3.2勾股定理的逆定理　导学案　2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“勾股定理的逆定理”，通过回顾勾股定理提出逆问题，引导学生经历“提出问题-构造全等三角形证明-得出定理”的探索过程，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解定理的形成脉络。 特色在于融合数学思维与应用，通过构造全等三角形证明定理培养推理意识，结合古埃及造金字塔实例渗透数学眼光，勾股数口诀及分层习题（基础、拓展、达标）提升应用意识，助力学生掌握直角三角形判定方法并感悟“形数联系”。

2025年秋八年级数学上册导学案(3-3) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：3.2勾股定理的逆定理 学习目标： 1、会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）。 2、会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形。 3、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，体会“形”与“数”的内在联系。 学习重点：勾股定理的逆定理及应用。 学习难点：勾股定理的逆定理的证明。 自学要求：认真阅读教材P95-97，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、 情境引入： 我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，反过来，如果一个三角形的两条边的 平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形吗? 2、 探索新知： 如图，ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2， 能否证明△ABC 为直角三角形。 我们先作一个 Rt△A'B'C'，使∠C'=90°， B'C'=a,A'C'=b(如图),再设法证明 △A'B'C'与△ABC全等根据勾股定理，得A'B’2=a2+b2，因为 AB2=a2+b2，所以 A'B'= AB 根据“SSS”，可知△ABC≌△A'B'C’，于是∠C=∠C' =90°，即ABC 是直角三角形。 小结： 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时就已经知道 如何构造一个直角三角形，他们在一根绳子上打上 距离相等的结，然后由三人拉成一个三角形， 使得每条边被结点分成3段、4段、5段， 这样得到的三角形一定是直角三角形， 勾股数： 如果三个正整数a，b，c满足关系a2+b2=c2， 则称a，b，c为勾股数。 口诀：奇数平方写连续，偶数半方加减一。 试一试： 1、下列各组数是勾股数的是 （ ） 　A、12、15、18； B、12、35、36； C、7、24、25. D、10、20、30 2、有一个三角形的三边长为3、4、5，求这个三角形的面积。 二、例题讲解 例1、已知:a，b，c为正整数，且a2+b2=c2， 求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数。 例2、如图，AD是△ABC的中线，AD=24，AB=26，BC=20，求AC的长。 三、基础强化： 1、观察下列各组数：①7，12，15；②8，15，17；③12，15，20；④； ⑤0.6，0.8，1， 其中是勾股数的有 （ 　　） 　 A、1组　　　 　B、2组　　　 　C、3组　　　　 D、4组 2、在△ABC中，如果三边a、b、c满足|a－32|＋|2b－48|＋（c－40）2＝0，那么△ABC是（　　） 　A、等腰三角形　 　B、等边三角形　 C、直角三角形　 　D、等腰直角三角形 3、如图所示，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，边BC上的中线AD＝2， （1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求△ABC的面积. 4、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12， AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 4、 拓展提高： 1、 若△ABC的三边分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，求证：△ABC是直角三角形。 2、如图，AD⊥BC，垂足为D，如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角吗？证明你的结论. 五、总结反思： 1、在已知三角形的三边，判断此三角形是否为直角三角形时，一般先确定最长的边，再计算较短的 两边的平方和与最长边的平方，若两者能相等，则此三角形为直角三角形，且最长边为斜边， 所对的角为直角；若两者不能相等，则不是直角三角形。 2、应用平方关系判断勾股数的前提条件是这三个数必须都是正整数。 六、达标检测： 1、如果线段a、b、c能构成一个直角三角形，那么a：b：c可能是 （　　） 　A、1：2：3　　　　B、3：4：5　　　　　C、2：3：5　　　D、5：7：8 2、如图，AB＝24，BC＝15，CD＝20，AD＝7，∠C＝90°，求∠A的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $$