专题02直角三角形中的边角关系（8个考点清单+13种题型解读）（期中复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题02 直角三角形中的边角关系 【清单01】锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． ①∠A的正弦：sinA＝ =②∠A的余弦：cosA＝＝ ； ③∠A的正切：tanA＝ ＝ . 【清单02】锐角三角函数的增减性 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. . 【清单03】特殊角的三角函数 【清单04】直角三角形中的边角关系 ①三边关系：a2＋b2＝c2 ②三角关系：∠A＝90°－∠B　. ③边角关系：sinA＝cosB＝　，cosA＝sinB＝　　，tanA＝，tanB＝. 【清单05】锐角三角函数的计算 ①利用计算器求三角函数值：直接按三角函数键． ②利用计算器求锐角的度数：先按2ndF键. 【清单06】仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 【清单07】方向角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角. 【清单08】坡角、坡度（或坡比） ①坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. ②坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,即. ③坡度等于坡角的正切值,即 【考点题型一】求三角函数值 【例1】1．在中，，则下列各式中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【变式1-3】在中，，若的三边都缩小，则的值（　　） A．缩小 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定 【考点题型二】网格中求三角函数值 【例2】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sina+cosa的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC= ． 【变式2-2】如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】利用特殊角的三角函数值计算 【例3】计算： 【变式3-1】计算： 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算：． 【考点题型四】利用三角函数值判断角度大小 【例4】的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【考点题型五】利用三角函数值判断三角形形状 【例5】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-1】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-2】如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【变式5-3】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【考点题型六】用计算器求三角函数值 【例6】用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【变式6-1】小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅直高度上升了，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】直接解直角三角形 解2个直角三角形常见思路：①利用公共边设未知数，用勾股定理; ②利用三角函数值. 【例7】如图，在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，若CD⊥AB于点D，且BD＝4，AD＝9，则tanA＝ . 【变式7-2】如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【考点题型八】构造辅助线解直角三角形 构造辅助线常见思路：①作高; ②延长；③作平行. 【例8】如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ． 【变式8-1】如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2、l3上，且l1，l2之间的距离为3、l2、l3之间的距离为5，则AC的长是 . 【变式8-3】在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【考点题型九】三角函数与其他图形综合 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）． A．cm B．cm C．cm D．cm 【变式9-2】如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则 ． 【考点题型十】三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角 【例10】如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为3m的宣传牌，即．数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为31°．站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为45°．．依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请求出；若不能，请说明理由．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，）    【变式10-1】如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【变式10-2】如图，升国旗时，某同学站在离国旗米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为，已知双眼离地面为米，则旗杆的高度为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式10-3】．在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结合图形进行了操作（如图所示）．在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走80m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为 m（计算结果精确到0.1m，参考数据：，）． 【考点题型十一】三角函数的实际应用（2）--方向角 【例11】一艘货轮B在灯塔A的南偏西60°方向，距离A点海里，货轮B沿北偏东15°航行一段距离后到达C地，此时AC距离海里，判断C在A的北偏西多少度(   ) A．60° B．30° C．15° D．45° 【变式11-1】如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务．当海监船由西向东航行至 处时，测得岛屿恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达处，测得岛屿在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达处，此时海监船与岛屿之间的距离(即的长)为(     ) A．60海里 B．90海里 C．海里 D．海里 【变式11-2】如图，郴州北湖公园的小岛上有为了纪念唐代著名诗人韩愈而建的韩愈铜像，其底部为A．某人在岸边的B处测得A在B的北偏东60°的方向上．然后沿岸边直行200米到达C处，再次测得A在C的北偏东30°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）．求这个铜像底部A到岸边BC的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732) 【考点题型十二】三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度（或坡比） 【例12】如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是斜坡两点之间的高度差与水平距离之比），坝高，则坡面的长度是 . 【变式12-1】某小区有一露天舞台，横截面如图所示．AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡度为1，坡长．为保障安全，小区决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使新坡度调整为． (1)求舞台的高AC（结果保留根号）； (2)求AD的长度（结果保留根号）． 【变式12-2】如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 【考点题型十三】三角函数的实际应用（4）--与实际物体结合 【例13】如图，在一个面积为1843200平方米的长方形货场中有一条长千米的铁路．现有一辆装满货物的货车停放在D点，如果这辆货车的速度是每小时千米，问：能否在13分钟内将货物运到铁路边？ 【变式13-1】在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝． （1）求路灯B到地面的距离； （2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）． 【变式13-2】如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直角三角形中的边角关系 【清单01】锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． ①∠A的正弦：sinA＝ =②∠A的余弦：cosA＝＝ ； ③∠A的正切：tanA＝ ＝ . 【清单02】锐角三角函数的增减性 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. . 【清单03】特殊角的三角函数 【清单04】直角三角形中的边角关系 ①三边关系：a2＋b2＝c2 ②三角关系：∠A＝90°－∠B　. ③边角关系：sinA＝cosB＝　，cosA＝sinB＝　　，tanA＝，tanB＝. 【清单05】锐角三角函数的计算 ①利用计算器求三角函数值：直接按三角函数键． ②利用计算器求锐角的度数：先按2ndF键. 【清单06】仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 【清单07】方向角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角. 【清单08】坡角、坡度（或坡比） ①坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. ②坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,即. ③坡度等于坡角的正切值,即 【考点题型一】求三角函数值 【例1】1．在中，，则下列各式中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意画出图形，再分别根据正弦、余弦、正切、余切的定义即可得． 【详解】A、，则，此项正确； B、，则，此项正确； C、，则，此项错误； D、，则，此项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切、余切，熟记各定义是解题关键． 【变式1-1】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题干可知在Rt△ABC中求sinB的值，用角B的对边除以斜边即可. 【详解】解：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值即为， 又由勾股定理求得AC=3，则sinB的值为. 故答案选A. 【点睛】本题结合勾股定理考查解直角三角形中锐角三角函数的求值，根据锐角三角函数的特征进行分析求值. 【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【答案】D 【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a， 则cosA＝＝，故A错误； sinB＝＝，故B错误； tanA＝，故C错误； tanB＝＝，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键． 【变式1-3】在中，，若的三边都缩小，则的值（　　） A．缩小 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦函数的定义，正确理解正弦函数的定义是解题的关键．变化后的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可得的大小不变，即得答案． 【详解】在中，，若的三边都缩小，则变化后的三角形与原三角形相似，可知的大小没有发生变化，故的值不变． 故选C． 【考点题型二】网格中求三角函数值 【例2】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sina+cosa的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角函数的定义，可得sina、cosa的值，进而可得sina+cosa的值． 【详解】根据题意，分析图表可得： sinα=，cosα=． 故sina+cosa=． 故选D． 【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 【变式2-1】如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC= ． 【答案】 【详解】分析：在图形左侧添加正方形网格，分别延长AB、AC，连接它们延长线所经过的格点，可构成直角三角形，利用正切的定义即可得出答案. 详解：如图所示， 由图形可知，，，， ∴tan∠BAC=. 故答案为. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键. 【变式2-2】如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可． 【详解】解：如图，连接AC 在Rt△BEC中，BC= ∵AD⊥BC， ∴×BC×AD=8， 即 ， 解得 ， 在Rt△ADB中， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键． 【变式2-3】如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，是直角三角形，再利用，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q， 可得∠QMB=∠P， ∵PB′=，PQ=，B′Q=， ∴， ∴是直角三角形， ∴=． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出是直角三角形是解题关键． 【考点题型三】利用特殊角的三角函数值计算 【例3】计算： 【答案】2 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，再计算得出答案； 【详解】解：原式= = =2 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 【变式3-1】计算： 【答案】 【分析】先根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质和绝对值的意义化简各数，并代入特殊角三角函数值，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的加减，特殊角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． （1）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3-3】计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算以及零指数幂，原式分别代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，最后再进行加减运算即可． 【详解】解： 【考点题型四】利用三角函数值判断角度大小 【例4】的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 【变式4-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 【变式4-2】若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【考点题型五】利用三角函数值判断三角形形状 【例5】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式5-1】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【变式5-2】如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 【变式5-3】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 【考点题型六】用计算器求三角函数值 【例6】用我们数学课本上采用的科学计算器求的值，按键顺序正确的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据计算器按键顺序计算即可． 【详解】解：采用科学计算器计算，按键顺序正确的是B选项中的顺序． 故选：B． 【点睛】本题主要考查用计算器计算三角函数值，熟悉计算器的按键顺序是解题关键． 【变式6-1】小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅直高度上升了，在用科学计算器求坡角α的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器求角度，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 根据计算器的使用方法进行分析即可． 【详解】解：， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为: ． 故选：B． 【考点题型七】直接解直角三角形 解2个直角三角形常见思路：①利用公共边设未知数，用勾股定理; ②利用三角函数值. 【例7】如图，在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了求锐角的余弦值以及直角三角形斜边上的中线性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边长，然后求出的值即可．熟练掌握锐角三角函数值的求法是解本题的关键． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式7-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，若CD⊥AB于点D，且BD＝4，AD＝9，则tanA＝ . 【答案】 【详解】试题分析：先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质得到CD2=BD•AD，求出CD=6，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA． 考点：解直角三角形 【变式7-2】如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式7-3】如图，在中，， 点D是上一点，过点D作于点E，已知，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【分析】该题主要考查了解直角三角形，解题的关键是理解正弦的定义． 根据算出，再算出，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【考点题型八】构造辅助线解直角三角形 构造辅助线常见思路：①作高; ②延长；③作平行. 【例8】如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ． 【答案】13cm 【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：过点P作PE⊥OB ∵CO=5cm，OD=8cm ， ∴CD=OD-CO=3 又∵PC=PD，PE⊥OB ∴CE= ∴OE=OC+CE= ∴在Rt△POE中， 故答案为：13cm． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键． 【变式8-1】如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交延长线于点，根据设，，证，得出比例式，求出，，，求出，解直角三角形得出即可． 【详解】解：如图，作交延长线于点， ， 又， ， ∵ ∴， ∵， ∴设，则， ，， ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键． 【变式8-2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2、l3上，且l1，l2之间的距离为3、l2、l3之间的距离为5，则AC的长是 . 【答案】 【分析】过点C作l3 的垂线，过点A作l3的垂线,利用三角形全等和勾股定理得出AC. 【详解】 过点C作l3 的垂线，过点A作l3的垂线， 利用三角形全等可知： 利用勾股定理： 【变式8-3】在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 【考点题型九】三角函数与其他图形综合 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题． 【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H． ∵M（，2）， ∴OH＝，MH＝2， ∴OM＝＝3， ∴cosα＝， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式9-1】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）． A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【详解】试题分析：先求出菱形的边长为5cm，然后利用面积的两种表示方法求出DH=cm，在Rr△DHB中求出BH=cm，然后得出AH=AB-BH=cm，利用，所以GH=AH=cm． 故选B． 考点：菱形的性质；勾股定理；解直角三角形． 【变式9-2】如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键． 分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出，然后根据正弦和余弦的定义即可求解． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示 小正方形面积为49，大正方形面积为169， 小正方形的边长是7，大正方形的边长是13， 在中，， 即， 整理得，， 解得，（舍去）， ， 故答案为： 【考点题型十】三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角 【例10】如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为3m的宣传牌，即．数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为31°．站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为45°．．依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请求出；若不能，请说明理由．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，）    【答案】点到地面的距离的长约为． 【分析】延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】能， 理由如下：延长交于，    则， ， ， 设，则， ， 在中，，则， ， 解得，， 则， 答：点到地面的距离的长约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式10-1】如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【答案】(1)楼高为米； (2)广告牌的高度为米． 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解； （2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，米； 由 ， 得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； （2）解：∵在中，米， ， ∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键． 【变式10-2】如图，升国旗时，某同学站在离国旗米处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为，已知双眼离地面为米，则旗杆的高度为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】如图，由题意得：，，米，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：，， ∴米， ∴米； 故选C． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【变式10-3】．在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结合图形进行了操作（如图所示）．在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走80m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为 m（计算结果精确到0.1m，参考数据：，）． 【答案】109.2 【分析】在Rt△ABD中，，在Rt△ABC中，，再根据CD=BC-BD=80即可求解． 【详解】根据题意可知AB⊥BC， ∴在Rt△ABD中，， 在Rt△ABC中，， ∵∠ADB=45°，∠ACB=30°， ∴，， ∵CD=80， ∴CD=BC-BD=， ∴（m）， 故塔高109.2米， 故答案为：109.2． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解仰角的含义并熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 【考点题型十一】三角函数的实际应用（2）--方向角 【例11】一艘货轮B在灯塔A的南偏西60°方向，距离A点海里，货轮B沿北偏东15°航行一段距离后到达C地，此时AC距离海里，判断C在A的北偏西多少度(   ) A．60° B．30° C．15° D．45° 【答案】D 【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作向东方向线交点A的南北方向线于E，点A的北方向线取H，点B的北方向线取F，利用角的和差求出∠DBA=90°-∠FBD-∠ABE=45°，再证△DBA为等腰直角三角形，利用锐角三角函数求出AD=ABsin45°=30，然后利用特殊角的锐角三角函数值求角∠CAD=30°即可． 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作向东方向线交点A的南北方向线于E，点A的北方向线取H，点B的北方向线取F， ∵∠FBC=15°，∠BAE=60°， ∴∠ABE=90°-∠BAE=30°， ∴∠DBA=90°-∠FBD-∠ABE=45°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAB=90°-∠DBA=45°=∠DBA， ∴△DBA为等腰直角三角形， ∴AD=ABsin45°=30， ∴cos∠CAD=， ∴∠CAD=30°， ∴∠HAC=180°-∠EAB-∠DAB-∠CAD=180°-60°-45°-30°=45°， ∴点C在点A的北偏西45°方向． 故选：D． 【点睛】本题考查方位角，解直角三角形应用，等腰直角三角形判定与性质，掌握方位角，解直角三角形应用，等腰直角三角形判定与性质是解题关键． 【变式11-1】如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务．当海监船由西向东航行至 处时，测得岛屿恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达处，测得岛屿在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达处，此时海监船与岛屿之间的距离(即的长)为(     ) A．60海里 B．90海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【解析】略 【变式11-2】如图，郴州北湖公园的小岛上有为了纪念唐代著名诗人韩愈而建的韩愈铜像，其底部为A．某人在岸边的B处测得A在B的北偏东60°的方向上．然后沿岸边直行200米到达C处，再次测得A在C的北偏东30°的方向上（其中A，B，C在同一平面上）．求这个铜像底部A到岸边BC的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732) 【答案】173.2米 【详解】试题分析：作AD⊥BC延长线于点D，根据条件给出角的度数能推出△ABC为等腰三角形，可得出AC=AB=200，根据Rt△ACD中∠ACD的正弦值得出AD=AC·sin∠ACD≈173.2米. 试题解析：过点A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的距离. ∵依题意可知∠ABC=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°∴∠BAC=60°-30°=30°,∴∠ABC=∠BAC ∴AC=BC=200,∵在Rt△ACD中，sin∠ACD= ∴sin60°=,∴AD=200sin60°=≈173.2米 答：这个铜像底部A到岸边BC的最短距离为173.2米. 考点：解直角三角形的应用. 【考点题型十二】三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度（或坡比） 【例12】如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是斜坡两点之间的高度差与水平距离之比），坝高，则坡面的长度是 . 【答案】 【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB． 【详解】解：∵坡AB的坡比是1：，坝高BC=2m， ∴AC=2， 由勾股定理得，AB==4（m）， 故答案为4． 【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键. 【变式12-1】某小区有一露天舞台，横截面如图所示．AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡度为1，坡长．为保障安全，小区决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使新坡度调整为． (1)求舞台的高AC（结果保留根号）； (2)求AD的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用求出，再根据，利用正弦求AC即可； （2）利用求出CD，再利用勾股定理即可求出AD． 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴， ∴， 解之得：， ∴舞台的高， （2）解：在中， ∵， 解之得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，坡度，勾股定理．解题的关键是理解坡度的定义，熟练掌握正切，正弦的定义以及勾股定理． 【变式12-2】如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 【答案】(1)点P到的距离为400米 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）过点P作于点H，得出，，根据米，得出，列出方程求解即可； （2）过点P作于点G，先求出米，则米，通过证明四边形为矩形，得出米，米，进而得出米，最后根据即可解答．． 【详解】（1）解：过点P作于点H， ∵， ∴， ， ∵米， ∴，即， 解得：， 答：点P到的距离为400米． （2）解：过点P作于点G， ∵米，， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∴． 【考点题型十三】三角函数的实际应用（4）--与实际物体结合 【例13】如图，在一个面积为1843200平方米的长方形货场中有一条长千米的铁路．现有一辆装满货物的货车停放在D点，如果这辆货车的速度是每小时千米，问：能否在13分钟内将货物运到铁路边？ 【答案】能在13分钟内将货物运到铁路边 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，垂线段最短，过点D作，连接，利用等面积法求出的长，进而求出货车沿着行驶到铁路的时间即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，连接， ∵ ∴， （米）， 货车的速度为千米/时米/分钟． 又∵（分钟）（分钟）， ∴能在13分钟内将货物运到铁路边． 【变式13-1】在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝． （1）求路灯B到地面的距离； （2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）路灯B到地面的距离8m；（2）灯柱OA的高度为（8﹣）m． 【分析】（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．解直角三角形求得OF＝x，CF＝x，由OC＝8求得x＝8，据此知BF＝8m； （2）再过点A作AG⊥BF于点G，求得∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝30°．解直角三角形可得BG，进而即可求得OA． 【详解】解：（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x． 在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝＝4， ∴OF＝x， 在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝， ∴CF＝x， ∵OC＝8， ∴x+x＝8， ∴x＝8， ∴BF＝8m， 即路灯B到地面的距离8m； （2）过点A作AG⊥BF于点G，可知四边形AGFO是矩形， ∵∠OAB＝120°， ∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°． ∵OF＝×8＝2， ∴AG＝OF＝2， 在Rt△BAG中，∵tan∠BAG＝， ∴BG＝tan30°×2＝ ∴OA＝GF＝（8﹣）（m）， 即灯柱OA的高度为（8﹣）m． 【点睛】本题主要考查解直角三角形仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力． 【变式13-2】如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，） 【答案】点B到桌面得距离为28.78cm 【分析】 点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，在Rt△ABC中，解直角三角形求得AB，继而求得，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，继而即可求解． 【详解】 如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D， 由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm，， ∵∠AOM=160°， ∴∠AOD=20°， ∵OD⊥AC， ∴∠ADO=90°， ∴∠OAD=70°， ∵∠OAB=115°， ∴∠BAC=45°， ∴∠ABC=∠BAC=45°， ∴AC=BC=10cm， 在Rt△ABC中， cos∠BAC=， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AOD中， cos∠AOD=， ∴， ∴点B到桌面的距离为． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，熟练掌握并应用三角函数定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$