精品解析：天津市宝坻区第一中学2024-2025学年高一下学期第二次统练数学试题

宝坻一中2024-2025学年度第二学期高一年级 第二次统练数学卷 一、选择题（每小题5分，共计45分） 1. 设向量且，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系列方程求解的值，再根据向量平行的坐标关系列方程求解的值，从而得所求. 【详解】因为向量， 所以，则， 又，， 所以，解得， 所以. 故选：D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，得，再结合复数的除法运算，即可求解. 【详解】由题意知，，则. 故选：D. 3. 已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】根据空间中各要素的位置关系，充分与必要条件的概念，即可求解． 【解答】因为两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足， 所以若，时，则，又，所以，即充分性成立； 若，，，则或， 则或m与n相交或异面，即必要性不成立， 所以“”是““的充分非必要条件． 故选：B． 4. 已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若，，则该三角形的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化简得，再根据三角形内角关系结合恒等变换最终求得角的大小，从而得外接圆的半径，即可得所求. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 则， 所以， 整理得， 所以， 因为，所以， 故，即， 则该三角形的外接圆的半径，所以外接圆的面积为. 故选：B. 5. 已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设确定圆台上下底面半径及高，再应用圆台的体积公式求体积. 【详解】由题设，圆台上下底面半径分别为，高， 所以圆台的体积. 故选：C 6. 如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 7. 如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在内的频数为（ ） A. 68 B. 170 C. 204 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据频率分布直方图计算样本数据落在内的频率，再计算频数即可. 【详解】样本数据落在内的频率为， 所以样本数据落在内的频数为， 故选：C 8. 如图,在正方体中,对于以下三个命题: ①直线与直线所成角的大小为; ②直线与平面所成角大小为 ; ③直线与平面所成角大小为 . 其中真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据异面直线所成的角，线面角对三个命题进行判断，从而得到答案. 【详解】在正方体中， 且， 所以为平行四边形， 所以 所以直线与直线所成角等于直线与直线 所成角， 即， 而是正方体的面对角线，所以相等， 所以为等边三角形，故， 故①正确. 在正方体中， 平面， 所以直线与平面所成角为 ， 故②错误. 连接交于，则， 在正方体中， 平面， 所以， 平面， ， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在直角三角形中，， 所以 所以直线与平面所成角大小为 . 故③正确. 故选：C. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，属于中档题. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题中错误的是（ ） A. 直线和平面所成的角为定值 B. 点到平面的距离为定值 C. 异面直线和所成的角为定值 D. 直线和平面平行 【答案】A 【解析】 【分析】逐个进行分析，对点取特殊点可得A正误，根据线面平行可知B的正误，依据线面垂直可知C的正误，然后利用线面平行可知D的正误. 【详解】对A，由平面，当点分别在点或时，线面角不一致，故A错误； 对B，由//,平面,平面,所以//平面， 所以点到平面的距离为直线上任意点到平面的距离，故B正确 对C，由平面即平面,,, 平面，所以平面，所以，故C正确 对D，由平面即平面，//，平面， 平面，所以//平面，所以D正确 故选：A 二、填空题（每小题5分，共计30分） 10. 已知复数是纯虚数，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义求参数值即可. 【详解】由题意知，解得. 故答案为：2 11. 四边形为菱形，其中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 12. 在中，，，，现以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得是以为直角直角三角形，可得以所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，据此计算可求几何体的表面积． 【详解】因为在中，， 所以， 所以是以为直角的直角三角形， 故以所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥， 所以圆锥的底面半径为4，母线长为5，所以底面周长为， 侧面积为，所以几何体的表面积为． 故答案为：. 13. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，直角边，得斜边， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故答案为：. 14. 已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱的外接球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出外接圆的半径，设直三棱柱外接球的半径为，则，即可求出，再根据球的体积公式计算可得. 【详解】因为，，所以， 设外接圆的半径为，则， 又直三棱柱的高，设直三棱柱外接球的半径为， 则，即，解得， 所以外接球的体积. 故答案为： 15. 中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为______； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为______. 【答案】 ①. 4； ②. 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得，即可根据投影向量的定义求解（1），根据重心的性质，结合基底表达，即可根据向量的数量积运算律，结合基本不等式求解（2）即可. 