第一章 反比例函数（含13种题型）（知识清单）数学鲁教版五四制九年级上册

第一章 反比例函数 1. 反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 2. 反比例函数中自变量和函数值的取值范围：自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数. 3. 反比例函数的一般形式：（为常数，），其它形式：xy=k（k≠0、xy≠0）， 4. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 5. 列反比例函数表达式：对于一个实际问题，应根据已知条件或数量关系列出函数表达式，判断其中的两个变量是否为反比例函数关系，实际问题中的函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义，还要使得实际问题有意义. 6. 反比例函数的图像特征：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 7. 反比例函数的性质： 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 8. 反比例函数的对称性：反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 9. 反比例系数k的几何意义 类型一 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 类型二 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 10. 反比例函数与正比例函数的交点特征 1）当同号时，反比例函数与正比例函数交于A，B两点，交点A，B的关系为：关于原点对称. 2）当异号时，两函数图像无交点. 11. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 12. 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 序号 易错点 易错题 注意事项 1 反比例函数概念理解偏差 1-3 在反比例函数中，与x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. [易错点]忽视这个条件，而得到错误结论. 2 图像与性质混淆 4-6 1）漏记 “双曲线不与坐标轴相交”，误判图像会过原点； 混淆k的正负对图像的影响（k>0时双曲线在一、三象限，k<0时在二、四象限）； 2）错误认为 “双曲线在每个象限内的增减性适用于整个定义域”（如k>0时，需强调 “在每一个象限内y随x增大而减小”，跨象限不适用）。 3 求反比例函数解析式时，代入点坐标计算k值出错（k=xy，易漏乘或符号错误） 7-8 4 结合一次函数与反比例函数求解交点时，解方程组出错，或漏考虑 “联立方程无解时两函数无交点” 的情况。 9-11 已知反比例函数与一次函数，将两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即： 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）是关于的反比例函数关系式，则 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数，其一般形式为(为常数，)．在本题中是反比例函数，由此来确定的值，再根据反比例函数自变量的要求确定的取值范围． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：； 对于反比例函数，分母不能为， ∴在(此时，函数为)中， 自变量的取值范围； 故答案为：，． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，关键是根据反比例函数的一般形式确定函数表达式中参数的值，并明确自变量的取值范围，即可解答． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 4．（2023·广东佛山·一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误 ． 【答案】图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；对应点的位置不正确等 【分析】根据反比例函数的图象与性质进行观察判断． 【详解】解：观察图象，主要错误有： ①图象形状错误：反比例函数的图象是两支双曲线，不是射线组成； ②不满足函数定义：有一个x值，对应两个y值； ③与y轴有交点：∵中，，，∴图象不可能与坐标轴相交； ④对应点的位置不正确：比如，当时，，即图象需经过点， 故答案为：图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；图象上对应点的位置不正确等． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象特征以及与坐标轴的关系是解答的关键． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．反比例函数的图象是双曲线，有两支 B．反比例函数的图象无限接近两坐标轴但不能相交 C．反比例函数的图象在第一、二象限，或者在第三、四象限 D．反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的性质判定即可求解． 【详解】解：A、反比例函数的图象是双曲线，有两支，正确，不符合题意； B、反比例函数的图象无限接近两坐标轴但不能相交，正确，不符合题意； C、反比例函数的图象在第一、三象限，或者在第二、四象限，故原选项错误，符合题意； D、反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形，正确，不符合题意； 故选：C ． 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．图象分布在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴图象分布在一、三象限，在每一个象限内，随着增大而减小， ∵， ∴图象与坐标轴没有交点， 若点在它的图象上，则：， ∴点也在它的图象上； 综上，错误的选项B． 故选B． 7．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中为定值．直接根据反比例函数中的特点进行解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴； （2）解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴． 9．（16-17九年级下·江苏连云港·阶段练习）双曲线与直线无交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，把方程组变成关于x的方程，根据已知得出判别式小于0，即可求出k的范围. 【详解】解：联立方程组， 得到方程，即， 根据方程无解，可得， 解得. 故答案为：. 10．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 【答案】12 【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意． 联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解； 【详解】解：将代入得， 整理得， ∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点， ， 或0（舍去）， 故答案是：12． 11．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）函数的图象与直线有两个交点，那么的取值范围是 ． 【答案】且． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，由题意联立方程得，再根据根的判别式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：将函数的图象与直线联立，得： ， 整理得：， ， ∵函数的图象与直线有两个交点， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴的取值范围为：且． 故答案为：且． 重难点01 反比例函数的定义 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义：形如（其中且为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：①，不是的反比例函数； ②，是的反比例函数； ③，是的反比例函数； ④，不是的反比例函数； ⑤，即，是的反比例函数； ⑥，不是的反比例函数； ⑦，是的反比例函数； ⑧，不是的反比例函数； 综上所述，是的反比例函数的有②③⑤⑦，共4个． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握正比例函数，反比例函数是关键． （1）根据正比例函数的定义，可得且，进而即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得，， ∴． （2）解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得， ∴． 3．（22-23九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数． (1)求的值； (2)判断，两点是否在该反比例函数图象上，为什么？ 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上，点在该反比例函数图象上，理由见解析 【分析】（1）根据反比例函数：，，即可； （2）由（1）反比例函数的解析式，把，代入解析式中，即可． 【详解】（1）∵， ∴中， ∴ ∴． （2）由（1）得， ∴反比例函数的解析式为： ∵当时， ∴点不在反比例函数图象上 ∵时， ∴点在反比例函数图象上． 【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的定义和性质，点在函数图象上点的坐标满足解析式． 4．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求自变量的值： （1）根据题意，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，则：， 解得：． 重难点02 反比例函数的图像与性质 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（    ） A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小 C．图象也经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，反比例函数的系数k的几何意义． 根据反比例函数的系数k的几何意义判定A；根据反比例函数的图象性质可判定B、D；根据反比例函数图象上点的坐标特征可判定C． 【详解】解：A、∵图中矩形的面积为2，∴，故此选项正确，不符合题意； B、由图象可得：当时，y随x的增大而减小，故此正确，不符合题意； C、反比例函数的解析式为，把代入求得，图象也经过点，故此选项正确，不符合题意； D、由图象可得：当时，，故此错误，符合题意； 故选：D． 6．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，扇形面积；根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据点，即可求出圆的半径． 【详解】解：∵圆和反比例函数一个交点， ∴可知圆的半径 ， ∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∴． 故选：C． 7．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数增减性，反比例函数图象所在象限，掌握相关性质是解题关键．根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点和的纵坐标的大小即可． 【详解】 解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象的两个分支在第二、四象限； ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点和在第二象限，点在第四象限， ∴最小， ，y随x的增大而增大， ，． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）对于反比例函数，下列结论：①图像分布在第二、四象限；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若点，都在图象上，且，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握各项性质．根据反比例函数性质直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴图象分布在第一、三象限， 时，y随x增大而减小，故①错误，②正确， 当时，， ∴当时，，故③正确， ∵， ∴，故④正确， 故选：B． 10．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及性质;由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）反比例函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象上，当时，随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：。 12．关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 得：． 故答案为：． 重难点03 待定系数法求反比例函数解析式 13．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知四个点的坐标分别是，，，，从中随机选一个点，在反比例函数图象上的概率是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，以及利用概率公式求概率． 只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是4的，就在此函数图象上，不是4的不在此函数图象上，确定只有点在反比例函数图象上，继而可求概率． 【详解】解：∵， ∴， 对于，，，， ，，，， ∴只有点在反比例函数图象上， ∴概率为：， 故选：C． 14．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若是反比例函数图象上一点，那么下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征．先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式，得：， ∴反比例函数解析式为：． 当时，，故选项A不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C不符合题意； 当时，，故选项D符合题意； 故选：D． 15．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知点都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和求函数值，解题关键是熟练运用待定系数法求反比例函数解析式． 把点代入反比例函数解析式，用待定系数法求解得到，再把代入即可求出答案． 【详解】解：把点代入反比例函数，得， 解得， ∴反比例函数， 把代入得到， 故答案为： 16．（24-25九年级上·河南郑州·期末）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 6 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，补全表格见解析 (2)或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围； （1）根据表格信息建立方程组求解a、b的值，再求解表格中其它的值，再补全表格即可； （2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：依题意把点，代入得，， 解得：， 一次函数为， 把代入，得， 反比例函数为：， 当时，，当时，， 补全表格如下： 6 4 4 （2）解：由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， 当的图象在的图象上方时，的取值范围为：或． 重难点04 从函数图像获取信息 17．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 【答案】(1) (2)见解析 (3)减小；右，； 【分析】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． （1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入， 得 ， ， 故答案为：； （2）解：函数图象如图所示：    （3）解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称. 故答案为： 减小；右，； . 18．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【答案】(1)①1；②见解析；③见②图 (2)的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； (3)①或；②或；③或． 【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：①列表：当时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： （2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大； （3）①观察函数图象可得：当时，或， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②观察函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故答案为：或； ③观察函数图象可得，当或时，， 不等式与的解集或， 故答案为：或． 19．（2024·河南商丘·一模）综合与实践： 函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程： (1)初步感知：函数的自变量取值范围是__________； (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 4 m 6 0 … 填空：表中__________，__________； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示； (3)研究性质 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________； (4)拓展应用 已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)5， (3) (4) 【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）将，分别代入求解即可； （3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可； （4）由题意知，当过时，，可求；当时，，当过时，，可求，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：； （2）解：将代入得，， 将，代入得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：5，； （3）解：由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为， 故答案为：； （4）解：由题意知，当过时，， 解得，； 当时，， 当过时，， 解得，； ∴当时，关于的方程有实数解， k的取值范围是， 故答案为：． 重难点05 反比例函数最值问题 20．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的增减性、根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可． 【详解】解：当时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，有最大值，则当时，y有最小值， ∴，解得； 当时，在每个象限内随的增大而增大， ∴设时，有最小值，当时，有最大值， ∴，解得， ∴或． 故选：B． 21．（2023八年级下·浙江·专题练习）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 重难点06 已知比例系数求特殊图形面积 22．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相关知识是解决问题的关键．设，，根据题意，利用函数关系式表示出线段，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点，，则， ∴点B的纵坐标为， ∵B在上 ∴点B的横坐标为， ， ∵在矩形中， ， ∴， 又∵, ∴, ∴， ， ， ， ． 故选：D． 23．（22-23九年级上·天津·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．1 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，轴于点A，交于点B， ∴， ∴． 故选：C． 24．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查反比例函数中系数的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 故答案为：4． 25．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 26．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，进而可得； （2）如图2，作于，于， 证明过程同题干； （3）如图3，作于，于，同理可得，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵ ∴， 解得，， 故答案为：2； （2）证明：如图2，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，作于，于， 根据k的几何意义，易知， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 重难点07 根据特殊图形面积求比例系数 27．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，若四边形的面积为6，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】设点，则，，根据梯形代入数据计算即可．本题考查了反比例函数值几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 【详解】解: 设点，则，， ， ，， 轴， ， ， ， ， 解得． 故答案为：3． 28．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键，设，先求出，则，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：2． 29．（2025·陕西渭南·二模）如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数系kk的几何意义，关键是根据三角形的面积求出的值．连接，设与轴交于点，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 30．（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标，求出，结合，得到，即可求出，再求出直线的解析式为，设，代入，求出m的值即可． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 代入，得：，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 重难点08 一次函数与反比例函数图像综合判断 32．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 33．（24-25九年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．由于本题不确定的符号，所以应分和两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 【详解】解：当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，如图所示： ，与C选项符合； 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限．如图所示： ，没有选项与之符合． 故选：C． 34．（24-25九年级上·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合．根据反比例函数的比例系数知，可排除选项CD；分和判断一次函数的图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：反比例函数中，，则反比例函数图象经过二、四象限，选项C、D不符合题意； 当时，，则一次函数的图象不经过第二象限，选项A符合题意； 当时，，则一次函数的图象不经过第三象限，选项B不符合题意； 故选：A． 重难点09 一次函数与反比例函数的交点问题 35．（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标． (2)过点的直线交轴于点，且与反比例函数的图象只有一个交点． ①求点的坐标； ②求的长度． 【答案】(1)． (2)①；② 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）①设直线的解析式为，由整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标； ②利用勾股定理即可求得． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ． 又反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为． 联立， 解得或， ． （2）解：①在中，令，得， ． 设直线的解析式为． 联立，得． 直线与双曲线只有一个交点， ， ， 直线的解析式为． 令，得， ． ②． 36．（22-23九年级上·广东揭阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 【答案】(1)， (2)或 (3)1或9 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x的范围即可； （3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【详解】（1）∵反比例函数过点，， ∴，解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； （2）根据图象，不等式的解集为：或； （3）设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 37．