． D． 【答案】B 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】∵z， ∴复数是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（0，1）. 故选：B. 10．（2025·天津河北·一模）i为虚数单位，则复数 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数，则答案可求． 【详解】∵ ∴复数 故选B 11．（2025·天津河东·二模）是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】分析：首先根据复数的运算法则，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，将其化简，从而得到复数的实部和虚部，之后借助于其在复平面内对应的点的坐标的符号判断得出结果. 详解：因为， 所以该复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以该复数在复平面内对应的点在第三象限，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的概念和计算，以及复数在复平面内对应的点的坐标的形式，从而求得结果，属于基础题. 12．（2025·天津红桥·一模）复数的虚部是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ，所以的虚部是 ，故选C. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04 讲 复数 目录 01 常考题型过关练 题型01 复数的概念 题型02 复数的分类 题型03 复数相等的充要条件 题型04 复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 题型05 复数的模及其应用 题型06 复数模的几何意义 题型07 复数代数形式的加、减运算 题型08 复数模的综合问题 题型09 复数代数形式的乘、除法运算 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 复数的概念 1．i是虚数单位， 则的虚部为（   ） A．3 B．1 C． D． 2．已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．若，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D．i 02 复数的分类 6．i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 9．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位),若z<6,则实数m＝（    ） A．2 B．2或－4 C．4 D．－2或4 03 复数相等的充要条件 11．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 12．已知复数，若集合，则的子集个数是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 13．若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 04 复数与复平面内的点与复平面内向量的关系 16．当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．若复数所表示的点在第一象限，则实数m的取值范围是　　 A． B． C． D． 18．若复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 05 复数的模及其应用 21．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B．5 C．2 D． 22．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B．5 C．2 D． 23．已知复数z在复平面上对应的点为，则（    ） A．z的虚部为 B． C． D．是纯虚数 24．若复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 25．设复数z满足（其中i为虚数单位），则（    ） A． B． C．2 D． 06 复数模的几何意义 26．若复数在复平面上所对应的点为，则的模为（    ） A． B． C． D． 27．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（   ） A．6 B． C． D． 28．设复数z在复平面内对应的点为，则的模为（    ） A．1 B．2 C． D．0 29．在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（    ） A．5 B． C．2 D． 30．设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足，则（    ） A． B． C． D． 07 复数代数形式的加、减运算 31．是虚数单位，复数，则 A． B． C． D． 32．若复数（为虚数单位），则的共轭复数 A． B． C． D． 33．设，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 34．若复数满足，则的虚部是 A． B． C． D． 35．设复数的共轭复数为 ，若，则z=（    ） A． B． C． D． 08 复数模的综合问题 36．已知复数（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 37．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 38．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 39．已知为虚数单位，若复数的实部为，则 A． B． C． D． 40．设复数满足，则（    ） A． B． C． D．2 09 复数代数形式的乘、除法运算 41．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 42．设为虚数单位，复数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 43．已知是虚数单位，则复数                                 A． B． C． D． 44．为虚数单位，复数的共轭复数是 A． B． C． D． 45．已知复数，若为实数，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·一模）若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·天津·一模）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津河东·模拟预测）复数满足，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023·天津·一模）已知a，，若（i是虚数单位），则复数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·二模）已知复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则 A． B． C． D． 6．（2024·天津·二模）若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 A．-6 B．13 C． D． 7．（2024·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则z的共轭复数（    ） A． B． C． D． 8．（2023·天津·二模）复数（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津南开·二模）复数（是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（    ） A．（1，0） B．（0，1） C． D． 10．（2025·天津河北·一模）i为虚数单位，则复数 A． B． C． D． 11．（2025·天津河东·二模）是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2025·天津红桥·一模）复数的虚部是 A． B． C． D． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$