14.2立方根（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

14.2立方根 （7大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 求代数式的立方根 题型四 已知一个数的立方根，求这个数 题型五 由立方根的概念解方程 题型六 由立方根求式子的值 题型七 立方根的实际应用 能力提升题 题型一 立方根与数轴的综合 题型二 立方根、平方根综合运算求值 题型三 立方根的规律探究 题型一 立方根概念理解 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 2．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 4．下列说法正确的是（   ） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D． 的立方根为3 5．要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 6．下列说法错误的是（   ） A．相反数等于本身的数只有0 B．平方后等于本身的数只有0，1 C．立方后等于本身的数是0， D．绝对值等于本身的数只有0，1 题型二 求一个数的立方根 7．计算：（　　） A． B．3 C． D． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．的立方根是（    ） A． B． C． D． 10．求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 11．求下列各数的立方根． (1)； (2)． 题型三 求代数式的立方根 12.若某自然数的立方根为，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（    ） A． B． C． D． 13.已知与互为相反数，则与的积的立方根为（    ） A．4 B． C．8 D． 14.若实数a，b满足，则的立方根为 ． 15．已知的平方根为，的立方根为2，求的立方根． 题型四 已知一个数的立方根，求这个数 16．是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 17．若，则（   ） A．1 B． C． D．0 18．已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 19．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 20．若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 题型五 由立方根的概念解方程 21．若，则x的值是（   ） A． B．2 C． D． 22．利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 23．求下列各式中的x的值： (1)． (2)． 24．求下列各式中x的值． (1)； (2) 25．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 题型六 由立方根求式子的值 26．若 与 互为相反数，且，求 的值． 27．先化简，再求值：，其中 28．已知的平方根为，的立方根为b．求的值． 29．已知的算术平方根是3，y是8的立方根，且与互为相反数，求的值． 30．已知，，求的值． 题型七 立方根的实际应用 31．如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 32．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 33．王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 34．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 35．根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 36．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． ． 题型一 立方根与数轴的综合 37.数轴上表示的点一定在（    ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 38.一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 39.实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为 ． 40.如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 题型二 立方根、平方根综合 41．已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 42．若是的算术平方根，是的立方根，求a与b的值． 43．一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 44．已知是的算术平方根，是的立方根，将关于的多项式分解因式． 45．小颖和小聪对话如下： 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 46．已知的立方根是，的算术平方根是3，满足． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 47．已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 题型三 立方根的规律探究 48．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 49．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 50．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 51．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 52．观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 53．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 54．本学期第七章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写表格： 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ； （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ① ； ② ； ③ ； 【拓展应用】______． 55．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2立方根 （7大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 立方根概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 求代数式的立方根 题型四 已知一个数的立方根，求这个数 题型五 由立方根的概念解方程 题型六 由立方根求式子的值 题型七 立方根的实际应用 能力提升题 题型一 立方根与数轴的综合 题型二 立方根、平方根综合运算求值 题型三 立方根的规律探究 题型一 立方根概念理解 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 2．“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：13的立方根是， 故选：D． 3．已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的立方根， 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D． 的立方根为3 【答案】B 【分析】此题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念．根据平方根和立方根的概念求解即可． 【详解】解：A．立方根等于本身的数有，，故选项错误，不符合题意； B．负数没有平方根，但有立方根，故选项正确，符合题意； C．25的平方根为，故选项错误，不符合题意； D．的立方根不是3，的立方根为，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 5．要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：要使成立，则为任意数，即a为任意数， 故选：D． 6．下列说法错误的是（   ） A．相反数等于本身的数只有0 B．平方后等于本身的数只有0，1 C．立方后等于本身的数是0， D．绝对值等于本身的数只有0，1 【答案】D 【分析】本题考查相反数，有理数的乘方运算和绝对值的意义；根据相反数的定义：两数之和为0，两数互为相反数；有理数的乘方运算；绝对值的意义；逐一进行判断即可． 【详解】A. 相反数等于本身的数只有0，A选项正确； B. 平方后等于本身的数只有0，1 ，B选项正确； C. 立方后等于本身的数是0， ，C选项正确； D. 绝对值等于本身的数是非负数，D选项不正确． 故选：D． 题型二 求一个数的立方根 7．计算：（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了求一个数的立方根．根据立方根的定义进行解答即可． 【详解】解： 故选：C 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根，根据立方根的定义求出每个选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 9．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键． 首先计算，然后根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：， 12的立方根是． 故选：B． 10．求下列各数的立方根： (1)1000； (2)； (3)； (4)0.008． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是立方根的计算，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果，那么x叫做a的立方根． （1）根据立方根的概念计算即可； （2）根据立方根的概念计算即可； （3）根据立方根的概念计算即可； （4）根据立方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以1000的立方根是10，即． （2）解：因为， 所以的立方根是，即． （3）解：因为， 所以的立方根是，即． （4）解：因为， 所以0.008的立方根是0.2，即． 11．求下列各数的立方根． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的性质和概念，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据，再结合立方根的知识进行作答，即可求解； （2）根据，再结合立方根的知识进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴的立方根为， 即； （2）解：∵， ∴的立方根为， 即． 题型三 求代数式的立方根 12.若某自然数的立方根为，则它前面与其相邻的自然数的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出该自然数，再求出与其相邻的自然数的立方根即可． 【详解】解：∵某自然数的立方根为， ∴该自然为， ∴它前面与其相邻的自然数的立方根是； 故选C． 【点睛】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握立方根的定义：一个数的立方为，则叫做的立方根，是解题的关键． 13.已知与互为相反数，则与的积的立方根为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，算术平方根的非负性，立方根．熟练掌握的立方根为是解题的关键． 由题意知，，即，解得，根据与的积的立方根为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得， ∴， ∴与的积的立方根为， 故选：B． 14.若实数a，b满足，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、绝对值的非负性及立方根，根据算术平方根，绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算求立方根即可． 【详解】解：∵，而， ， 即， ． ∴的立方根为， 故答案为：． 15．已知的平方根为，的立方根为2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了已知立方根求这个数，已知平方根求这个数，求立方根，依题意，列式，，解得，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根为 ∴， 解得：， ∵的立方根为2 ∴， 解得：， ∴． 题型四 已知一个数的立方根，求这个数 16．是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 是的立方根， 故选：D． 17．若，则（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的概念，熟练掌握立方根的概念是解决本题的关键． 根据立方根的概念，若三次根号下的数等于1，则该数为1的三次方，由此可解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A ． 18．已知，则的值为（   ） A．9 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根的定义得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 19．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 20．若，则的值是（   ） A．12 B．12或4 C．12或 D．或4 【答案】B 【分析】本题考查了平方根与立方根，求代数式的值，根据平方根与立方根的概念求出a与b的值是解题的关键；由可求得，再代入求值即可． 【详解】解：∴， ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值是12或4； 故选：B． 题型五 由立方根的概念解方程 21．若，则x的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程，根据立方根的性质求解即可． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 22．利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的运算，熟练掌握平方根和立方根的运算法则是解题的关键； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可 【详解】（1）解： （2）解： 23．求下列各式中的x的值： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 24．求下列各式中x的值． (1)； (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴． 25．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用立方根解方程； （1）利用立方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【详解】（1）解： ， ． （2）解： ， ， ． 题型六 由立方根求式子的值 26．若 与 互为相反数，且，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查相反数，立方根的性质，代数式求值． 根据互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数，得到两个被开方数互为相反数，再根据互为相反数的和为零可得式子，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵若 与 互为相反数， ∴与互为相反数， ， 则， 所以 ． 27．先化简，再求值：，其中 【答案】;6 【分析】本题考查了整式乘法、分式混合运算及零指数幂、立方根的计算，解题的关键是正确化简代数式并代入求值． 先计算a的值；再化简整式与分式部分，合并后代入的值计算． 【详解】解：． 代入：原式． 28．已知的平方根为，的立方根为b．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，立方根．根据平方根，立方根的意义可得，，从而可得：，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为b， ∴，， 解得：， ∴． 29．已知的算术平方根是3，y是8的立方根，且与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义，代入求值，根据题意得到，，，求出x，y，z的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：由题可得，，， 解得，，， ∴． 30．已知，，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了开平方，开立方，解题关键是掌握开平方，开立方． 先用开平方，开立方，分别求出，，再代入求值． 【详解】解：∵， ∴，解得：或， ∵， ∴，解得：， 当，时，； 当，时，． 题型七 立方根的实际应用 31．如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 32．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式，代入已知体积求解半径。 【详解】解：设球的半径为r代入公式： ． 两边同时除以， 得． 对216开立方， 得 ． 因此，皮球的半径为． 故选：A． 33．王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 34．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯内部的底面半径为，那么正方体的棱长是多少毫米？（取，结果取整数．） 【答案】正方体的棱长约为 【分析】本题考查立方根的实际应用、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答的前提．根据题意可得底面半径，高为 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱长． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，，即， ∵， ∴； 答：正方体的棱长约为． 35．根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 【答案】(1)魔方的棱长为 (2) 【分析】本题考查立方根的应用，解决本题的关键是熟记立方根的定义． （1）设魔方的棱长为．根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答． 【详解】（1）设魔方的棱长为． 由题意，得， 解得， 所以魔方的棱长为． （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为， 由题意，得， 解得， 所以长方体纸盒的长为． 36．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． ． 题型一 立方根与数轴的综合 37.数轴上表示的点一定在（    ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】B 【分析】根据立方根的性质将进行化简计算，再判断在数轴的位置即可． 【详解】， 在数轴上的第②段， 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根的性质及利用数轴表示数，熟练掌握知识点是解题的关键． 38.一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的概念,根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，得出表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可． 【详解】一个正数x的两个不同的平方根分别是和， ，， 解得， ， ， ，即， 故选：B． 39.实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为 ． 【答案】/ 【分析】 先通过数轴表示确定，的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算． 【详解】 解：由题意得，，且， ，， ， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 40.如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长为4，根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长，根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数． 【详解】解：∵， ∴这个魔方的棱长为4， ∴小正方体的棱长为2， ∴阴影部分的面积为：， ∴小正方形的边长为：， ∴点D在数轴上表示的数为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是立方根、平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 题型二 立方根、平方根综合 41．已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根和平方根的定义，需注意平方根的结果有正负但平方后均为非负数．解题关键在于正确建立方程并代入求解，最后通过算术平方根的定义得出结果．首先根据立方根的定义解出x的值，再利用平方根的定义建立方程解出y的值．最后代入求出的算术平方根． 【详解】解：实数的立方根是，根据立方根定义可得： ，解得：， 又的平方根是，根据平方根定义可得： ，将代入上式： ，化简得：， 解得：， 将和代入表达式： ， 的算术平方根为． 42．若是的算术平方根，是的立方根，求a与b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，熟记定义并利用根指数列出方程是解题的关键． 根据算术平方根和立方根的定义，利用根指数列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，，，且, 解得：，． 43．一个正数的两个平方根分别是和；且． (1)求； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据平方根的性质可得，即得，进而根据平方根的定义可求出的值，再根据立方根的定义可求出的值； （）根据（）的结果求出，再根据平方根的定义解答即可； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， 代入， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 44．已知是的算术平方根，是的立方根，将关于的多项式分解因式． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，解二元一次方程组，分解因式，根据立方根和算术平方根的定义可得方程组，解方程组得到，再把代入所求式子中并利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 解得：， 当时，． 45．小颖和小聪对话如下： 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，先根据一个正数的平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据立方根的定义列出关于n的方程，解方程求出n，然后求出，进而求出它的算术平方根即可． 【详解】解：∵这个正数的两个平方根是和， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴ ， ∴的算术平方根是12． 46．已知的立方根是，的算术平方根是3，满足． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了平方根和立方根，绝对值． （1）运用平方根和立方根知识得关于，的方程组，根据绝对值的性质得关于的方程，解方程即可； （2）将，，的值代入后，运用平方根知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∵满足， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：由（1）所得，，， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 47．已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的概念，是解题的关键： （1）根据平方根的性质，立方根的定义，进行求解，利用平方根解方程即可； （2）根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴当时， 当时，， ∴的算术平方根为或． 题型三 立方根的规律探究 48．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 49．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 50．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 51．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 52．观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 53．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 54．本学期第七章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写表格： 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ； （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ① ； ② ； ③ ； 【拓展应用】______． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根；（2），，0，没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；拓展应用： 【分析】本题考查类比探究类问题，类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：根据四次方根的定义求解即可． 【详解】解：类比探索： （1）填写表格： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根． 故答案为：，，；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根． （2）根据列表可得： ①1的四次方根是； ②16的四次方根是； ③ 0的四次方根是0； ④没有四次方根． 根据平方根的性质归纳如下： ①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； ②0的四次方根是0； ③负数没有四次方根； 故答案为：，，0，没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0，负数没有四次方根． 拓展应用： ； 故答案为：． 55．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$