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为； (2)点坐标为或； (3)或 【分析】（1）将代入，求出反比例函数表达式，再将代入反比例函数表达式求出的值，得到点坐标，将、坐标代入中求解，即可解题； （2）设点坐标为，联立与直线，求出其交点，再结合的面积为21，建立方程求解，即可解题； （3）根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． ， 反比例函数表达式为， 则当时，， ， 将，代入中， 有， 解得， 一次函数表达式为； （2）解：设点坐标为， 当时，， 即与直线的交点为， 的面积为21， ， 解得或， 点坐标为或； （3）解： ，， 则结合图象可知，不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求函数的解析式，以及根据函数图象求不等式解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 重难点10 一次函数与反比例函数的其它综合应用 38．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）如图，过作轴于，过作轴于，设，证明，可得，可得，再解方程可得答案； 【详解】（1）解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数表达式为， ，得， ， 将点和点代入得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小， 设，代入得， 解得， 令，得 ； （3）解：如图，过作轴于，过作轴于，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵在的图象上， ∴，即， 解得：，， ∴或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，画出图形熟练的利用图形解答是关键. 39．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 40．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积； (4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)存在，P点坐标为，，， 【分析】（1）首先把A点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把B点坐标代入反比例函数解析式中求得B点的坐标，再根据待定系数法求得一次函数的解析式； （2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是一次函数的图像在反比例函数的图像的上方部分自变量的范围； （3）设一次函数与y轴交点为C，由一次函数解析式可得，所以，进而可得和，所以可得答案； （4）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求P点坐标即可． 【详解】（1）将代入得：，   则反比例函数的解析式是， 将代入得：，      则B的坐标为，   将，代入得：   ， 解得：，   ∴一次函数的解析式为． （2）根据图像，结合题意，得或． （3）设一次函数与y轴交点为点C，由一次函数解析式， 当时，代入解析式得， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为； （4）在x轴上存在点P，使是等腰三角形 由可得：， 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，过点A作轴于点S，由，等腰三角形三线合一的性质得：    ，由 ，， ∴， 故； ②当时，根据题意，得， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ③当时，P点在O点左侧时，， P点在O点右侧时，， 综上所述，当P点坐标为，，，时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，分类思想，勾股定理，熟练掌握待定系数法，勾股定理和分类思想是解题的关键． 重难点11 反比例函数与实际应用 41．（24-25九年级上·山东·期末）如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少； (3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：设， 由图象，把代入得：， ∴； （2）当时，； 答：当“木海马”底面面积为时，压强是； （3）当时，； ∴当时，， 答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要． 42．（24-25九年级上·山东泰安·期中）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】(1) (2)0.15A (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出I的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 当时，， ， ； （2）解：当时，； （3）解：当，， 当，， 该台灯的电阻的取值范围为． 43．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 44．（23-24九年级上·山东青岛·期末）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高； (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2)火焰的像高为 (3)小孔到蜡烛的距离至少是 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入，再计算可得答案； （3）由再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）把代入，得， ∴火焰的像高为． （3）时， ， ， ， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 重难点12 一次函数与反比例函数的实际应用 45．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 46．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 47．（23-24九年级上·山东威海·期中）为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． (1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． (2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 【答案】(1)升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数） (2)个月 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用， （1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论； 正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数， 设升级改造前y与x的函数表达式为， 当时，， ∴，即， ∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）； 当时，， ∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元， ∴， ∴升级改造后y与x的函数表达式为（ 且为整数）， ∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）； （2）在中， 当时，， ∵， ∴在该象限中，随的增大而减小， ∴时，， 在中， 当时，， ∴， ∴且为整数． ∴可取，，，，；共5个月． ∴资金紧张期共有个月． 48．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示）， (1)分别求出和时的函数关系式，并求出t的值； (2)两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？ (3)开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？ 【答案】(1)当和时的函数关系式为；； (2)两次加热之间，水温保持不低于40℃的时间有18分钟 (3)开机后50分钟时，水的温度是80℃ 【分析】（1）分别用待定系数法求解即可；把代入所求反比例函数解析式中即可求得t的值； （2）在中，令，得；在中，令，得，即可得两次加热之间水温保持不低于40℃的时间； （3）由，当时，，即开机后50分钟时，水的温度． 【详解】（1）当时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：， 依据题意，得，解得， 故此函数解析式为：； 当时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为： 依据题意，得：，即，故， 当时，，解得：； （2）当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 则两次加热之间，水温保持不低于40℃的时间为（分）． （3）∵， ∴当时，， 答：开机后50分钟时，水的温度是80℃. 