第一章 有理数（复习讲义）数学沪科版2024七年级上册

第一章 有理数（复习讲义） 一、学习目标 1.理解掌握正负数的相关概念； 2.熟练掌握有理数的分类； 3.掌握数轴、相反数和绝对值相关概念及其几何意义； 4.能灵活应用相反数和绝对值相关性质比较大小. 5.熟练掌握有理数运算法则 6.熟练掌握近似数的概念和能准确进行近似数运算 二、学习重点：数轴、相反数、绝对值的性质运用；有理数运算法则; 三、学习难点：数轴、相反数、绝对值性质运用，有理数混合运算, 理解应用题题意求解 知识点1 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 知识点2 相反意义的量 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 知识点03 ：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 知识点04 ：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点05 ：数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 知识点06: 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点07: 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 6.利用绝对值比较大小: 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点08: 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 知识点09： 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 知识点10： 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 知识点11： 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点12： 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点13： 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点14： 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 知识点15： 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点16： 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点18： 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 知识点19： 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 题型一 正负数与0的识别 【例1】下列数中，属于负数的是（    ） A．2025 B．0 C．0.25 D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义，小于0的数为负数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：负数是指小于的数． 选项A：是正整数，大于，属于正数，不符合； 选项B：既不是正数也不是负数，不符合； 选项C：是正小数，大于，属于正数，不符合； 选项D：带有负号，表示比小个单位，属于负数，符合． 故选：D． 【变式1-1】把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 【答案】(1)，，， (2)，， (3)0 【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可． 【详解】（1）解：根据正数和负数的概念知，正数有：，，，； （2）负数有：，，； （3）既不是正数也不是负数的是0． 故答案为：（1），，，；（2），，；（3）0． 【变式1-2】北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据负数的定义，判断每个选项是否为负数，负数是小于的数．本题主要考查负数的定义，熟练掌握“小于的数是负数”是解题的关键． 【详解】解：是负数，是负数，不是负数，是负数． 故选： ． 【变式1-3】在数5，，，，0.76中负数有 ，正数有 ． 【答案】 5，，0.76 【分析】此题主要考查了有理数的分类，关键是掌握有理数的分类方法． 根据正数和负数的定义求解即可． 【详解】解：在数5，，，，0.76中， 负数有；正数有5，，0.76． 故答案为：；5，，0.76． 题型二 相反意义的量 【例2】“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数表示相反意义的量即可求解，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵茶水温度比低记作， ∴茶水温度比高记作， 故选：． 【变式2-1】我国古代的《九章算术》是世界数学史上首次正式引入负数的文献，若收入元可记作元，则支出元可记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．根据正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，如果规定其中一个数为正数，则另一个就用负数表示，即可得出答案． 【详解】解：若收入元可记作元，则支出元可记作元． 故选：A． 【变式2-2】一次考试中，老师采取一种记分制：得130分记为分，得50分记为分．如果小明的成绩记为分，那么他的实际得分为 分． 【答案】88 【分析】本题考查了正数和负数的定义，解答本题的关键是掌握正数和负数是互为相反意义的量. “正”和“负”表示互为相反意义的量，超过100分，记作正数，不足100分，记作负数，据此解答即可. 【详解】解：由题意可得：得130分记为分，得50分记为分． 可以看出实际得分是用所得分数减去100分； 所以小明的实际分数为（分）. 故答案为：88 【变式2-3】下列各组量中，具有相反意义的是（   ） A．长大3岁和减少3kg B．上升了6m和下降了7m C．卖出10斤米和盈利10元 D．向东行30m和向北行30m 【答案】B 【分析】本题考查了具有相反意义的量，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 根据具有相反意义的量需满足：同一属性，方向相反，单位一致，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、长大岁（时间）与减少kg（质量）属于不同属性，单位不同，不具有相反意义． B、上升m和下降m均描述高度的变化，属性相同（长度），方向相反（上升与下降），单位一致（米），符合相反意义的量． C、卖出斤米（数量）与盈利元（金额）属于不同属性，单位不同，不具有相反意义． D、向东行m与向北行m方向不相反（东与西、北与南为相反方向），不具有相反意义． 故选：B． 题型三 正负数的实际应用 【例3】体育老师根据如图所示的实心球质量参考规格去器材室挑选实心球，则下列实心球质量符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，重点理解正负数的意义及不等式范围的实际应用. 根据题目所给的实心球重量参考规格,先求出该规格所对应的重量范围，再逐一判断选项中的重量是否在这个范围内，从而确定符合标准的实心球重量. 【详解】解：根据的含义，“”表示比多的部分，表示比少的部分. 比多，最大值为； 比少，最小值为； 所以符合标准的实心球重量范围是大于等于且小于等于. A：因为，不在大于等于且小于等于范围内，选项错误，不符合题意； B:因为，不在大于等于且小于等于范围内，选项错误，不符合题意； C：因为，在大于等于且小于等于范围内，选项正确，符合题意； D：因为，不在大于等于且小于等于范围内，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】某火锅店以每天盈利元为标准，盈利超过元的部分记作正数，不足元的部分记作负数，如某天盈利元，记作元．下面是该火锅店某周的盈利情况统计表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 请你计算该火锅店这周共盈利多少元． 【答案】3750元 【分析】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负号在题目中所代表的含义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，这周每天的盈利分别为元、元、元、元、元、元、元， 所以该火锅店这周共盈利（元）； 故答案为：该火锅店这周共盈利元． 