河南省天立教育2025-2026学年高二上学期开学联合考试数学试题

天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 高二年级数学参考答案及评分细则 第Ⅰ卷　选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C A B A C C 题号 9 10 11 答案 ABD BCD BC 第Ⅱ卷　非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】3 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得． 【详解】因是纯虚数， 可得，解得． 故答案为：3． 13．【答案】 14．【答案】①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）　（2）［－3，－2］ 16．【答案】（1）　（2） 【分析】（1）根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得，由余弦定理即可求解， （2）根据垂直关系可得，进而在中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值. 【详解】（1）由题可得， 结合正弦定理可得，即， ∴，又，∴. （2）设边，上的高分别为，则为与的交点， 则在四边形中，， ∵，∴，故， 在中，，， 则，即， 当且仅当时取等号.∴，故面积的最大值为. 17．【答案】（1）　（2） 【分析】（1）根据复数的运算及复数的几何意义，列出不等式组求解； （2）根据复数的运算及复数相等，列出方程组求解. 【详解】（1）由题意知：， 又表示的点在第一象限，所以 ， 解得. （2）由题意知：， 所以，解得 . 18．【答案】（1）　（2）万户居民　（3）不符合要求，上调到 【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为1，即可列式求解； （2）由题意可知用户月均用水费用不超过60元，即用户月均用水不超过，算出频率，得出全市不超过60元的用户数； （3）首先计算抽取的100户居民月均用水量不超过的频率和不超过的频率，从而判断是否符合要求，以及根据比例确定上调到的数量. 【详解】（1）由直方图可知， , 解得：； （2）居民用水量为时，收费为元， 所以用水费用不超过60元，则用水量小于等于， 由频率分布直方图可知，用水量小于等于的频率为； 万户， 所以全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数为万户. （3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ，所以现行收费标准不符合要求， 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为： ， ， 现行收费标准不符合要求，需将第二阶段用水量的上限至少上调到. 19．【答案】（1）　（2） 【分析】（1）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案； （2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案. 【详解】（1）取AC的中点M，连结OM、ME、OE， 由E为BC的中点知， 则直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角， 在中，， 因为是直角斜边AC上的中线，则， 可得， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. （2）设点E到平面ACD的距离为 因为，即， 在中，，可得， 且，可得， 所以点E到平面ACD的距离为 高二年级数学 参考答案及评分细则第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高二年级数学 参考答案及评分细则第 1 页（共 3 页） 天立教育 2025－2026学年秋期入学联合考试 高二年级数学参考答案及评分细则 第Ⅰ卷 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C A B A C C 题号 9 10 11 答案 ABD BCD BC 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．【答案】3 【分析】根据纯虚数的特征列出不等式组，求解即得． 【详解】因    2 212 2 8 iz m m m m      是纯虚数， 可得 2 2 12 0 2 8 0 m m m m         ，解得 3m  ． 故答案为：3． 13．【答案】 6 1 14．【答案】①②④ 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1） 5 1 （2）［－3，－2］ 16．【答案】（1） 3 π （2） 3 3 【分析】（1）根据两角和的正弦公式以及正弦定理边角化得 2 2 2bc b c a   ，由余弦定理即可求解， （2）根据垂直关系可得 2π 3 BHC  ，进而在 BHC△ 中利用余弦定理，结合不等式即可求解最大值. 【详解】（1）由题可得，    sin cos sin sin cos sin sin sin sin sinc b C a C B b B a B C a B C b B a A b B         结合正弦定理可得   2 2c b c a b   ，即 2 2 2bc b c a   ， ∴ 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc     ，又 π0, 2 A      ，∴ π 3 A  . （2）设边 AC， AB上的高分别为 BE，CF则 H 为 BE与CF的交点， 则在四边形 AFHE中， π π+ 2π 2 2 FAE FHE    ， ∵ π 3 FAE  ，∴ 2π 3 FHE  ，故 2π 3 BHC  ， 高二年级数学 参考答案及评分细则第 2 页（共 3 页） 在 BHC△ 中， 1 2π 3sin 2 3 4BHC S BH HC BH HC     ， 2 2 2π2 cos 4 3 BH HC BH HC     ， 则 2 24 2BH HC BH HC BH HC BH HC        ，即 4 3 BH HC  ， 当且仅当 BH HC 时取等号.∴ 3 3BHC S  ，故 HBC 面积的最大值为 3 3 . 17．【答案】（1） 1 4  m （2） 1, 5m a  【分析】（1）根据复数的运算及复数的几何意义，列出不等式组求解； （2）根据复数的运算及复数相等，列出方程组求解. 【详解】（1）由题意知： 1 2 (2 i)( 2i) 2 2 (4 )iz z m m m        ， 又表示 1 2z z 的点在第一象限，所以 2 2 0 4 0 m m      ， 解得 1 4  m . （2）由题意知： (2 i) 22i 2i (2 i) 2 i 3 i (2 i)(2 i) 5 5 5 a a a am m m                  ， 所以 2 3 5 2 1 5 am a          ，解得 1, 5m a  . 18．【答案】（1） 0.0375a  （2）14.6万户居民 （3）不符合要求，上调到 329m 【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为 1，即可列式求解； （2）由题意可知用户月均用水费用不超过 60元，即用户月均用水不超过 320cm ，算出频率，得出全市不超过 60元的用户数； （3）首先计算抽取的 100户居民月均用水量不超过 328m 的频率和不超过 332m 的频率，从而判断是否符合要求， 以及根据比例确定上调到的数量. 【详解】（1）由直方图可知，  0.010 0.020 0.050 0.065 0.015 0.010 0.005 4 1a a          , 解得： 0.0375a  ； （2）居民用水量为 320m 时，收费为60元， 所以用水费用不超过 60元，则用水量小于等于 320m ， 由频率分布直方图可知，用水量小于等于 320m 的频率为  0.010 0.020 0.0375 0.050 0.065 4 0.73      ； 20 0.73 14.6  万户， 所以全市居民中月均用水费用不超过 60元的用户数为14.6万户. （3）抽取的 100户居民月均用水量不超过 328m 的频率为：  0.010 0.020 0.0375 0.050 0.065 0.0375 0.015 4 0. 94        ， 高二年级数学 参考答案及评分细则第 3 页（共 3 页） 0.94 0.95 ，所以现行收费标准不符合要求， 抽取的 100户居民月均用水量不超过 332m 的频率为：  0.010 0.020 0.0375 0.050 0.065 0.0375 0.015 0.0 10 4 0.98         ，  0.95 0.94 32 28 1 0.98 0.94      ， 现行收费标准不符合要求，需将第二阶段用水量的上限至少上调到 329m . 19．【答案】（1） 2 4 （2） 21 7 【分析】（1）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案； （2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案. 【详解】（1）取 AC的中点 M，连结 OM、ME、OE， 由 E为 BC的中点知 ,ME AB OE DC// // ， 则直线 OE与 EM所成的角就是异面直线 AB与 CD所成的角， 在 OMEV 中， 1 2 1, 1 2 2 2 EM AB OE DC    ， 因为OM 是直角 AOC△ 斜边 AC上的中线，则 1 1 2 OM AC  ， 可得 2 2 2 2cos 2 4 OE EM OMOEM OE EM        ， 所以异面直线 AB与 CD所成角的余弦值为 2 4 . （2）设点 E到平面 ACD的距离为 .h 因为 E ACD A CEDV V  ，即 1 1 3 3ACD CED h S AO S    V V ， 在 ACD 中， 2, 2CA CD AD   ，可得 2 21 2 72 2 ( ) 2 2 2ACD S      ， 且 1 31, 3 1 2 2CED AO S     ，可得 31 212 77 2 AC CED D AO Sh S    V V ， 所以点 E到平面 ACD的距离为 21 . 7 高二年级数学 试题卷第 1 页（共 2 页） 天立教育 2025－2026 学年秋期入学联合考试 高二年级数学试题卷 本试题卷共 4 页，四大题，19 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知复数 z满足 i 2 1z z  （其中 i 为虚数单位），则复数 z的实部与虚部的和为 A． 3 1 B．1 C．－1 D．－2 2． 已知向量 a，b 满足 ， ，a·b＝－6，则 A． B． C． D． 3． 已知 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥n，则 n∥α C．若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则 m⊥α 4． 平面向量 a，b 满足 2b a   ，且 3a b    ，则 b 与 a－b 夹角的余弦值的最大值是 A． 3 2  B． 1 2  C． 12 D． 3 2 5． 已知△ABC中， ， ，则此三角形为 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6． 在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 90ABC  ， 2AB BC  ，M为 1CC 的中点， 1BM AC ，则该直三棱柱的体积为 A． 4 2 B．4 C． 4 3 D． 4 2 3 7． 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用 x表示第一次抛掷骰子的点数，用 y表示第二次抛掷骰 子的点数，用 表示一次试验的结果．记“ ”为事件 A，“ ”为事件 B，“ ” 为事件 C，则 A．A与 B相互独立 B．A与 B对立 C．A与 C相互独立 D．B与 C相互独立 8． 在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，P，Q是 1 1C D ， 1 1BC 的中点，过点 A作平面 ，使得平面 / / 平面 BDPQ， 则平面 截正方体所得截面的面积是 A． 3 2 2 B．2 C． 3 2 D． 6 2 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9． 已知向量  2,1a  ，  , 2b x  ，下列说法正确的是 A．若 a b∥  ，则 4x  B．若 a b  ，则 = 1x  C．若 5b   ，则 1x  D．若   0a a b    ，则 32x  10．在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为 120，方差为 2，女生数学平均分为 112，方差为 1，已知该班 级男女生人数分别为 25、15，则下列说法正确的有 A．该班级此次练习数学成绩的均分为 118 B．该班级此次练习数学成绩的方差为 16. 625 C．利用分层抽样的方法从该班级抽取 8 人，则应抽取 5 名男生 D．从该班级随机选择 2 人参加某项活动，则至少有 1 名女生的概率为 24 39 11．在△ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且 a＝2，sinB＝ 3 sinC，则以下四个命题中正确的是 A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为 3 C．当 A＝C时，△ABC的内切圆的半径为 3 32 － D．若△ABC为锐角三角形，则 ），（ 3 1∈c 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知复数    2 212 2 8 iz m m m m      （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 m＝ ． 13．甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是 3 2 ，乙队每轮投中 的概率为 2 1 ．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中 1 个球的概率为 ． 14．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 O的半径为 R，A，B，C为球面上三点，劣 弧 BC的弧长记为 a，设 Oa表示以 O为圆心，且过 B，C的圆，同理，圆 Ob，Oc的劣弧 AC，AB的弧长分别 记为 b，c，曲面 ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段 OA，OB，OC 与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 O－ABC．设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ． ①若平面△ABC是面积为 2 4 3 R 的等边三角形，则 a＝b＝c＝ R 3 π ； ②若 a2＋b2＝c2，则α2＋β2＝γ2； ③若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB＝ 2 π ，则 a2＋b2＞c2； ④若 a＝b＝c＝ R 3 π ，则球面 O－ABC的体积 V＞ 3 12 2 R ； 其中所有正确结论的序号是__________． 高二年级数学 试题卷第 2 页（共 2 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在等腰梯形 中， 是 边上一点（含端点）， 与 交于点 ， 若 ，且设 . （1）若 ，求 的值； （2）求 的取值范围． 16．已知锐角三角形 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且( ) ( )sin cos sin cos sinc b C a C b B a B C- = - + ． （1）求角 A； （2）若 H为△ABC的垂心，a＝2，求△HBC面积的最大值． 17．已知复数 1 2 i2 2iz z m   ， ．（i 为虚数单位， Rm ） （1）若复平面内表示 1 2z z 的点在第一象限，求实数 m的取值范围； （2）若 2 1 3 iaz z    ，求实数 m和 a的值．（说明：复数 2z 是 2z 的共轭复数） 18．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通 过抽样，获得 100 户居民月均用水量（单位： 3m ），将数据按照[0, 4)，[4,8) ，…，[32,36) 分成 9 组，制成如 图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶 梯为每户每月用水量不超过 320m 的部分按 3元 3/m 收费，第二阶梯为超过 320m 但不超过 328m 的部分按 5元 3/m 收费，第三阶梯为超过 328m 的部分按 8 元 3/m 收费． （1）求直方图中 a的值； （2）已知该市有 20 万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数； （3）该市政府希望使至少有 95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收 费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限 至少上调到多少 m3？ 19．如图，四面体 ABCD中，E是 BC的中点， ， ． （1）求异面直线 AB与 CD所成角余弦值的大小； （2）求点 E到平面 ACD的距离． 高二年级数学 试题卷第 1 页（共 4 页） 天立教育 2025－2026 学年秋期入学联合考试 高二年级数学试题卷 本试题卷共 4 页，四大题，19 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知复数 z满足 i 2 1z z  （其中 i 为虚数单位），则复数 z的实部与虚部的和为 A． 3 1 B．1 C．－1 D．－2 2． 已知向量 a，b 满足 ， ，a·b＝－6，则 A． B． C． D． 3． 已知 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥n，则 n∥α C．若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则 m⊥α 4． 平面向量 a，b 满足 2b a   ，且 3a b    ，则 b 与 a－b 夹角的余弦值的最大值是 A． 3 2  B． 1 2  C． 12 D． 3 2 5． 已知△ABC中， ， ，则此三角形为 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6． 在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 90ABC  ， 2AB BC  ，M为 1CC 的中点， 1BM AC ，则该直三棱柱的体积为 A． 4 2 B．4 C． 4 3 D． 4 2 3 7． 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用 x表示第一次抛掷骰子的点数，用 y表示第二次抛掷骰 子的点数，用 表示一次试验的结果．记“ ”为事件 A，“ ”为事件 B，“ ” 为事件 C，则 A．A与 B相互独立 B．A与 B对立 C．A与 C相互独立 D．B与 C相互独立 8． 在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，P，Q是 1 1C D ， 1 1BC 的中点，过点 A作平面 ，使得平面 / / 平面 BDPQ， 则平面 截正方体所得截面的面积是 A． 3 2 2 B．2 C． 3 2 D． 6 2 高二年级数学 试题卷第 2 页（共 4 页） 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9． 已知向量  2,1a  ，  , 2b x  ，下列说法正确的是 A．若 a b∥  ，则 4x  B．若 a b  ，则 = 1x  C．若 5b   ，则 1x  D．若   0a a b    ，则 32x  10．在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为 120，方差为 2，女生数学平均分为 112，方差为 1，已知该班 级男女生人数分别为 25、15，则下列说法正确的有 A．该班级此次练习数学成绩的均分为 118 B．该班级此次练习数学成绩的方差为 16. 625 C．利用分层抽样的方法从该班级抽取 8 人，则应抽取 5 名男生 D．从该班级随机选择 2 人参加某项活动，则至少有 1 名女生的概率为 24 39 11．