第3章 一次方程与方程组 单元卷 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

2025-2026安徽省沪科版数学七年级上册第3章 一次方程与方程组单元卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列各式中，属于方程的是（　　） A．4+（﹣1）＝3 B．2x+3 C．2x﹣1＜0 D．2x﹣1＝5 2．（4分）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（　　） A．若ac＝bc，则a＝b B．若a＝b；则a（x2+1）＝b（x2+1） C．若，则a＝b D．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1 3．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出七，盈三；人出六，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出7钱，多出3钱；每人出6钱，还差4钱．问人数、物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则下列方程正确的是（　　） A．7（x﹣3）＝6（x+4） B．7x+3＝6x﹣4 C． D． 4．（4分）下列方程组是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．300cm2 6．（4分）已知实数x，y，z满足，则代数式3（x﹣z）+1的值是（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 7．（4分）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D． 8．（4分）已知实数a、b、c满足a+b＝ab＝c，有下列结论正确的是（　　） ①若c≠0，则1；②若a＝3，则b+c＝9；③若a＝b＝c，则abc＝0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c＝8． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 9．（4分）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 10．（4分）已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解； ②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数； ③x，y都为自然数的解有4对； ④若2x+y＝8，则a＝2． 正确的有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）已知，则x+y+z的值为　 　 ． 12．（5分）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 13．（5分）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 　 　 cm． 14．（5分）下表所示是2019年元月的月历表．下列结论： ①每一竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7； ②可以框出一竖列上相邻的三个数（如图所示），这三个数的和是24； ③不可以框出一个2×2的矩形块的四个数（如图所示），这四个数的和是82； ④任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍，其中正确的是　 　 （把所有正确的序号都填上）． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．（8分）解方程： （1）5x﹣2（x﹣1）＝x﹣2； （2） ． 16． （8分）解方程组． 17．（8分）已知关于x的方程（5﹣|m|）x2+（5﹣m）x+n﹣2＝0是一元一次方程． （1）求m的值； （2）若此方程的解与方程5x﹣7＝8的解互为倒数，求n的值． 17． （8分）树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 19．（10分）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个． （1）七年级四班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 20．（10分）定义：二元一次方程y＝ax+b与二元一次方程y＝bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y＝2x+1与二元一次方程y＝x+2互为“反对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”：　 　 ． （2）二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 21．（12分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”． （1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”； （2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值； （3）若关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解． 22．（12分）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x＞300）． （1）当x＝400时，顾客到哪家超市购物优惠． （2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同． 23．（14分）数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是﹣4，如果点M、N在数轴上，且满足点M到点A或B的距离与点N到点B或A中另一个点的距离之和等于MN，我们就称（M，N）是（A，B）的和谐点对．例如，如图，点M、N表示的数分别为﹣2和4时，BM＝2，AN＝4，MN＝6，BM+AN＝MN，我们称（M，N）是（A，B）的和谐点对． 请根据上述材料解决下面问题： （1）点E、F、G表示的数分别为﹣5，﹣3，3，写出（A，B）的和谐点对，并说明理由； （2）若点P从点A以每秒4个单位长度向左运动，同时点Q从点B以每秒1个单位长度向右运动，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动时间为t秒（t＞0），当（P，Q）为（A，B）的和谐点对时，直接写出t的值． 2025-2026安徽省沪科版数学七年级上册第3章 一次方程与方程组单元卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A A B B C D D 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．【解答】解：A、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意； B、不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意； C、不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意； D、是方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．【解答】解：A、若ac＝bc，两边同时除以c，当c＝0时，原变形错误，故这个选项符合题意； B、若a＝b；等式两边同时乘（x2+1），则a（x2+1）＝b（x2+1），原变形正确，故这个选项不符合题意； C、若，等式两边同时乘c，则a＝b，原变形正确，故这个选项不符合题意； D、若a＝b，两边同时减去1，则a﹣1＝b﹣1，原变形正确，故这个选项不符合题意． 故选：A． 3．【解答】解：设共有x人，根据题意可得：7x ﹣3＝6x+4， 设物价是y钱，根据题意可得： ． 故选：D． 4．【解答】解：A．是二元一次方程组，故此选项符合题意； B．有一个方程含有分式，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； C．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 则可列方程组， 解得， 则一个小长方形的面积＝40cm×10cm＝400cm2． 故选：A． 6．【解答】解：方程组， ②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5， 整理得：3（x﹣z）＝﹣5， 把3（x﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z）+1得： ﹣5+1＝﹣4， 即代数式3（x﹣z）+1的值是﹣4， 故选：B． 7．【解答】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：3（x﹣2）． 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：2x+9， 则可建立方程：3（x﹣2）＝2x+9． 故选：B． 8．【解答】解：若c≠0，则ab≠0，根据等式的基本性质2，将a+b＝ab的两边同时除以ab，得1， ∴①正确，符合题意； 若a＝3，得3+b＝3b， 解得b， 则c＝3b＝3， ∴b+c6， ∴②不正确，不符合题意； 若a＝b＝c，则2a＝a2＝a， 如果a≠0，根据等式的基本性质2，将2a＝a2＝a除以a，得2＝a＝1（不成立）， ∴a＝0， ∴abc＝0， ∴③正确，符合题意； 若a＝b≠c，得2a＝a2，解得a＝0或2， 当a＝0时，a＝b＝c＝0（矛盾）， 当a＝2时，b＝2，c＝4， 则a+b+c＝8； 若a＝c≠b，得a+b＝ab＝a，解得b＝0，a＝0，c＝0（矛盾）； 若b＝c≠a，得a+b＝ab＝b，解得a＝0，b＝0，c＝0（矛盾）； ∴若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c＝8， ∴④正确，符合题意． 综上，①③④正确． 故选：C． 9．【解答】解：设y+1＝x， 方程的解即为的解， ∵方程的解为x＝﹣3， ∴y+1＝﹣3， 解得y＝﹣4， ∴关于y的一元一次方程的解为y＝﹣4． 故选：D． 10．【解答】解：①将a＝1代入原方程组，得 解得 将x＝3，y＝0，a＝1代入方程x+y＝2a+1的左右两边， 左边＝3，右边＝3， 当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解； ②解原方程组，得 ∴x+y＝3， 无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数； ③∵x+y＝2a+1+2﹣2a＝3 ∴x、y为自然数的解有，，，． ④∵2x+y＝8，∴2（2a+1）+2﹣2a＝8， 解得a＝2． 故选：D． 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．【解答】解：， ①+②+③得：2x+2y+2z＝2， 解得：x+y+z＝1， 故答案为：1． 12．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得 ， 解得， ∴S阴影＝17×（9+3×2）﹣8×11×2＝79． 故答案为：79． 13．【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高x cm，单独一个纸杯的高度为y cm， 由题意得， 解得， 则n个纸杯叠放在一起时的高度为：（n﹣1）x+y＝n﹣1+7＝（n+6）cm， 当n＝50时，其高度为：50+6＝56（cm）． 