19.1平方根与立方根（第3课时立方根）（题型专练）数学沪教版五四制2024八年级上册

19.1 平方根与立方根（第3课时 立方根） 题型一、立方根概念理解 1．下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误． 【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确； B. 的立方根是；故正确； C. 的立方根是；故正确； D. 125的立方根是；故错误； 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根及算术平方根的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】A中， ，的平方根是，而非，故A错误； B中，负数有立方根，如的立方根是，故B错误； C中，的立方根是（因），而非，故C错误； D中，，的算术平方根是，故D正确； 故选：D． 3．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题． 【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意； 选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意； 选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意； 选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 4．若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，先根据立方根和算术平方根的定义得出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的算术平方根， ∴，， ∴， 故选：D． 题型二、求一个数的立方根 5．计算：的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，根据立方根定义求出结果即可． 【详解】解：， 故答案为：﹣3． 6．的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，8的立方根是， ∴的立方根是2． 故答案为：2． 7．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂，求一个数的立方根，由负指数幂求出，由立方根的定义，即可求解；掌握“（）；若，则叫做的立方根，．”是解题的关键． 【详解】解：， ， 的立方根是， 故答案为：． 8．如果  ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了立方根和乘方，先根据立方根和乘方法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 题型三、解立方根方程 10．方程的根是 ． 【答案】5 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：方程即为， 所以； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了利用立方根解方程，熟知立方根的概念是解题的关键． 11．解方程：，则 ． 【答案】 【分析】先整理，然后再求的立方根，进而可得的值． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 12．利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的运算，熟练掌握平方根和立方根的运算法则是解题的关键； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可 【详解】（1）解： （2）解： 13．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程． （1）移项，利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴ 解得： 题型一、立方根的规律探究题 14．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根求值，根据题中条件，将，运用立方根性质求解即可得到答案．熟记立方根定义与求法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：， ∴. 故答案为： 【点睛】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 16．如果，，那么约等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据被开方数的小数点每向右（左）移动三位，其立方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 17．已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝ ． 【答案】﹣3780 【分析】由题意依据当被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点向相同方向移动一位，因为15.58是1.558的小数点向右移动了1位，由此求出y． 【详解】解：∵≈1.558，≈﹣15.58， ∴y＝﹣3780． 故答案为：﹣3780． 【点睛】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位． 题型二、立方根的实际应用 18．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 19．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式，代入已知体积求解半径。 【详解】解：设球的半径为r代入公式： ． 两边同时除以， 得． 对216开立方， 得 ． 因此，皮球的半径为． 故选：A． 20．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据正方体的体积公式结合立方根定义，求出正方体蓄水池的棱长即可． 【详解】解：∵正方体蓄水池容积为， ∴正方体蓄水池的棱长为． 故答案为：5． 21．师傅打算把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的实际应用，先求出长方体铁块的体积，即得正方体铁块的体积，再根据立方根的定义即可求出立方体铁块的棱长，理解题意是解题的关键． 【详解】解：长方体铁块的体积为， ∵长方体铁块锻造成一个立方体铁块， ∴正方体铁块的体积为， ∴立方体铁块的棱长是， 故答案为：． 22．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【详解】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 23．（1）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？（球的体积公式，） （2）一个正数有两个不相等的平方根分别是和，求和的值． 【答案】（1）9分米；（2）； 【分析】本题考查了立方根的应用，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得，再解得（分米）； （2）因为一个正数有两个不相等的平方根分别是和，故，解得，再求出的值，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴， ∴， ∴（分米）； 答：这种球形容器的半径是9分米； （2）∵一个正数有两个不相等的平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型三、已知一个数的立方根，求这个数 24．已知，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 25．已知的平方根是，的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据题意求出值，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ； 的立方根是， ， ； ； 故答案为：． 26．已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根的计算，熟练掌握立方根以及算术平方根的定义是解题的关键．本题根据立方根和算术平方根的定义可得关于和的方程进行求解即可． 【详解】解：的立方根是， ， 的算术平方根是4， ， 解得，， 的值是. 故答案为：. 27．若一个数的平方根为，另一个数的立方根是，则这两个数的和是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出这两个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴这两个数分别为9，， ∴这两个数的和为， 故答案为：1． 28．若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根有关计算，根据题意得出，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴， 故答案为：1． 题型四、数的开方综合 29．已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 30．已知的立方根是，的算术平方根是2，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根定义，代数式求值，解题的关键是根据立方根定义和算术平方根定义求出，． 根据立方根定义和算术平方根定义求出，，然后求出结果即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 又∵的算术平方根是2， ∴， ∴， 解得， ∴． 31．已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 32．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，掌握以上定义是解题的关键． （）根据立方根和算术平方根的定义可得，，解方程即可求解； （）由（）求出的值，进而根据平方根的定义解答即可； 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 33．（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 【答案】（1）    （2）或 【分析】本题考查了相反数的应用，算术平方根、立方根的性质和代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据相反数的定义得到，再根据算术平方根的性质得到，，进而求得、的值，最后将、的值代入即可得解； （2）由得，再根据相反数的定义得，进而得到，再分情况把、的值代入即可得解． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ，， ，， ； （2）， ， 与互为相反数， ， ，即， 当时，，， 当时，，， 综上，代数式的值为或． 1．定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是 ； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查立方根，解一元一次不等式，根据新定义得出式子是解题的关键： （1）由新运算的定义得出，再根据立方根得出答案； （2）由新运算的定义得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：（1）由新运算的定义知：， 把，代入，得， 所以8的立方根是2， 故答案为：2； （2）因为，， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：． 2．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 3．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.1 平方根与立方根（第3课时 立方根） 题型一、立方根概念理解 1．下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 2．下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 3．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 题型二、求一个数的立方根 5．计算：的结果等于 ． 6．的立方根是 ． 7．的立方根是 ． 8．如果  ，那么 ． 9．计算： ． 题型三、解立方根方程 10．方程的根是 ． 11．解方程：，则 ． 12．利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 13．求下列各式中的值： (1) (2) 题型一、立方根的规律探究题 14．已知，则 ． 15．若，，则 ． 16．如果，，那么约等于（　　） A． B． C． D． 17．已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝ ． 题型二、立方根的实际应用 18．如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 19．我们知道，球的体积公式是，若某种型号的皮球的体积为，则这个皮球的半径为（    ） A． B． C． D． 20．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ． 21．师傅打算把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是 ． 22．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 23．（1）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？（球的体积公式，） （2）一个正数有两个不相等的平方根分别是和，求和的值． 题型三、已知一个数的立方根，求这个数 24．已知，则的值为 ． 25．已知的平方根是，的立方根是，则 ． 26．已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 27．若一个数的平方根为，另一个数的立方根是，则这两个数的和是 ． 28．若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 题型四、数的开方综合 29．已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 30．已知的立方根是，的算术平方根是2，求的值． 31．已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 32．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 33．（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 1．[新定义]定义新运算“⊕”，对于任意实数a，b都有． （1）若，，则的立方根是 ； （2）若不等式成立，则该不等式的解集是 ． 2．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 3．[新趋势·归纳探究]小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$