第2章 简单的代数式（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

第2章 简单的代数式（压轴题专项训练） 一、单选题 1．若有理数，，为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 2．若：，那么的值为（   ） A．7 B．1 C．0 D． 3．对多项式只任意加一个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“减算操作”，例如：，，给出下列说法 ①至少存在一种“减算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“减算操作”，使其结果与原多项式之和为； ③所有的“减算操作”共有种不同的运算结果． 以上说法中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 4．观察下列代数式：，，，，…．按此规律，则第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 5．某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记分，第二名的班级记分，第三名的班级记分（均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则和的值分别为（　　） A．7，4 B．8，5 C．9，5 D．8，4 6．已知：，则的值为（　　） A．124 B．125 C．126 D．127 二、填空题 7．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2024次输出的结果是 ． 8．已知，，且，则 ． 9．已知，，则代数式的值是 ． 10．有一个正方体的六个面上分别标有数字，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 11．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是 ． 12．当x分别取值、、，…，、1、2，…，2019、2020、2021时，求出代数式的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于 ． 13．把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法设第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的三角形个数为，那么 ；（结果用3为底数的幂表示） 14．若，是到的整数，且满足，则 ． 15．已知有理数a，b满足，则的值为 ． 16．如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素.集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合，我们说.已知集合，集合，若，则的值是 . 17．若一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为5，百位数字与十位数字之和也为5，则称它为“丰登数”，请问最小的“丰登数”为 ．将“丰登数”M的前三位数字组成的三位数记为m，它的后三位数字组成的三位数记为n，规定：，若F（M）能被7整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 ． 18．下列说法： ①若，则； ②若，且a，b均为整数，则的最大值为9； ③如图，图中阴影部分的面积为； ④当式子的值最小时，x是．其中正确的是 （填序号） 三、解答题 19．若是大于的整数，是大于的分数，求的值． 20．已知，，且，求的值． 21．请阅读材料： 代数式的值为8，求代数式的值． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ． 所以代数式的值为2． 【方法运用】 (1)若，则代数式的值为______； (2)若代数式的值为5，求代数式的值； (3)已知，的值为最大的负整数，求的值． 22．在数学学习中，运用整体思想方法在求代数式值的过程中非常重要．例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)当，时，代数值的值是6，则当，时，求代数式的值． 23．如果用表示一个三位数，那么这个数百位，十位，个位上的数字分别为x，y，z．已知三位数能被9整除． (1)写出一组满足条件的a，b，c的值； (2)说明三位数能被9整除． 24．图1是年月份的日历，用图所示的“九方格”框住图中的个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为、、、． (1)______（填“>”，“<”或“=”）； (2)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 25．定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；如果，那么就有：如果，那么．例：． (1)则_________，_________． (2)若，且，求的值． (3)若，当，试求代数式的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 简单的代数式（压轴题专项训练） 一、单选题 1．若有理数，，为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：仅由无法直接得出，，的大小关系， 例如当，时，，此时； 当， 时，，此时， 所以选项A和B错误，不符合题意； ， 等式的两边同时乘以6，得 ， 等式的两边同时加上，得 ， 即， 等式的两边同时乘以，得 ． 故选项C正确，符合题意； 去括号得 等式两边减去，得 即 等式两边减去a，得 即 等式的两边同时乘以，得 与原等式不相等， 所以选项D错误，不符合题意； 故选：C． 2．若：，那么的值为（   ） A．7 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：令，则 ① 令，则 ② ① ②得： ③ 令，则 将代入③得： 故选：A． 3．对多项式只任意加一个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“减算操作”，例如：，，给出下列说法 ①至少存在一种“减算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“减算操作”，使其结果与原多项式之和为； ③所有的“减算操作”共有种不同的运算结果． 以上说法中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴①正确； ∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号, ∴②说法正确； 共有种不同的运算结果： 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； ∴③正确； ∴正确的个数为， 故选：． 4．观察下列代数式：，，，，…．按此规律，则第n个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由四个代数式可知，符号变化，； 分母，； 分子1，5，9，13，，； 所以为． 故选D． 【点睛】本题是规律题，逐一找到各部分的变化规律是解题的关键． 5．某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记分，第二名的班级记分，第三名的班级记分（均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则和的值分别为（　　） A．7，4 B．8，5 C．9，5 D．8，4 【答案】B 【详解】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为，则, ∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为, ∴， ∴, ∴. ∵均为正整数， ∴当时, ,则， 当时, ,则,此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为分，不符合题意舍去， 当时, ,则,不满足,舍去， 当时, ,则,不满足,舍去， 综上所得：， 故选：B． 6．已知：，则的值为（　　） A．124 B．125 C．126 D．127 【答案】D 【详解】解：根据已知等式，当，时，代入得： ， ， 故选：D． 二、填空题 7．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第2024次输出的结果是 ． 