【详解】（1）因为，所以， 解得，则，结合，解得， 由投影向量公式得在向量上的投影向量为， 故向量在向量上的投影向量的模为， （2）如图，根据题意可知为的重心，故， 又为线段上靠近的三等分点，故, 因此， ， ， 由（1）知，故， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为. 故答案为：4， 三、简答题（16题9分，17题12分，18题12分，19题12分） 16. 已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出，即可求出、，再由两角和的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，由正弦定理， 则. 【小问3详解】 由，所以，所以为锐角，故， 所以， 所以， 所以 . 17. 如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. （1）求正三棱柱的表面积； （2）求证：平面平面； （3）求证：直线平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据多面体表面积的求法求解. （2）证明出线面垂直，从而证明面面垂直； （3）证明出，从而证明出线面平行. 【小问1详解】 正三棱柱的侧面积为：，底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. 小问2详解】 如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问3详解】 连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 18. 某校高二年级500名学生的学考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，. （1）求图中a的值； （2）估计这500名学生的这次考试数学成绩的中位数，第80百分位数； （3）估计这500名学生的这次考试数学成绩的平均数. 【答案】（1）0.0050 （2）90，122 （3）94 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列方程可求出的值. （2）计算中位数及第80百分位数所在的区间，利用中位数和百分位数的定义建立等量关系可计算出结果. （3）根据平均数的概念列式计算可得结果. 【小问1详解】 根据频率之和为1可得，， 解得. 【小问2详解】 ∵成绩在区间内的频率为：， ∴估计这500名学生的这次考试数学成绩的中位数为90. ∵成绩在区间内的频率为：， 成绩在区间内的频率为：， ∴第80百分位数在区间内，设第80百分位数为， 则，解得， 综上得，中位数为90，第80百分位数为. 【小问3详解】 设这500名学生的这次考试数学成绩的平均数为， 则. 19. 如图，在三棱锥中，三角形是边长为2的正三角形，，为中点． （1）求证：； （2）若二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）根据题意可得为二面角的平面角，利用线面垂直的判定定理可证平面，进而得到为直线与平面所成角，求解的正弦值即可. 【小问1详解】 证明：取中点，连接， 因为正三角形，为中点，所以， 因为分别为中点，所以，因为，所以， 因，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 因为，，所以为二面角的平面角，， 过作的垂线交于，连接， 因为平面，平面，所以，又， ，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为三角形是边长为2正三角形，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻一中2024-2025学年度第二学期高一年级 第二次统练数学卷 一、选择题（每小题5分，共计45分） 1. 设向量且，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若，，则该三角形的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某圆台侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在内的频数为（ ） A. 68 B. 170 C. 204 D. 240 8. 如图,在正方体中,对于以下三个命题: ①直线与直线所成角的大小为; ②直线与平面所成角大小为 ; ③直线与平面所成角大小为 . 其中真命题的个数是 A. 0 B. 1 C 2 D. 3 9. 如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题中错误的是（ ） A. 直线和平面所成的角为定值 B. 点到平面距离为定值 C. 异面直线和所成的角为定值 D. 直线和平面平行 二、填空题（每小题5分，共计30分） 10. 已知复数是纯虚数，则_____． 11. 四边形为菱形，其中，，则__________. 12. 在中，，，，现以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积为______________. 13. 如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，直角边，则原图形的面积是__________. 14. 已知直三棱柱高为，，，则该三棱柱的外接球的体积为________． 15. 在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为______； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为______. 三、简答题（16题9分，17题12分，18题12分，19题12分） 16. 已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求值. 17. 如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. （1）求正三棱柱的表面积； （2）求证：平面平面； （3）求证：直线平面. 18. 某校高二年级500名学生的学考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，. （1）求图中a的值； （2）估计这500名学生的这次考试数学成绩的中位数，第80百分位数； （3）估计这500名学生的这次考试数学成绩的平均数. 19. 如图，在三棱锥中，三角形是边长为2的正三角形，，为中点． （1）求证：； （2）若二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $