精品解析：江苏省如皋中学2025-2026学年高三上学期第二次阶段测试数学试卷

江苏省如皋中学2025~2026学年度高三年级测试（二） 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设函数，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段代入计算即得. 【详解】函数，， 所以. 故选：D 2. 已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得直线过定点，判断点在圆内，可判断直线与圆相交. 【详解】由题意可得直线：过定点. 因为，所以点在圆内， 则直线与圆相交. 故选：C. 3. 已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数满足，可得，所以函数在上单调递增，则，即可解得实数a的取值范围. 【详解】因为函数（且）满足， 即，所以， 又函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以. 故选：C. 4. 已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义结合可求得，然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值. 【详解】因为点在抛物线上，， 所以，所以， 所以，所以，解得. 故选：C 5. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由是偶函数，得关于点成中心对称.再由函数是偶函数，得是函数的一个周期，进而得所求值. 【详解】由是偶函数，得，再对等式两边求导得. 因，所以，即——①. 故函数关于点成中心对称，且定义域为，所以，. 又函数是偶函数，得，即——②. 故函数关于成轴对称，所以. 再由①②得，所以，故， 所以是函数的一个周期，且. 所以， 所以. 故选：B. 6. 在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，然后判断即可. 【详解】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 7. 已知椭圆左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解. 【详解】因为，所以， 由椭圆的定义得：，解得， 因为，所以， 两边同除以a得，解得 ， 因为 ，所以， 所以该离心率的取值范围是 故选：D. 8. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，下列结论正确的是（    ） A. B. 若为直角三角形，则 C. 外接圆的方程为 D. 直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的切线、外接圆以及直线方程等相关知识，需要依次分析每个选项. 【详解】 因为圆：的圆心为，半径为， 当点在圆外时，才可以作条切线， 所以，即，故A错误； 为直角三角形，则四边形为正方形， 所以，解得，故B正确； 外接圆的圆心为的中点， 即为，半径为，又，，，四点共圆， 所以外接圆的方程为，故C错误； 将和相减即得直线的方程， 所以直线的方程为，故D正确． 故选:BD． 10. 已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（ ） A. 当时，双曲线的实轴长为4 B. 当时， C. 无论取何值，双曲线的焦距都为 D. 当时，双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据参数的特点分析出双曲线焦点位置，然后由双曲线性质逐一分析每个选项. 【详解】由双曲线的方程为，依题意，， 注意到，故，设双曲线方程为. B选项，由，即，则，解得，B正确； C选项，，，则， 所以，所以双曲线的焦距为，C错误； A选项，由，得双曲线的方程为，即， 则双曲线的实轴长为4，A正确； D选项，由，得双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，D错误. 故选：AB 11. 如图甲，边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点（如图乙），则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据折叠前后的性质，根据线线垂直推出平面，进而可得，判断选项A；根据面面垂直判定定理判定选项B；建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，，可得求出二面角的余弦值判断选项C；根据互相垂直，三棱锥的外接球等价于以为棱的长方体的外接球，长方体的对角线即为外接球的直径，判断选项D. 【详解】折叠前：，，； 折叠后：，，三点重合于点，故，，， 又，分别是，的中点，边长为2，故，. 选项A：因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，故A对. 选项B：因为，，平面， 所以平面；又平面，故平面平面，故B对. 选项C：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则 ，， ，，设平面的法向量为，则 ，令，得. 平面是平面，其法向量为. 所以二面角的余弦值：，故C错. 选项D：因为，，，所以三棱锥的外接球等价于以为棱的长方体的外接球. 长方体的对角线长， 故外接球半径，故D对. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆台的高后由圆台的体积公式计算． 【详解】由题意圆台的高为， 体积为． 故答案为：． 13. 设为双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则__________. 【答案】13 【解析】 【分析】利用双曲线的定义式求出的值，结合双曲线上的点的性质进行取舍即得. 【详解】因点在双曲线上，故，由题意，， 当点在双曲线右支上时，， 故得，因，符合题意； 当点在双曲线左支上时，， 故得，此时因，不合题意. 故 故答案为：13. 14. 已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【解析】 【分析】构建函数，利用导数分析的单调性，再确定的大小关系，结合单调性即可得解.. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，其定义域为，求导得， 当时，；当时，则，函数在上递增，在上递减， ， ， 则， 于是，即，而都小于1， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明､证明过程或者演算过程. 15. 已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程 【答案】（1）； （2）x=0 或 3x+4y=0. 【解析】 【分析】（1）由条件可知圆心的坐标为，再根据条件转化为关于的方程，根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程； （2）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，利用弦长公式可知圆心到直线的距离是1，求直线方程. 【小问1详解】 设圆心的坐标为C(a，－2a)， 则＝. 化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. 所以C点坐标为(1，－2)， 半径r＝|AC|＝＝. 故圆C的方程为. 【小问2详解】 ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件. ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx， 由题意得，解得， ∴直线l的方程为，即3x+4y=0. 综上所述，直线l的方程为 x=0 或 3x+4y = 0. 16. 已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的标准方程． （2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而可得，根据两点斜率公式表达斜率，进而代入化简即可求解. 【小问1详解】 ， 故当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，与的渐近线平行． 设直线， 则点到直线的距离为， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题可知，直线的斜率不为0， 设直线， 由得． 成立， 则， ． ， ． 故存在实数，使得成立． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 17. 如图甲，在边长为4的等边三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点. （1）求证：； （2）当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据线面垂直判定定理，结合等边三角形的性质，可得答案； （2）由（1）证明垂直，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，结合夹角公式，可得答案. 【小问1详解】 取的中点，连接， 在等边三角形中为线段的中点， 知， 又平面，平面， 所以平面，又面，故. 【小问2详解】 因为平面平面，面面面 所以面，面，则两两垂直， 故可建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 于是， 平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 由，设，故， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设.如果对任意，，求的取值范围． 【答案】（1）当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，f(x)在（0，）单调增加，在（，+） （2）a≤－2 【解析】 【详解】（1） f(x)定义域为(0，+)，. 当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加； 当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少； 当－1＜a＜0时，令＝0，解得x=.当x∈(0，)时，＞0； x∈(，+)时，＜0， 故f(x)在（0，）单调增加，在（，+）单调减少. （2）， 由得，所以在单调递减， 设从而对任意， 恒有， 即， 令，则等价于在单调递减， 即恒成立，从而恒成立， 故设， 则 ， 当时，为减函数， 时，，为增函数. ∴， ∴a的取值范围为. 19. 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）,（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，则，所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即可求解； （2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆联立，解出，的坐标，根据距离公式即可求解； （ⅱ）利用弦长公式说明，四边形为平行四边形，可得四边形的面积四边形的面积的一半，利用点到直线的距离公式求出平行四边形的高，即可求出的表达式，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 圆，则圆心，， 因为线段的垂直平分线交于点， 所以， 由于，所以，又， 根据椭圆定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，所以， 则动点的轨迹的方程为：. 【小问2详解】 由题可得直线，的斜率不为0， 设直线的方程为：，直线的方程为：，， （ⅰ）因为，所以， 联立，可得：，解得：或， 因为点在轴上方.，所以，即， 所以 联立，可得：，解得：或， 因为点，在轴上方.，所以，即， 所以， 所以. （ⅱ）联立，可得：， 所以， ， 则， 联立，可得：， 所以， ， 则 所以，且，则四边形为平行四边形，为对角线的交点， 根据对称性可知，四边形的面积四边形的面积的一半， 四边形的高， 所以， ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以四边形的面积的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学2025~2026学年度高三年级测试（二） 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设函数，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 3. 已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（ ） A 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则满足不等式实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过点作圆：的两条切线，切点分别为，，下列结论正确的是（    ） A. B. 若为直角三角形，则 C. 外接圆的方程为 D. 直线的方程为 10. 已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（ ） A. 当时，双曲线的实轴长为4 B. 当时， C. 无论取何值，双曲线的焦距都为 D. 当时，双曲线渐近线方程为 11. 如图甲，边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点（如图乙），则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 平面与平面夹角余弦值为 D. 三棱锥的外接球半径是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________． 13. 设为双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则__________. 14. 已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明､证明过程或者演算过程. 15. 已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程 16. 已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的标准方程． （2）当直线与双曲线交于异于两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 如图甲，在边长为4的等边三角形中，，将沿折起，使点到达点的位置，连接，得到如图乙所示的四棱锥，为线段的中点. （1）求证：； （2）当翻折到平面平面时，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设.如果对任意，，求的取值范围． 19. 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求四边形的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $