第23章 图形的旋转五大专题 训练 2025--2026学年人教版九年级数学上册

图形的旋转 专题1 利用旋转求角度计算 题型一 利用旋转性质求角度 1.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,点 D 在边 BC 上,BD=2CD,把△ABC 绕点 D 逆时针旋转α(0<α<180)度后,点 B 恰好落在AC 边上的点B'处,则α的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 2.如图,将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转至△DEC,使点 D 落在 BC 的延长线上,已知∠A=33°,∠B=30°,则∠ACE 的大小是( ) A.63° B.58° C.54° D.52° 3. 如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE,连接CD,若 ,则∠BCD= 题型二 线段旋转⇒全等+等腰 4.在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD. (1)如图1，直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示)； (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值. 专题 2 ——利用旋转探究线段间关系 题型一 等腰三角形旋转+中线倍长+勾股计算 1.在等腰 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 在边CA 的延长线上,E 在边AB上,AD=AE,连接DE. 观察与思考 如图1，连接BD，CE，△ABD 可以由△ACE 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小. 迁移与运用 将图1中的△ADE 绕点A 旋转,当直线 DE 经过BC 的中点 F 时,连接 BD,如图2,求证:BD∥AE. 操作与拓展 将图1中的△ADE 绕点A 旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过AC 的中点，直接写出 的值. 题型二 等边三角形+中线倍长+勾股计算 2.如图,点 E 在等边. 内， 点 D 为BC 的中点,连接AE,DE. (1)求证:AE=2DE; (2)若 则 的边长为 .(直接写出) C 学科网（北京）股份有限公司 专题 3 ——利用旋转计算(旋转( 问题) 题型一 遇45°角作垂线构造全等三角形⇒相当于将某一个三角形旋转90°角 1.如图1,等腰Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 在△ABC 外,且 (1)若 BD=3,AD=4,求线段 D C 的长; (2)如图2,AC=BC,∠ACB=90°,∠CDB=45°,若S△ABD=8,求 BD 的长. 2.如图,∠ACB=90°,AC=BC,点 M 为平面内一点, ,求 BM的长. 题型二 遇135°角作垂线产生全等⇒相当于旋转90°角集中条件转化问题 3.如图,Rt△ACB 中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E 在直线AB 上. (1)如图1,D、E 在AB 上,∠DCE=45°,求证: (2)如图2,若∠DCE=135°,AD=5,BE=2,求AB 的长. 学科网（北京）股份有限公司 专题4 ————利用旋转计算(旋转 问题) 题型一 遇60°角构等边产生全等⇒相当于将某一个三角形旋转 角 1.(1)如图1,在四边形ABCD 中,AD=DC,∠ADC=60°,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,求对角线 BD 的长. (2)如图2,在△ABC 中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,以AC 为边向外作等边△ACD,求BD 的长. (3)如图3,D 是等边三角形ABC 外一点,连接AD,BD,CD.若 D=8,直接写出△ABD 的面积为 . 题型二 注意方法的类比，往往第一问是为第二问作铺垫 2.在等腰 中， 点 P 为平面内一点. (1)如图1,当点 P 在, 的外部，且满足 求证： (2)点 P 满足 连接BP.若AP=1,PC=3,，直接写出 BP 的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 专题5 ———坐标系中的旋转 1.在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(2,0),将线段AB 绕点A 逆时针旋转 ，则点 B 的对应点 C 的横坐标是 . 2.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),将线段AB 绕点B 顺时针旋转得到 BC，则点A 的对应点C 的横坐标是 . 3.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),将线段AB 绕点B 顺时针旋转 则点 A 的对应点 C 的纵坐标是 . 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 专题1 题型一 利用旋转性质求角度 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点 D 在边 BC 上,BD=2CD,把△ABC 绕点 D 逆时针旋转α(0<α<180)度后,点 B 恰好落在AC 边上的点B'处,则α的度数为( D ) A.30° B.60° C.90° D.120° 2.如图,将△ABC 绕点C按逆时针方向旋转至△DEC,使点 D 落在 BC 的延长线上,已知∠A=33°,∠B=30°,则∠ACE 的大小是( C ) A.63° B.58° C.54° D.52° 3.如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE,连接CD,若 ,则∠BCD= 138° . 题型二 线段旋转⇒全等+等腰 4.在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段 BD. (1)如图1，直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示)； (2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE 的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值. 