18.3 角的平分线的性质 课件2024-2025学年人教版（五四制）数学七年级下册

该初中数学课件围绕角的平分线的性质与判定展开，通过复习角平分线定义、点到直线距离，结合折纸、角平分仪及尺规作图等动手操作，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于注重实验操作与逻辑推理结合，通过测量PD、PE验证性质，利用SSS、HL全等证明定理，结合贸易市场选址等实例培养应用意识。采用对比表格小结性质与判定，助力学生形成几何直观和推理思维，教师可借助结构化内容提升教学效率。

15.4 角的平分线的性质 1.角平分线的定义是什么？请你结合图1用几何符号语言表示出来。 ∵OC平分∠AOB ∴∠1=∠2 （角平分线定义） A B C O 1 2 图1 2.什么是点到直线的距离？ 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做点到直线的距离。 A B O P 以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线 复习回顾 思考：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量 方法一： 方法二： 用折纸的方法． 方法三： 角平分仪 角平分仪 你能说明它的道理吗? 已知：AB=AD，BC=DC. 求证：AE平分 ① 以点O为圆心， 适当长为半径画弧，交OA于点M，OB于点N ② 分别以点M、N为圆心， 大于 MN为半径画弧，两弧交于点C ③ 作射线OC O A B （动手操作） 尺规-角平分线的画法 方法四： 用尺规来做 在△OMC和△ONC中， OM=ON MC=NC OC=OC ∴ △OMC≌△ONC（SSS） ∴ ∠AOC=∠BOC 即 OC平分∠AOB 证明： OC平分∠AOB ？ M N 尺规-角平分线的画法 方法四： 用尺规来做 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 PD=PE 实验操作：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 一 1. 取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 新知探究 P A O B C D E PD PE 第一次 第二次 第三次 已知：如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 证明：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 验证猜想 （全等三角形的对应角相等）. 性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 归纳定理 （角的平分线上的点到角两边的距离相等）. （1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C ( ) 辨析真伪 例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段——直接应用 典例精析 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的判定 类比探究 它是真命题吗？你能证明吗？ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 逆命题 P A O B C D E 已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. ∴ OP 平分∠AOB. ∵PD = PE ，OP = OP ， 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). 结论证明 B A D O P E C 1 2 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： (1) 位置关系：点在角的内部； (2) 数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识要点 例 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F 典例精析 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF， ∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°. 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， A B C D E F ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三 角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半) . 例 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F. 求证：点 F 在∠DAE 的平分线上． 证明： 过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M. ∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上， FG⊥AE，FM⊥BC， ∴ FG＝FM. 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC， ∴ FM＝FH. ∴ FG＝FH. ∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上. G H M A B C F E D ┑ ┑ ┑ 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？ （比例尺为1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 新知应用 A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 新知应用 求证：EB=FC. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. ∠DEB=∠DFC=90 °. A B C 问题解决 问题：如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要在△ABC区域内建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 你能确定它的位置吗？ 角的平分线的性质 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 课堂小结 谢 谢 聆 听 ！ Blues 217900.8 Lavf57.62.100 $$