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式． 重难点13 反比例函数与跨学科问题 重难点14 反比例函数与一次函数综合 重难点15 反比例函数与实际问题 重难点16 反比例函数与几何综合 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 反比例函数 1. 反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中________是自变量，________是x的函数. 2. 反比例函数中自变量和函数值的取值范围：自变量x的取值范围是________的任意实数，函数值y的取值范围也是________. 3. 反比例函数的一般形式：________________，其它形式：________________， 4. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有________待定系数k，因此只需要知道________或图像上一个点的________，即可求出k的值，从而确定其解析式. 5. 列反比例函数表达式：对于一个实际问题，应根据________或________列出函数表达式，判断其中的两个变量是否为________关系，实际问题中的函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义，还要使得实际问题有意义. 6. 反比例函数的图像特征：反比例函数的图像由两条________组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第________象限或第________象限，它们关于________对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是________两坐标轴. 7. 反比例函数的性质： 表达式 图像 k________0 k________0 ________ ________ 经过象限 ________ ________ 增减性 ________ ________ 8. 反比例函数的对称性：反比例函数的图像既是________，也是________，其对称轴为直线________或________，对称中心为________. 9. 反比例系数k的几何意义 类型一 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 类型二 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 10. 反比例函数与正比例函数的交点特征 1）当同号时，反比例函数与正比例函数交于A，B两点，交点A，B的关系为：________. 2）当异号时，两函数图像________. 11. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为_________或_________；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为_________或_________. 12. 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为________，建立反比例函数的________； 2）注意在________和________的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成________来解，然后在作答中说明． 序号 易错点 易错题 注意事项 1 反比例函数概念理解偏差 1-3 在反比例函数中，与x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可. [易错点]忽视这个条件，而得到错误结论. 2 图像与性质混淆 4-6 1）漏记 “双曲线不与坐标轴相交”，误判图像会过原点； 混淆k的正负对图像的影响（k>0时双曲线在一、三象限，k<0时在二、四象限）； 2）错误认为 “双曲线在每个象限内的增减性适用于整个定义域”（如k>0时，需强调 “在每一个象限内y随x增大而减小”，跨象限不适用）。 3 求反比例函数解析式时，代入点坐标计算k值出错（k=xy，易漏乘或符号错误） 7-8 4 结合一次函数与反比例函数求解交点时，解方程组出错，或漏考虑 “联立方程无解时两函数无交点” 的情况。 9-11 已知反比例函数与一次函数，将两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即： 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）是关于的反比例函数关系式，则 ，自变量的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 4．（2023·广东佛山·一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误 ． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下列说法错误的是（   ） A．反比例函数的图象是双曲线，有两支 B．反比例函数的图象无限接近两坐标轴但不能相交 C．反比例函数的图象在第一、二象限，或者在第三、四象限 D．反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．图象分布在一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 7．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 8．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． (1)求k的取值范围； (2)若点在该函数的图象上，求k的值． 9．（16-17九年级下·江苏连云港·阶段练习）双曲线与直线无交点，则的取值范围是 ． 10．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）函数的图象与直线有两个交点，那么的取值范围是 ． 重难点01 反比例函数的定义 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 3．（22-23九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数． (1)求的值； (2)判断，两点是否在该反比例函数图象上，为什么？ 4．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 重难点02 反比例函数的图像与性质 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（    ） A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小 C．图象也经过点 D．当时， 6．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图反比例函数与的一个交点为，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 8．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是 ． 9．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）对于反比例函数，下列结论：①图像分布在第二、四象限；②当时，随的增大而减小；③当时，；④若点，都在图象上，且，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 10．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）反比例函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 12．关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是 ． 重难点03 待定系数法求反比例函数解析式 13．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知四个点的坐标分别是，，，，从中随机选一个点，在反比例函数图象上的概率是（   ） A． B．1 C． D． 14．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若是反比例函数图象上一点，那么下列各点不在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知点都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·河南郑州·期末）列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 6 (1)求、的值，并补全表格； (2)结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 重难点04 从函数图像获取信息 17．