5.2二次函数的图像和性质（第4课时y=ax2+bx+c(a≠0)）（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 5.2.4 二次函数的图像 和性质—y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 第五章 二次函数 章节导读 5.2.4 二次函数的图像 和性质—y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 学 习 目 标 1 2 能用配方法把二次函数的一般式y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )转化成顶点式y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 ) 能根据二次函数的一般式描述函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等 知识回顾 1. 如何平移y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像得到y = a( x - h)2 + k ( a ≠ 0 )的图像？ 解：向右平移h个单位，向上平移k个单位。 2. 请描述y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 )的图像和性质。 解：当a > 0时，图像开口向上，顶点坐标为：( h，k )，对称轴为：x = h， 抛物线先减后增，当x = h时，函数有最小值k； 当a < 0时，图像开口向下，顶点坐标为：( h，k )，对称轴为：x = h， 抛物线先增后减，当x = h时，函数有最大值k。 新知探究 思 考 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像能否由y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像平移得到？ ∵y = 2x2向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， 即可得到y = ( x - 2 )2 + 1； ∴y = 2x2向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度， 即可得到y = x2 - 4x + 5。 【举例】y = x2 - 4x + 5 配方得：y = x2 - 4x + 4 + 1 = ( x - 2 )2 + 1。 【猜想】y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像能由y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像平移得到。 新知探究 【验证】将一般式y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )通过配方法转化成顶点式y = a( x - h )2 + k ( a ≠ 0 )。 解：y = a( x2 + x ) + c = a[ x2 + x + ( )2 - ( )2 ] + c = a( x + )2 - + c = a( x + )2 + 。 新知探究 y = ax2 向左平移个单位长度 向上平移个单位长度 y = a( x + )2 + y = ax2 + bx + c = a( x + )2 + 新知探究 一般式化为顶点式： y = ax2 + bx + c = a( x + )2 + ( a ≠ 0 )。 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像是由y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像 向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到。 知识要点 典例分析 典例1 将y = x2 - 6x + 21转化为顶点式。 解：y = ( x2 - 12x ) + 21 = ( x2 - 12x + 36 - 36 ) + 21 = ( x - 6 )2 - 18 + 21 = ( x - 6 )2 + 3。 方法技巧 解题关键： 熟练使用配方法。 典例分析 典例2 y = x2 - 6x + 21的图像是由y = x2的图像怎样变换得到？ 解：∵y = x2 - 6x + 21= ( x - 6 )2 + 3， ∴y = x2 - 6x + 21的图像是由y = x2的图像 向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度得到。 方法技巧 解题关键： ① 将一般式化为顶点式； ② 牢记平移口诀。 典例分析 典例3 请描述y = x2 - 6x + 21的图像和性质。 解：y = x2 - 6x + 21 = ( x - 6 )2 + 3， 图像开口向上， 顶点坐标为：( 6，3 )， 对称轴为：直线x = 6， 当x < 6时，y随x增大而减小， 当x > 6时，y随x增大而增大， 当x = 6时，函数有最小值3。 新知探究 知识要点 a的正负 图像 开口 顶点坐标 对称轴 增减性 a > 0 向上 ( -， ) 直线 x = - 当x < -时，y随x增大而减小 当x > -时，y随x增大而增大 当x = -时，y取最小值 a < 0 向下 当x < -时，y随x增大而增大 当x > -时，y随x增大而减小 当x = -时，y取最大值 二次函数y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像和性质： 题型探究 【例1】用配方法把下列函数写成y = a( x - h )2 + k的形式，并画出函数图像，写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。 ( 1 ) y = x2 + 6x + 1； ( 2 ) y = 2x2 + 8x - 8； ( 3 ) y = -3x2 - 6x + 1。 一般式化为顶点式 题型一 题型探究 【例1】( 1 ) y = x2 + 6x + 1； 一般式化为顶点式 题型一 解：( 1 ) y = ( x2 + 6x + 9 - 9 ) + 1 = ( x + 3)2 - 9 + 1 = ( x + 3 )2 - 8； 图像开口向上， 顶点坐标为：( -3，-8 )， 对称轴为：直线x = -3， 当x < -3时，y随x增大而减小， 当x > -3时，y随x增大而增大， 当x = -3时，函数有最小值-8。 题型探究 【例1】( 2 ) y = 2x2 + 8x - 8； 一般式化为顶点式 题型一 ( 2 ) y = 2 ( x2 + 4x + 4 - 4 ) - 8 = 2 ( x + 2 )2 - 8 - 8 = 2 ( x + 2 )2 - 16； 图像开口向上， 顶点坐标为：( -2，-16 )， 对称轴为：直线x = -2， 当x < -2时，y随x增大而减小， 当x > -2时，y随x增大而增大， 当x = -2时，函数有最小值-16。 题型探究 【例1】( 3 ) y = -3x2 - 6x + 1。 一般式化为顶点式 题型一 ( 3 ) y = -3 ( x2 + 2x + 1 - 1 ) + 1 = -3 ( x + 1 )2 + 3 + 1 = -3 ( x + 1 )2 + 4； 图像开口向下， 顶点坐标为：( -1，4 )， 对称轴为：直线x = -1， 当x < -1时，y随x增大而增大， 当x > -1时，y随x增大而减小， 当x = -1时，函数有最大值4。 题型探究 【例2】 ( 1 ) 抛物线y = x2 - 2x + 3对称轴为（　　） A. 直线x = -1 B. 直线x = -2 C. 直线x = 1 D. 直线x = 2 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的对称轴 题型二 C 解：【法一：配方法】 ∵y = x2 - 2x + 3 = ( x - 1 )2 + 2， ∴对称轴为直线x = 1。 【法二：公式法】 ∵a = 1，b = -2， ∴对称轴为直线x = - = 1。 公式法更简单 题型探究 【例2】 ( 2 ) 若二次函数y = 2x2 - ax - a + 1的图像的对称轴是y轴，则a的值是（　　） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的对称轴 题型二 A 解：【公式法】 ∵a = 2，b = -a， ∴对称轴为直线x = - = = 0。 题型探究 【例3】 ( 1 ) 二次函数y = 2x2 - x，当x_____时，y随x增大而增大， 当x_____时，y随x增大而减小。 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的增减性 题型三 解：∵a = 2 > 0，b = -1， ∴x对 = - = 。 > < 题型探究 【例3】 ( 2 ) 已知二次函数y = -x2 + bx + c，当2 < x < 5时，y随x增大而减小， 则实数b的取值范围是_____。 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的增减性 题型三 解：∵a = -1 < 0， ∴x对 = - = ， ∴当x > 时，y随x增大而减小， ∵当2 < x < 5时，y随x增大而减小， ∴ ≤ 2。 b ≤ 4 题型探究 【例4】 ( 1 ) 若A ( -，y1 )，B ( -，y2 )，C ( ，y3 )为二次函数y = -x2 + 4x - 5的图像上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y1 < y2 < y3 B. y2 < y1 < y3 C. y3 < y1 < y2 D. y1 < y3 < y2 比较函数值的大小 题型四 解：【法一：先求函数值，再比较大小】 将x1 = -，x2 = -，x3 = 分别代入， 计算量大…… A 利用增减性 可以简化运算 【法二：利用增减性】 ∵a = -1 < 0，- = 2， 当x < 2时，y随x的增大而增大， ∵- < - < < 2， ∴y1 < y2 < y3。 题型探究 【例4】 ( 2 ) 若二次函数y = x2 - 6x + c的图像过A ( -1，y1 )，B ( 2，y2 )，C ( 3 + ，y3 )，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y1 > y2 > y3 B. y1 > y3 > y2 C. y2 > y1 > y3 D. y3 > y1 > y2 比较函数值的大小 题型四 解：【法一：先求函数值，再比较大小】 将x1 = -1，x2 = 2，x3 = 3分别代入， 可得：y1 = 7 + c，y2 = -8 + c，y3 = -7 + c， ∴y1 > y3 > y2。 B 【法二：利用增减性】 ∵a = 1 > 0，x对 = - = 3， ∴抛物线上的点到x = 3的距离越大， 函数值越大， ∵| -1 - 3| = 4，| 2 - 3| = 1， | 3 + - 3| = ，且4 > > 1， ∴y1 > y3 > y2。 本题运算量 相对较小 课堂小结 一般式化为顶点式： y = ax2 + bx + c = a( x + )2 + ( a ≠ 0 )。 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )的图像是由y = ax2 ( a ≠ 0 )的图像 向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到。 课堂小结 感谢聆听! $$