第3章 一元一次方程（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

第3章 一元一次方程（压轴题专项训练） 一、单选题 1．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，将这9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的积相等．则其中的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：， ∴同一行、列、对角线的乘积相等，且为，如图： ∴，则； ，则； ，； 正中间的数为，则幻方的九个空格中处在中央的数是． ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 可求，经检验，均符合题意， 故选：A． 3．嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 【答案】C 【详解】解： ；故甲运算正确； ∵嘉嘉不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 而； ∴错误的符合一定是把“”错写成“” 设写错符号的数为， ∴， 解得， ∴写错符号的数为，故乙错误；丙正确； ∵ ，故丁正确； 故选：C 4．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是． 故选：C． 5．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时， ， 解得， ∵， ∴不符合题意． ∴方程的解为． 故选：A． 6．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 二、填空题 7．已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：． 要想使方程的解为非正整数，则整数满足：， 是负整数，且能整除5， 的值为，， 当时，解得：， 当时，解得：， 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 8．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 9．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，对于英文，人们将26个顺序分别对应整数0到25，现要破译对方发来的4个字母构成的某密码单词，记4个字母对应的数分别为， 已知 ，除以26的余数分别是9，16，23，15，请你通过推理计算破译此密码，写出这个单词，并写出此单词的汉语词义 ． 【答案】 honf 天然纤维屋 【详解】解：∵， ∴，在此范围内除以26余数是9的数有； ，在此范围内除以26余数是16的数有16，42，68； ，在此范围内除以26余数是23的数有23，49，75； ，在此范围内除以26余数是15的数有15，41，67； 由是整数，得 ，解得， 则， ∴，解得， 由是整数，得 ，解得， 则， ∴，解得． ∴依次是7，14，13，5，对应的字母分别是h，o，n，f， 即这个单词为，汉语词义是天然纤维屋． 故答案为：honf，天然纤维屋． 10．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个没有填写完整的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在图中已经填入了两个数：和，则图中最右上角的数的值是 ． 【答案】 【详解】解：设第一行第一个方格中的数为， 则第三行第三个方格中的数为， 第一行第二个方格中的数为， 第二行第三个方格中的数为， 第三行第一个方格中的数为，如图所示： 根据题意得， 即， 解得， 图中最右上角的数的值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是找准等量关系并正确列出方程． 11．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 【答案】或 【详解】解：设丙出发与乙相遇， 根据题意可得：乙的速度为 当丙与甲相遇时， ①若甲在乙前面，则此时乙在A地，甲刚好出发，行驶了， ∴丙速度为， ∴， 解得：； ②若乙在甲前面， ∵， ∴此时乙出发了，所走路程为，甲所走路程为 ∴丙的速度为， ∴， 解得， 综上所述，丙出发或与乙相遇， 故答案为：或． 12．(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是， 且， 将代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】解决问题的关键是理解关于的方程，若，则该方程只有唯一解；若且，则该方程有无数个解；若且，则该方程没有解． 13．k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有整数解， ∴，则， ∴或或或， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，理解一元一次方程整数解的意义是解题的关键． 14．一筐苹果，若分给全班同学每人5个，则还剩下15个；若全班同学一起吃，其中7个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，恰好用若干天吃完，则筐里最多共有 个苹果． 【答案】195 【详解】解：设全班共个同学，则筐里共有个苹果， 个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个， 全班同学每天吃个， 设全班同学恰好天吃完， ， ， 为正整数， 为奇数， 要使最大，则， ， 筐里最多共有（个）苹果； 故答案为：195． 15．如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时， ． 【答案】或 【详解】解：如图，当射线在内部时， 设， 则， 则， ， ， ， ， ， ， ； 当点射线的反向延长线在内部时，如图， 设， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 16．已知关于x的方程有三个解，则 . 【答案】 【详解】解；根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∵关于x的方程有三个解，则有两个相等， 显然，不成立， 若，得到（舍去）； 若，得到，，（舍去）； 若，得到，，，（符合题意）； 若，得到，，（舍去）； 故答案为：． 三、解答题 17．小明在解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘12，由此得到的方程的解是，试求出m的值，并帮助小明求出原方程的解． 【答案】， 【详解】解：由题意可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 将代入可得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 18．张先生向商店订购了每件定价为元的某种商品件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】元 【详解】解：根据题意得，减价：（元）， 多订购的件数：（件）， 降价后共订购：（件）， 设原来每件商品的利润为元，则这种商品的成本是元， （元）， （元）， 答：这种商品的成本是70元． 19．琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“”被墨水污染了． (1)琪琪猜测被污染的数字“”是，请计算； (2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于11，请通过计算求出被污染的数字 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设被污染的数字“”为，根据题意得： ． ∴被污染的数字为． 20．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)小王家这个月用水40吨 (3)小王家11月份用水13吨 【详解】（1）解：由题意，得，解得：， ∴，解得：． （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水x吨， 由题意，得，解得：． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水m吨，则10月份用水吨． ①当，由题意可得： ，解得：． ②当，由题意可得： ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上，小王家11月份用水13吨． 21．综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)值不随着时间的变化而变化，始终 (3)存在，或 【详解】（1）解：依题意，． 所以； （2）解：秒后，点始终在点的左侧，∴， 点始终在点的右侧，∴， ∵是定值， ∴的值不随着时间的变化而变化，始终， （3）解：∵点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒， ∴秒后A表示的数为，表示的数为，表示的数为， 当A、相遇时，，解得， 当、相遇时，，解得， ∴当时，，， ∵，，解得； 当时，，， ∵，∴，解得； 当时，，， ∵， ∴，解得，舍去； 当时，，解得（舍弃）． 故答案为：或． 22．已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)；； (2)或 (3)当时，；当且时，无解；当且时， 【详解】（1）解：①解，可得，，故方程是“幸福方程”； ②解，可得，，，，，故方程不是“幸福方程”； ③解，可得，将变形可得，，故方程是“幸福方程”， 故答案为：；；； （2）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， 解得或； （3）解：解，可得， 关于的方程是“幸福方程”， 或， ①当时， 可化简为， 则， ②当， 可化简为， 变形可得， 当时，等式左边等于0，等式右边等于5，故该方程无解； 当时，； 综上可得，当时，；当且时，无解；当且时，． 23．定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 (3) 【详解】（1）解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一元一次方程（压轴题专项训练） 一、单选题 1．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 2．如图，将这9个数填入幻方的九个格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的积相等．则其中的值为（    ） A． B． C．2 D． 3．嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 4．甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 5．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 6．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 二、填空题 7．已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 8．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 9．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，对于英文，人们将26个顺序分别对应整数0到25，现要破译对方发来的4个字母构成的某密码单词，记4个字母对应的数分别为， 已知 ，除以26的余数分别是9，16，23，15，请你通过推理计算破译此密码，写出这个单词，并写出此单词的汉语词义 ． 10．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个没有填写完整的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是相等的，在图中已经填入了两个数：和，则图中最右上角的数的值是 ． 11．一条公路上有相距的两地，甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶．根据他们三人对话的信息，解决丙提出的问题． 甲：我从地出发匀速前往地，速度为． 乙：甲出发1小时后，我也从地出发匀速前往地，出发半小时后追上了甲，到达地后停止不动． 丙：我与甲同时出发，但我是从地匀速前往地，当我与甲相遇时，甲与乙相距．我出发后 小时与乙相遇． 12．(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 13．k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 14．一筐苹果，若分给全班同学每人5个，则还剩下15个；若全班同学一起吃，其中7个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，恰好用若干天吃完，则筐里最多共有 个苹果． 15．如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时， ． 16．已知关于x的方程有三个解，则 . 三、解答题 17．小明在解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘12，由此得到的方程的解是，试求出m的值，并帮助小明求出原方程的解． 18．张先生向商店订购了每件定价为元的某种商品件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件．”商店经理算了下，若减价，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多元，这种商品的成本是多少元？ 19．琪琪准备完成题目：计算：．发现题中有一个数字“”被墨水污染了． (1)琪琪猜测被污染的数字“”是，请计算； (2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于11，请通过计算求出被污染的数字 20．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 21．综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 22．已知一个关于的一元一次方程（，为常数），若这个方程的解恰好为或，则称这个方程为“幸福方程”．例如：的解为，而，则方程是“幸福方程”． (1)下列方程是“幸福方程”的打“”，不是“幸福方程”的打“”； ①（   ）        ②（   ）    ③（   ） (2)若关于的方程是“幸福方程”，求的值； (3)若关于的方程是“幸福方程”，求关于的方程的解． 23．定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$