专题04 分式方程（数学竞赛真题汇编）八年级全国通用

专题04 分式方程 1．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了，因而利润率比甲提高了12个百分点．那么甲经销这种手机的利润率是（  ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）某水池有编号为①，②，…，⑤的5个进水水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表，则5个水管齐开，（   ）小时可把水池灌满． 水管号 ①② ②③ ①④ ②④ ③⑤ 时间（小时） 6 12 18 A．3 B． C．4 D． 4．（24-25九年级下·上海）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 ． 5．（24-25七年级下·安徽）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 6．（2025·重庆）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 7．（八年级下·四川）从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 8．（24八年级下·陕西）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为 ． 9．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）当k为何值时，分式方程无解？ 10．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）一艘船在河中逆流而上，路过桥A时船上的救生圈被水冲走，继续向前行驶了发现救生圈遗失，立即返回，在距桥的地方追到了救生圈．求水流速度． 11．（2025·江苏扬州）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 12．（24九年级下·广东）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商店用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价 (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值． 1．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程得（    ）． A． B． C． D．无解 2．（2024八年级·全国·竞赛）某服装店用4.5万元购进某种品牌的服装，由于销售状况良好，服装店又调拨11万元资金购进该种服装，但这次的单价比第一次的单价贵20元，购进服装的数量比第一次的2倍还多50件，求该服装第一次的单价．为解决此问题，设该服装第一次的单价为元，根据题意列出方程，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知实数满足，那么的值为（　　） A．1或 B．或2 C． D． 4．（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有若干个白色和黄色的乒乓球，它们除了颜色不同之外，其余都相同，从中随意摸出一个球，它是黄球的概率是，如果已知其中白球有4个，那么黄球的个数为（    ）． A．5个 B．6个 C．8个 D．10个 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知关于的分式方程有无数个解，则的值为（    ） A．36 B．18 C．12 D．6 6．（2024八年级·全国·竞赛）方程的解是（    ）． A．1 B． C．2 D．0 7．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 8．（2024九年级·全国·竞赛）解方程． 9．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程． (1)若，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求的值． 10．（2024九年级·全国·竞赛）在一个盒子中有20个质地、形状、大小都相同，只有颜色不同的玻璃球，其中红色玻璃球有7个，黑色玻璃球有8个，黄色玻璃球有5个． (1)求搅拌均匀后从盒子中随意摸出一个球是黄色玻璃球的概率； (2)从盒子中取出x个黑色玻璃球，然后搅拌均匀，使得再从盒子中随意摸出一个球是黑色玻璃球的概率是，求x的值． 11．（2024八年级·全国·竞赛）某课外培优机构为了奖励进步较大，并表现突出的学生，特地购买了《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》和《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》两种图书作为奖品，已知《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》的单价是《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》的单价的1.5倍，用1200元单独购买《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》比单独购买《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》要少10本． (1)这两种图书的单价分别是多少元？ (2)如果该培优机构计划购买这两种图书共200本，投入的费用不超过10000元，并且购买《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》的数量不少于《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》的数量，那么这两种图书各应购买多少本？ 12．（2024八年级·全国·竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式方程 1．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，分别设出甲、乙、丙单独做完成工程所需天数，利用工作时间工作总量工作效率解答即可． 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需x天、y天、z天， ∵甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍， ∴， 由此得出， ∴； 同理可得，； 所以． 故选：A． 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）有两个相邻的手机门市甲和乙，甲购进了几只某种型号的手机，定好了售价．一个月后，乙也购进了几只同样的手机，售价与甲相同，但进价比甲降低了，因而利润率比甲提高了12个百分点．那么甲经销这种手机的利润率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了分式的应用题，解题的关键是要区分利润率比甲提高了12个百分点，还是利润比甲提高了12个百分点． 首先假设甲购进手机的进价为元，售价为元．那么甲购进手机的利润率，乙购进手机的进价为 ，那么乙的利润是．根据利润率乙比甲提高了12个百分点，即甲经销这种手机的利润乙经销这种手机利润．那么可解的的值，则甲经销这种手机的利润率即可得解． 【详解】解：设甲购进手机的进价为元，售价为元． 根据题意得， 解得：， ∴甲经销这种手机的利润率， 故选：B． 3．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）某水池有编号为①，②，…，⑤的5个进水水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表，则5个水管齐开，（   ）小时可把水池灌满． 水管号 ①② ②③ ①④ ②④ ③⑤ 时间（小时） 6 12 18 A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设单独开①，②，③，④，⑤进水水管灌满水池需要的时间分别为a，b，c，d，e小时，根据题意列出方程组，利用整体思想解方程组，得到答案．