答案解:( (2) 连接 AD,∠ABD=∠CBE,∠ADB =150°, ∴△ABD≌△EBC⇒AB=BE⇒△ABE 为等边三角形; (3)连接CD,DE,由(2)知 学科网（北京）股份有限公司 专题2 题型一 等腰三角形旋转+中线倍长+勾股计算 1.在等腰Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 在边CA 的延长线上,E 在边AB上,AD=AE,连接DE. 观察与思考 如图1，连接BD，CE，△ABD 可以由△ACE 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小. 迁移与运用 将图1中的△ADE 绕点A 旋转，当直线 DE 经过BC 的中点F 时，连接BD，如图2,求证:BD∥AE. 操作与拓展 将图1 中的△ADE 绕点A 旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过AC 的中点，直接写出 的值. 答案:(1)绕 A 点逆时针旋转90°; (3) 延长EF 至G 使GF=EF,连 BG,△EFC≌△GFB,CE=BG=BD,∠G=∠CEF=∠BDG, ,易得AE⊥CE, ∴∠BDG=∠DEA=45°,∴BD∥AE. (4) 连接CE,△ABD≌△ACE,∠AEC=∠ADB=135°,BE⊥CE,过A 点作 AH⊥BE 于H,∴CE=BD=AH=DH,设 题型二 等边三角形+中线倍长+勾股计算 2.如图,点 E 在等边△ABC 内, ,点 D 为BC 的中点,连接AE,DE. (1)求证:AE=2DE; (2)若AE⊥EC,ED=1,则△ABC 的边长为 (直接写出) 解:(1)证明:延长ED 至G,使 DE=GD,连接CG, △BDE≌△CDG,CG=BE,∠ECG=60°,延长BE 至 F, 使 EF=CE,连接AF,CF, ∴△ACF≌△ECB⇒AF=CG,∴△AEF≌△GEC,AE=2DE. (2) 由(1)知 专题3 题型一 遇45°角作垂线构造全等三角形⇒相当于将某一个三角形旋转90°角 1.如图1,等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 在△ABC 外,且 (1)若BD=3,AD=4,求线段 DC 的长; (2)如图2,AC=BC,∠ACB=90°,∠CDB=45°,若S△ABD=8,求 BD 的长. 答案解:(1)将△DAC 绕A 顺时针旋转90°到△ABE,连接BE、DE, 则 DE = 4 , ∠EDB = ∠EDA+ (3) 过 C 作CH⊥DC 交 DB 的延长线于H,连接AH,则△ACH≌△BCD, ∴AH⊥DH,AH=BD,DB=4. 2.如图,∠ACB=90°,AC=BC,点M 为平面内一点,∠AMC=75°,AM=2,CM= 求 BM的长. 解:①作CN⊥CM,CN=CM, AN=BM=2 ; ②作CN⊥CM 且CN=CM, △ACN≌△BCM, BM = 题型二 遇135°角作垂线产生全等⇒相当于旋转90°角集中条件转化问题 3.如图,Rt△ACB 中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E 在直线AB 上. (1)如图1,D、E 在AB 上,∠DCE=45°,求证: (2)如图2,若∠DCE=135°,AD=5,BE=2,求AB 的长. 解:(1)作CM⊥CD,CM=CD,连接BM,EM,则△ACD≌△BCM,BM=AD, △CDE≌△CME⇒DE= (4) 作CM⊥CD,CM=CD,连接EM,AM,则△CDE≌△CME⇒ME=DE. 又∵△CAM≌△CBD⇒ 设 (负值舍). 专题4 题型一 遇60°角构等边产生全等⇒相当于将某一个三角形旋转60°角 1.(1)如图1,在四边形ABCD 中,AD=DC,∠ADC=60°,∠ABC=30°,AB=4,BC=5,求对角线 BD 的长. (2)如图2,在△ABC 中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,以AC 为边向外作等边△ACD,求BD 的长. (3)如图3,D 是等边三角形ABC 外一点,连接AD,BD,CD.若. AD=8,直接写出△ABD 的面积为 答案解:(1)连接AC,则△ADC 为等边三角形,以BC 为边作等边△BCP,连接AP,可证△DCB≌△ACP,AP=BD,∠ABP=90°.在 Rt△ABP 中, 故 (2)作等边△ABE,连接CE,△ACE≌△ADB,∴CE=BD=7. (3)以AD 为边向外作等边△ADM,连接CM,∴ ,∴ 题型二 注意方法的类比，往往第一问是为第二问作铺垫 2.在等腰△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,点 P 为平面内一点. (1)如图1,当点 P 在△ABC 的外部,且满足∠APC+∠BPC=90°,求证: (2)点 P 满足∠APC=60°,连接BP.若AP=1,PC=3,直接写出 BP 的长为 . 解:(1)将AP 绕A 顺时针旋转120°至AQ,连接PQ、BQ,易得 AP=PQ. ∴△ABQ≌△ACP∴∠AQB=∠APC∴设∠APC=α,∴∠BPA=90-2α, ∴∠BPQ=∠BPA+∠APQ=90°-2α+30°=120°-2α.又∠PQB=30°+α, ∴∠PBQ=180°-(120°-2α)-(30°+α)=30°+α∴PB=PQ= AP. 或2 ,①以AP 为腰向上作等腰△PAH 且∠PAH=120°, ∴△BAH≌△CAP,∴∠BHA=∠APC=60°,∴∠BHP=∠PHA=30°. 又.且BH=CP=3,解 ②△APC≌△AHB, ∴∠AHB=∠APC=60°,又∠AHP=30°,∴∠BHP=90°,又 BH=PC=3,∴在 Rt△BHP 中, 专题5 1.在平面直角坐标系中,点A(0,4),B(2,0),将线段AB 绕点A 逆时针旋转 ，则点 B 的对应点 C 的横坐标是 解:线段AO 绕点A 逆时针旋转120°至AM,过C 作y 轴的平行线CD,过M作OA 于P,交CD 于N,易证∠ 故C 的横坐标是 2.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),将线段AB 绕点B 顺时针旋转 得到BC，则点A 的对应点C 的横坐标是 解：作 易证 作 轴于N, 作CG⊥MN 于G,. 故C 的横坐标是 3.在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),将线段AB 绕点B 顺时针旋转 ，则点 A 的对应点 C 的纵坐标是 解：作 易证 过 E 作 轴于M,∴BM=2,故C 的纵坐标是 学科网（北京）股份有限公司 $$