【答案】 【详解】解：输入， ∵3是奇数， ∴输出． 输入， ∵是偶数， ∴输出， 输入， ∵是奇数， ∴输出． 输入， ∵是偶数， ∴输出， 输入， ∵是奇数， ∴输出． 输入， ∵是偶数， ∴输出， 输入， ∵是偶数， ∴输出 输入， ∵是偶数， ∴输出． 输入， ∵是奇数， ∴输出， 依次类推，输出的结果分别以、、、、、循环． ∴． 故第次输出的结果是． 故答案为：． 8．已知，，且，则 ． 【答案】4或 【详解】解：∵， ∴，即或， ∵， ∴， ∵， ∴m与n同号，则可取或， ∴或， 故答案为：4或． 9．已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 10．有一个正方体的六个面上分别标有数字，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， 与相邻的面的数字有， ∴的对面数字是， ∴的对面数字是， ∵标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，中间正方形的两个数分别为，， ∵该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．当x分别取值、、，…，、1、2，…，2019、2020、2021时，求出代数式的值，然后将所求得的这些结果相加，其和等于 ． 【答案】//2020.5 【详解】解：因为将一对倒数代入代数求和得，即当x分别取值，为正整数时，计算所得的代数式的值之和为1；而当时，． 所以，当x分别取值、、，…，、1、2，…，2019、2020、2021时， 计算所得各代数式的值之和为2020个1的和再加上即是． 故答案为． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为1，观察数据特征，找出各数据代入代数式求值后的关系是解题的关键． 13．把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法设第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的三角形个数为，那么 ；（结果用3为底数的幂表示） 【答案】 【详解】解：第一次挖去后剩下的三角形的个数为：3， 第二次挖去后剩下的三角形的个数为：， 第三次挖去后剩下的三角形的个数为：， 第四次挖去后剩下的三角形的个数为：， ， 第次挖去后剩下的三角形的个数为：， ∴第99次挖去后剩下的三角形个数为，第100次挖去后剩下的，三角形个数为， ∴， 故答案为：． 14．若，是到的整数，且满足，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，； 当时，（不符合题意，舍去）； …… 随着值的增大，会越来越大，不符合题意， 要满足，且，是到的整数， ，， ． 故答案为：． 15．已知有理数a，b满足，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴异号， 当时，则， ，即，与题设矛盾， 当时，则， ，即， ∴． 故答案为：． 16．如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素.集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合，我们说.已知集合，集合，若，则的值是 . 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，，或，，， ∴（舍去）或， ∴， 故答案为：． 17．若一个四位自然数，满足千位数字与个位数字之和为5，百位数字与十位数字之和也为5，则称它为“丰登数”，请问最小的“丰登数”为 ．将“丰登数”M的前三位数字组成的三位数记为m，它的后三位数字组成的三位数记为n，规定：，若F（M）能被7整除，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 1054 4266 【详解】设“丰登数”（，，，）， 当千位和百位最小时时“丰登数”最小， ∴， 则， ∴最小的“丰登数”为： 故答案为：1054； ∵， ∴， ∴， ∵F（M）能被7整除， ∴能被7整除， ∴能被7整除， ∴当时，最大， 当时，最小， ∴． 故答案为：4266． 18．下列说法： ①若，则； ②若，且a，b均为整数，则的最大值为9； ③如图，图中阴影部分的面积为； ④当式子的值最小时，x是．其中正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【详解】解：∵， ∴， ∴均为正数，或一个正数和两个负数， 当均为正数时，则； 当中一个正数和两个负数时，不妨设， 则， 综上，的值为3或，则说法①错误； ∵，且均为整数， ∴要使最大，则均为负整数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，若，且均为整数，则的最大值为9，说法②正确； 图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去右边小长方形的面积， 所以图中阴影部分的面积为，说法③正确； ∵， ∴， 则当式子的值最小时，，即，说法④正确； 综上，正确的是②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题 19．若是大于的整数，是大于的分数，求的值． 【答案】64 【详解】解：原式 ； 因为是大于的整数，是大于的分数， 所以， 所以 ． 20．已知，，且，求的值． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，． 综上，的值为或． 21．请阅读材料： 代数式的值为8，求代数式的值． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ． 所以代数式的值为2． 【方法运用】 (1)若，则代数式的值为______； (2)若代数式的值为5，求代数式的值； (3)已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】(1)4 (2)0 (3)19 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意，得：， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， 又∵， ∴ ． 22．在数学学习中，运用整体思想方法在求代数式值的过程中非常重要．例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)当，时，代数值的值是6，则当，时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：若，则； （2）解：将，代入， 得：， ，即， 当，时， ． 23．如果用表示一个三位数，那么这个数百位，十位，个位上的数字分别为x，y，z．已知三位数能被9整除． (1)写出一组满足条件的a，b，c的值； (2)说明三位数能被9整除． 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴，，（答案不唯一）． （2）解：由题意可知，． ∵能被9整除，设（k为正整数）． ∴． ∴能被9整除． 由题意可知，． ∵，能被9整除， ∴能被9整除． 24．图1是年月份的日历，用图所示的“九方格”框住图中的个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为、、、． (1)______（填“>”，“<”或“=”）； (2)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)代数式的值是定值，其定值为 【详解】（1）解：设（为正整数），则，，， 则：，， ， 故答案为：； （2）代数式的值是定值，理由如下： 设（为正整数），则，，， 为定值， 的值为定值，其定值为． 25．定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；如果，那么就有：如果，那么．例：． (1)则_________，_________． (2)若，且，求的值． (3)若，当，试求代数式的值． 【答案】(1)，0 (2)0或 (3)代数式的值为 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 或， 解得或， ，且 ， 解得， 当，时，； 当，时，， 或， （3）解：由题意，，且， 可分两种情形： ①当，时， ，， ， ； 原式； ②当，时；． ， ； 原式． 综上所述：代数式的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$