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）参照学习反比例函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． … －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 … … － － －1 －2 4 █ 4 2 1 … (1) ； (2)请画出函数的图象；    (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向 平移 个单位长度而得到的； ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 18．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 19．（2024·河南商丘·一模）综合与实践： 函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程： (1)初步感知：函数的自变量取值范围是__________； (2)作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 4 m 6 0 … 填空：表中__________，__________； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示； (3)研究性质 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________； (4)拓展应用 已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________． 重难点05 反比例函数最值问题 20．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知反比例函数，若当时，的最大值与最小值的差为，则的值为（ A． B．或 C． D．或 21．（2023八年级下·浙江·专题练习）已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 重难点06 已知比例系数求特殊图形面积 22．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，、分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（   ） A． B．2 C． D． 23．（22-23九年级上·天津·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．1 D．无法计算 24．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ． 25．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 26．（2024·山西运城·一模）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律． 逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形的顶点O为坐标原点，射线为x轴正半轴、射线为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，当时，则，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的． 证明：在图1中，过点E作轴，垂足为G，过点F作轴，垂足为H 根据k的几何意义，易知， ∵，∴， ∴，∴，即． 任务： (1)在图1中，已知，若反比例函数的系数，则矩形的面积______； (2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则，请帮助逐梦学习小组完成证明； (3)如图3，反比例函数的图象交于点E，交于点F，若，则图中阴影部分（即四边形）的面积______． 重难点07 根据特殊图形面积求比例系数 27．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，若四边形的面积为6，，则的值为 ． 28．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则k的值为 ． 29．（2025·陕西渭南·二模）如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则 ． 30．（2025·广东·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为 ． 31．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 重难点08 一次函数与反比例函数图像综合判断 32．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D．34．（24-25九年级上·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 重难点09 一次函数与反比例函数的交点问题 35．（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标． (2)过点的直线交轴于点，且与反比例函数的图象只有一个交点． ①求点的坐标； ②求的长度． 36．（22-23九年级上·广东揭阳·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 37．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 重难点10 一次函数与反比例函数的其它综合应用 38．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 39．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 40．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积； (4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 重难点11 反比例函数与实际应用 41．（24-25九年级上·山东·期末）如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图． (1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少； (3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少． 42．（24-25九年级上·山东泰安·期中）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 43．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 44．（23-24九年级上·山东青岛·期末）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高； (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 重难点12 一次函数与反比例函数的实际应用 45．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 46．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 47．（23-24九年级上·山东威海·期中）为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示． (1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式． (2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月． 48．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示）， (1)分别求出和时的函数关系式，并求出t的值； (2)两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？ (3)开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？ 重难点13 反比例函数与跨学科问题 49．（2022·山东青岛·一模）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，然后把代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量， 知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求可变电阻与人的质量之间的函数关系； (2)用含的代数式表示； (3)当电压表显示的读数为0.75伏时，求人的质量． 50．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强 400 500 800 100 1250 受力面积 (1)根据表中数据，求出压强关于受力面积的函数表达式； (2)如图2，将另一长，宽，高分别为，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大压强为，问，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 51．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$