在△ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且 a＝2，sinB＝ 3 sinC，则以下四个命题中正确的是 A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为 3 C．当 A＝C时，△ABC的内切圆的半径为 3 32 － D．若△ABC为锐角三角形，则 ），（ 3 1∈c 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知复数    2 212 2 8 iz m m m m      （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 m＝ ． 13．甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是 3 2 ，乙队每轮投中 的概率为 2 1 ．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中 1 个球的概率为 ． 14．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 O的半径为 R，A，B，C为球面上三点，劣 弧 BC的弧长记为 a，设 Oa表示以 O为圆心，且过 B，C的圆，同理，圆 Ob，Oc的劣弧 AC，AB的弧长分别 记为 b，c，曲面 ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段 OA，OB，OC 与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 O－ABC．设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ． ①若平面△ABC是面积为 2 4 3 R 的等边三角形，则 a＝b＝c＝ R 3 π ； ②若 a2＋b2＝c2，则α2＋β2＝γ2； ③若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB＝ 2 π ，则 a2＋b2＞c2； ④若 a＝b＝c＝ R 3 π ，则球面 O－ABC的体积 V＞ 3 12 2 R ； 其中所有正确结论的序号是__________． 高二年级数学 试题卷第 3 页（共 4 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在等腰梯形 中， 是 边上一点（含端点）， 与 交于点 ， 若 ，且设 . （1）若 ，求 的值； （2）求 的取值范围． 16．已知锐角三角形 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且( ) ( )sin cos sin cos sinc b C a C b B a B C- = - + ． （1）求角 A； （2）若 H为△ABC的垂心，a＝2，求△HBC面积的最大值． 17．已知复数 1 2 i2 2iz z m   ， ．（i 为虚数单位， Rm ） （1）若复平面内表示 1 2z z 的点在第一象限，求实数 m的取值范围； （2）若 2 1 3 iaz z    ，求实数 m和 a的值．（说明：复数 2z 是 2z 的共轭复数） 高二年级数学 试题卷第 4 页（共 4 页） 18．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通 过抽样，获得 100 户居民月均用水量（单位： 3m ），将数据按照[0, 4)，[4,8) ，…，[32,36) 分成 9 组，制成如 图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶 梯为每户每月用水量不超过 320m 的部分按 3元 3/m 收费，第二阶梯为超过 320m 但不超过 328m 的部分按 5元 3/m 收费，第三阶梯为超过 328m 的部分按 8 元 3/m 收费． （1）求直方图中 a的值； （2）已知该市有 20 万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数； （3）该市政府希望使至少有 95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收 费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限 至少上调到多少 m3？ 19．如图，四面体 ABCD中，E是 BC的中点， ， ． （1）求异面直线 AB与 CD所成角余弦值的大小； （2）求点 E到平面 ACD的距离． 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 高二年级数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的实部与虚部的和为 A． B．1 C．－1 D．－2 2． 已知向量a，b满足，，a·b＝－6，则 A． B． C． D． 3． 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥α 4． 平面向量a，b满足，且，则b与a－b夹角的余弦值的最大值是 A． B． C． D． 5． 已知△ABC中，，，则此三角形为 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6． 在直三棱柱中，，，M为的中点，，则该直三棱柱的体积为 A． B．4 C． D． 7． 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示第一次抛掷骰子的点数，用y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件A，“”为事件B，“”为事件C，则 A．A与B相互独立 B．A与B对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立 8． 在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是 A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知向量，，下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10． 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有 A．该班级此次练习数学成绩的均分为118 B．该班级此次练习数学成绩的方差为16. 625 C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 11． 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，sin B＝sin C，则以下四个命题中正确的是 A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为 C．当A＝C时，△ABC的内切圆的半径为 D．若△ABC为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 已知复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m＝ ． 