故答案为：56． 14．【解答】解： ①每一数列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7；①正确 ②设这一数列上相邻的三个数分别是a﹣7，a，a+7 a﹣7+a+a+7＝24 解得a＝8 ∴a﹣7＝1，a+7＝15 ∴可以框出一数列相邻的三个数，分别是1，8，15，这三个数的和是24；②正确 ③设一个2×2的矩形块的四个数分别是b，b+1，b+7，b+8 b+b+1+b+7+b+8＝82 解得b＝16.5 ∵b不是整数 ∴不可以框出一个2×2的矩形块的四个数，这四个数的和是82；③正确 ④设一个3×3的矩形块的9个数的中间数字是c，则另外八个数字分别是c﹣8，c﹣7，c﹣6，c﹣1，c+1，c+6，c+7，c+8 ∴c﹣8+c﹣7+c﹣6+c﹣1+c+c+1+c+6+c+7+c+8＝9c 得9c＝9c ∴任意框出一个3×3的矩形块的九个数（如图所示），这九个数的和是中间数的9倍；④正确 ∴其中正确的是①②③④ 故填：①②③④ 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．【解答】解：（1）原方程可化为5x﹣2x+2＝x﹣2， 移项，得5x﹣2x﹣x＝﹣2﹣2， 合并同类项，得2x＝﹣4， 系数化为1，得x＝﹣2； （2）原方程可化为2（2x﹣1）+6＝3（x﹣2）， 去括号，得4x﹣2+6＝3x﹣6， 移项，得4x﹣3x＝﹣6+2﹣6， 合并同类项，得x＝﹣10． 16．【解答】解：， ①×3+②得：10x﹣5＝0， 解得：x＝0.5， 把x＝0.5代入①得：y， 所以方程组的解为：． 17．【解答】解：（1）∵关于x的方程（5﹣|m|）x2+（5﹣m）x+n﹣2＝0是一元一次方程， ∴5﹣|m|＝0，5﹣m≠0， ∴m＝﹣5； （2）当m＝﹣5时，方程为10x+n﹣2＝0， 解方程5x﹣7＝8得x＝3， ∴方程10x+n﹣2＝0的解是x， ∴10n﹣2＝0， 解得n． 18．【解答】解：设树上原来有x只鸽子，地上原来有y只鸽子， 依题意得：， 解得：． 答：树上原来有68只鸽子，地上原来有28只鸽子． 19．【解答】解：（1）设七年级四班有男生x人，则有女生（48﹣x）人， 根据题意得：x﹣（48﹣x）＝2， 解得：x＝25， ∴48﹣x＝48﹣25＝23． 答：七年级四班有男生25人，女生23人； （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意得：26（25﹣y）＝2×11（23+y）， 解得：y＝3． 答：有3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 20．【解答】解：（1）由题知，二元一次方程y＝4x﹣1的“反对称二元一次方程”是y＝﹣x+4， 故答案为：y＝﹣x+4． （2）二元一次方程y＝3x+5的“反对称二元一次方程”是y＝5x+3， 又∵二元一次方程y＝3x+5的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴， 解得， ∴m＝1，n＝8． 21．【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”，理由： 解方程4x﹣（x+5）＝1得： x＝2， 方程﹣2y﹣y＝3的解为： y＝﹣1． ∵x+y＝2﹣1＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”； （2）关于x的方程m＝0的解为：x＝﹣2m， 方程3x﹣2＝x+4的解为：x＝3， ∵关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”， ∴﹣2m+3＝1， ∴m＝1； （3）方程x﹣1＝0的解为：x＝2022， ∵关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”， 方程x+1＝3x+k的解为：x＝﹣2021． ∵关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6就是：（y+2）+1＝3（y+2）+k， ∴y+2＝﹣2021， ∴y＝﹣2023． ∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解为：y＝﹣2023． 22．【解答】解：（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x﹣300）＝（0.8x+60）元， 在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x﹣200）＝（0.85x+30）元； 当x＝400时，在甲超市购物所付的费用是：0.8×400+60＝380， 在乙超市购物所付的费用是：0.85×400+30＝370， 所以到乙超市购物优惠； （2）根据题意由（1）得：300+0.8（x﹣300）＝200+0.85（x﹣200）， 解得：x＝600， 答：当x＝600时，两家超市所花实际钱数相同． 23．【解答】解：（1）（F，G）；理由如下： ∵FG＝6，FB＝1，AG＝5， ∴FB+AG＝FG； （2）由题意，t秒后点P对应的数为8﹣4t，点Q对应的数为﹣4+t， ∵当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动， ∴， ∴0＜t≤12， ∵（P，Q）为（A，B）的调和点对， ∴PA+QB＝PQ或QA+PB＝PQ， ①当P在B点的右侧时： 当PA+QB＝PQ时，则4t+t＝8﹣4t﹣（﹣4+t）， 解得； 当QA+PB＝PQ时，则12﹣t+12﹣4t＝﹣4+t﹣（8﹣4t）， 解得， ∵当时，8﹣4t4， 此时P在点B的左侧，不合题意； ②当P在点B的左侧时，QA+PB＝PQ， ∵此时PQ＝PB+BQ， ∴BQ＝AQ，即Q是AB中点， ∴t＝6； 综上所述，或t＝6． 第1页 共2页 ◎ 第2页 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