本题考查的是分式方程的应用，灵活运用整体思想是解题的关键． 【详解】解：设单独开①，②，③，④，⑤进水水管灌满水池需要的时间分别为a，b，c，d，e小时， 由题意得：， ，得 则⑥， ，得 ∴ ∴ ∴5个水管齐开，4小时可把水池灌满， 故选：C． 4．（24-25九年级下·上海）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程、换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．设，将原方程转化为关于的方程，再对关于的方程去分母整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 方程， 方程转化为关于的方程为， 整理得：， 原方程转化为关于的整式方程为． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·安徽）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，有理数的乘法运算，先解不等式组，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数求出整数的值，最后把所有满足条件的整数的值相乘即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 6．（2025·重庆）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 7．（八年级下·四川）从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式方程的解、概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．解不等式得，则可得解不等式的负整数解为：，，，．解分式方程得出，根据分式方程有正整数解得出，且，然后可得m的值，最后利用概率公式即可得出答案． 【详解】解：解不等式， 得， ∴不等式的负整数解为：，，，， 解方程， 得， ． ∵分式方程的解是正整数， ∴，且， ∴，且， 解得且， ∴使分式方程的解为正整数的m的值只有一个， ∴关于的分式方程的解是正整数的概率为． 故答案为：． 8．（24八年级下·陕西）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解与应用． 分别求出不等式组有解时的取值范围和分式方程的解为正数时的取值范围，再取交集确定满足条件的的整数值． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 因为不等式组有解，所以（根据“大小小大中间找”，且有解，则要大于）， 解分式方程， 解得， 因为分式方程的解为正数，所以，解得． 又因为分母不能为0，即，解得． 结合不等式组得到的和分式方程得到的且，满足条件的整数为， 将这些整数相加：， 综上，满足条件的所有整数的值的和为． 故答案为：． 9．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）当k为何值时，分式方程无解？ 【答案】或 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：（1）让最简公分母为0确定增根；（2）化分式方程为整式方程；（3）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程两边乘以去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出或1，将或1代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 化简得：， 又∵分式方程无解， ， 解得：或1， 当时，代入整式方程得：， 解得：， 当时，代入整式方程得：， 解得：， 则当或时，分式方程无解． 10．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）一艘船在河中逆流而上，路过桥A时船上的救生圈被水冲走，继续向前行驶了发现救生圈遗失，立即返回，在距桥的地方追到了救生圈．求水流速度． 【答案】水流速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，设水流的速度为，船在静水中的速度为，根据题意列出分式方程，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：， 设水流的速度为，船在静水中的速度为， 由题意可得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 故水流速度为． 11．（2025·江苏扬州）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了解分式方程，分式的运算，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：在串联电路上，在并联电路上，理由如下： 证明：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： 12．（24九年级下·广东）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商店用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价 (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值． 【答案】(1)甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元； (2)总利润的最大值是1780元 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握销售利润问题解分式方程，解不等式，一次函数的增减性，是解题的关键． （1）设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是元，根据“用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果数量多8盒”列方程求解； （2）设该商店购进m盒甲坚果，则购进盒乙坚果，根据“乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍”求得，设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元，得，根据w随m的增大而增大，，且m，均为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，但不合题意， ∴， ∴． 答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元； （2）解：设该商店购进m盒甲坚果，则购进盒乙坚果， 根据题意得：， 解得：． 设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元， 则， ∵， ∴w随m的增大而增大， 又∵，且m，均为正整数， ∴当时，w取得最大值， 最大值为（元）． 答：总利润的最大值是1780元． 1．（2024八年级·全国·竞赛）解分式方程得（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的增根， ∴原方程无解． 故选D 2．（2024八年级·全国·竞赛）某服装店用4.5万元购进某种品牌的服装，由于销售状况良好，服装店又调拨11万元资金购进该种服装，但这次的单价比第一次的单价贵20元，购进服装的数量比第一次的2倍还多50件，求该服装第一次的单价．为解决此问题，设该服装第一次的单价为元，根据题意列出方程，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设该服装第一次的单价为元，表示第二次的单价，再分别表示两次购买的数量，根据购进服装的数量比第一次的2倍还多50件列方程即可． 【详解】解：该服装第一次的单价为元，则第二次的进价为元，由题意，得 故选：B 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知实数满足，那么的值为（　　） A．1或 B．或2 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，令，原方程变为，解得或， 进一步分两种情况进行求解即可． 【详解】解：令，则， 则原方程可化为， 解得或． 当时，方程，即， ∵， ∴分式方程无解； 当时，方程，即， ∴， 经检验是分式方程的解， 综上可知，的值为． 故选：C 4．（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有若干个白色和黄色的乒乓球，它们除了颜色不同之外，其余都相同，从中随意摸出一个球，它是黄球的概率是，如果已知其中白球有4个，那么黄球的个数为（    ）． A．5个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 设黄球的个数为x，根据黄球的概率为得出，解之即可得出答案． 【详解】解：设黄球有x个，则， 解得， 经检验，符合题意． 故选：B． 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知关于的分式方程有无数个解，则的值为（    ） A．36 B．18 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查量含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 先将方程进行化简，得到，再根据方程有无数个解，得出，据此即可求解． 【详解】解：方程化简得： ， 根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：A． 6．（2024八年级·全国·竞赛）方程的解是（    ）． A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程．先用裂项法将方程进行化简，然后解分式方程并检验即可解答． 【详解】∵方程左边可变形： ， 方程右边可变形： ， ∴方程可化为， 即， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 故选：A 7．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可． 【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 当时，得，解得， 当时，得，解得． ∴的值为或1． 故答案为：或1． 8．（2024九年级·全国·竞赛）解方程． 【答案】 【分析】本题考查了解含有二次根式的方程即无理方程；运用换元法解方程是本题的最大特点；根据方程的特点，令，转化为解分式方程，求得y的值，最后即可求解． 【详解】解：令，则，， 原方程化为：， 整理得：， 解得：； 经检验得，是方程的解； 当时，即， 平方并整理得：， 解得：； 显然两个解均满足方程； 当时，即， 平方并整理得：， 由于， ∴一元二次方程无解， 因而也无解； 综上，原方程的解为：； 9．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程． (1)若，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的增根问题， （1）代入后解关于x的分式方程并检验即可的答案； （2）分式方程去分母化为整式方程，再把增根代入求出k的值即可； 读懂题意，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程两边同时乘以得：， 解这个方程得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解. （2） 方程两边同时乘以得：， 原方程有增根，则或， 即或，代入整式方程得或 解得或4. 10．（2024九年级·全国·竞赛）在一个盒子中有20个质地、形状、大小都相同，只有颜色不同的玻璃球，其中红色玻璃球有7个，黑色玻璃球有8个，黄色玻璃球有5个． (1)求搅拌均匀后从盒子中随意摸出一个球是黄色玻璃球的概率； (2)从盒子中取出x个黑色玻璃球，然后搅拌均匀，使得再从盒子中随意摸出一个球是黑色玻璃球的概率是，求x的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了求概率，分式方程的应用． （1）根据概率公式解答即可． （2）根据题意列方程，得解，检验，即可解答． 【详解】（1）搅拌均匀后从盒子中随意摸出一个球是黄色玻璃球的概率为． （2）根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 从盒子中取出了2个黑色玻璃球． 11．（2024八年级·全国·竞赛）某课外培优机构为了奖励进步较大，并表现突出的学生，特地购买了《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》和《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》两种图书作为奖品，已知《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》的单价是《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》的单价的1.5倍，用1200元单独购买《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》比单独购买《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》要少10本． (1)这两种图书的单价分别是多少元？ (2)如果该培优机构计划购买这两种图书共200本，投入的费用不超过10000元，并且购买《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》的数量不少于《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》的数量，那么这两种图书各应购买多少本？ 【答案】(1)两种图书的单价分别是40元，60元； (2)这两种图书各应购买100本 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》的单价为x元，则《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》的单价元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》的数量a本，则购买《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》的数量为本，列出不等式组解决问题． 【详解】（1）解：设《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》的单价为x元，则《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》的单价元， 由题意得：， 解得：，则， 经检验得出：是原方程的根． 答：两种图书的单价分别是40元，60元； （2）设购进《“新希望杯”全国数学大赛培训教程》的数量a本，则购买《“新希望杯”全国数学大赛真题解析》的数量为本， 根据题意得：， 解得：，即 答：这两种图书各应购买100本 12．（2024八年级·全国·竞赛）阅读下列材料：在解一元二次方程时，可通过因式分解，将一元二次方程转换为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程得到原方程的两个解．例如：，将方程左边因式分解得：，则或，解得．根据以上材料，解答下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）令，原方程化为：，利用因式分解法解方程得到，再解两个分式方程并检验即可得到答案． 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解： 原方程化为：， 则或， 解得． （2） 令，原方程化为：， 即， 则， 解得， ①，整理得， 即， 则， 解得． ②，整理得， 即， 则， 解得． 综上，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$