13． 甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为　　　　． 14． 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O－ABC．设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ． ①若平面△ABC是面积为的等边三角形，则a＝b＝c＝； ②若a2＋b2＝c2，则α2＋β2＝γ2； ③若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB＝，则a2＋b2＞c2； ④若a＝b＝c＝，则球面O－ABC的体积V＞； 其中所有正确结论的序号是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设. （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 16． 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若H为△ABC的垂心，a＝2，求△HBC面积的最大值． 17． 已知复数．（i为虚数单位，） （1）若复平面内表示的点在第一象限，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m和a的值．（说明：复数是的共轭复数） 18． 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． （1）求直方图中a的值； （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； （3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？ 19． 如图，四面体ABCD中，E是BC的中点，，． （1）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小； （2）求点E到平面ACD的距离． 高二年级数学 试题卷第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 高二年级数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的实部与虚部的和为 A． B．1 C．－1 D．－2 2． 已知向量a，b满足，，a·b＝－6，则 A． B． C． D． 3． 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β D．若α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，则m⊥α 4． 平面向量a，b满足，且，则b与a－b夹角的余弦值的最大值是 A． B． C． D． 5． 已知△ABC中，，，则此三角形为 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6． 在直三棱柱中，，，M为的中点，，则该直三棱柱的体积为 A． B．4 C． D． 7． 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用x表示第一次抛掷骰子的点数，用y表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件A，“”为事件B，“”为事件C，则 A．A与B相互独立 B．A与B对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立 8． 在棱长为2的正方体中，P，Q是，的中点，过点A作平面，使得平面平面，则平面截正方体所得截面的面积是 A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知向量，，下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10． 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有 A．该班级此次练习数学成绩的均分为118 B．该班级此次练习数学成绩的方差为16. 625 C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 11． 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，sin B＝sin C，则以下四个命题中正确的是 A．满足条件的△ABC不可能是直角三角形 B．△ABC面积的最大值为 C．当A＝C时，△ABC的内切圆的半径为 D．若△ABC为锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 已知复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m＝ ． 13． 甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为　　　　． 14． 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O－ABC．设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ． ①若平面△ABC是面积为的等边三角形，则a＝b＝c＝； ②若a2＋b2＝c2，则α2＋β2＝γ2； ③若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB＝，则a2＋b2＞c2； ④若a＝b＝c＝，则球面O－ABC的体积V＞； 其中所有正确结论的序号是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设. （1）若，求的值； （2）求的取值范围． 16． 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若H为△ABC的垂心，a＝2，求△HBC面积的最大值． 17． 已知复数．（i为虚数单位，） （1）若复平面内表示的点在第一象限，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m和a的值．（说明：复数是的共轭复数） 18． 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元收费，第二阶梯为超过但不超过的部分按5元收费，第三阶梯为超过的部分按8元收费． （1）求直方图中a的值； （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数； （3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？ 19． 如图，四面体ABCD中，E是BC的中点，，． （1）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小； （2）求点E到平面ACD的距离． 高二年级数学 试题卷第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$