【变式3-2】学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【答案】(1)比个少做个引体向上 (2) (3)多在课余时间加强锻炼 【分析】本题考查正负数的实际应用； （1）根据题意得到“”的实际意义解答即可； （2）先找出成绩优秀人数，然后计算优秀率解答即可； （3）根据表格中数据提出合理建议即可． 【详解】（1）解：“”表示的意义是比个少做个引体向上， 故答案为：比个少做个引体向上； （2）解：达到优秀的有3人， ∴优秀率为， 答：这组男生引体向上的成绩优秀率是； （3）解：建议：多在课余时间加强锻炼． 【变式3-3】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 【答案】对准的数是；先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格，刻度线表示为． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为． 题型四 有理数的概念的理解 【例4】下列各数中有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义，根据整数和分数统称为有理数进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、既不是整数也不是分数，故不是有理数， B、既不是整数也不是分数，故不是有理数， C、是有理数， D、既不是整数也不是分数，故不是有理数， 故选：C 【变式4-1】在，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类分析即可，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数． 有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：在（每相邻两个1之间依次多一个0）中， 是有理数，共有5个． 故答案为：5． 【变式4-2】这些数：8，，，0，，中，有理数有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，解题的关键是熟练掌握整数和分数统称为有理数．根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在，，，，，中，有理数有，，，，共5个． 故选：B． 【变式4-3】在实数中，有理数有（　　）个 A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了实数，熟练掌握有理数的定义是解本题的关键．判断每个数是否为有理数．有理数包括整数、有限小数、无限循环小数及分数形式的数(分母不为0)．无理数则为无限不循环小数． 【详解】解：由题意得这5个数是有理数， 这2个数是无理数． 故选：D． 题型五 有理数的分类 【例5】把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【答案】见解析 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图： 【变式5-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，，，，，，，． 整数集合{______________________…}； 分数集合{______________________…}； 非负数集合{______________________…}； 负有理数集合{______________________…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数和负整数和0，分数包括正分数和负分数，非负数包括正数和0，负有理数为小于0的有理数数，进行作答即可． 【详解】解：整数集合{， ，，，，…}； 分数集合{，，，，…}； 非负数集合{，，，，，，…}； 负有理数集合{，，，…}． 【变式5-2】把下列各数填入相应的大括号里： 6，0，，，0.5，，，，， 整数集合{               …}； 负分数集合{               …}； 正有理数集合{               …}； 负有理数集合{               …}． 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，根据有理数的分类解答即可，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：整数集合{6，0，，…}； 负分数集合{，…}； 正有理数集合{6，0.5，，，…}； 负有理数集合{，， …}． 【变式5-3】将下列各数填入相应的括号里： ，，  0，  8，，  ，  ，   ，   （1）负分数集合  { }； （2）整数集合    { }； （3）负有理数集合{ }； （4）非负数集合  { }； 【答案】，，；0，8，；，，，；，0，8，，； 【分析】利用非负数，整数，有理数，以及非负整数的定义判断即可； 【详解】（1）负分数集合：，，； （2）整数集合：0，8，； （3）负有理数集合：，，，； （4）非负数集合：，0，8，，； 【点睛】本题考查了有理数，利用有理数的分类是解题关键． 题型六 数轴的三要素及其画法 【例6】如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了数轴的三要素：原点，正方向，单位长度．熟记数轴的三要素是解题的关键．数轴利用数轴的概念和三要素（原点、正方向和单位长度）来判断正误． 【详解】解：A、单位长度不均匀，故错误； B、正确； C、数据顺序不对，故错误； D、没有正方向，故错误． 故选：B． 【变式6-1】下列各图中所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，根据数轴的三要素进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、没有单位长度，故该选项不符合题意； B、没有正方向，故该选项不符合题意； C、数轴的左侧负数顺序错误，故该选项不符合题意； D、满足数轴的三要素，故该选项符合题意； 故选：D 【变式6-2】下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺一不可． 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断． 【详解】解：A、单位长度不相等，故表示错误； B、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； C、没有原点，故表示错误； D、符合数轴的定定义，故表示正确； 故选D． 【变式6-3】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】规定了原点、正方向以及单位长度的直线，叫做数轴，据此判断即可． 【详解】解： 选项A中的数轴没有原点，因此选项A不符合题意； 选项B的数轴符合数轴的定义，因此选项B符合题意； 选项C中的数据标识不正确，因此选项C不符合题意； 选项D中的数轴单位长度不一致，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查数轴的三要素及画法，熟知数轴三要素是解答的关键． 题型七 用数轴上的点表示有理数 【例7】画出数轴并标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：， 如图，在数轴上表示各数如下： 【变式7-1】在数轴上标出下列各数：，0，，，，，并把它们用“”连接起来． 【答案】见解析； 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可． 【详解】解：，，，把各数表示在数轴上，如图所示： 用“”连接为：． 【变式7-2】如图，数轴上点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上表示数，熟练掌握数轴是解题的关键．根据数轴上表示的数即可得到答案． 【详解】解：数轴上点表示的数为， 故答案为：． 【变式7-3】在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来． ， ， ， ， 0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了绝对值、数轴和比较有理数的大小等知识，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键．先化简，再在数轴上表示，然后即可比较大小． 【详解】解：， 如图： ． 大小关系如下：． 题型八 数轴上两点之间的距离 【例8】在数轴上，距原点距离为2的点是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，分两种情况，再结合数轴上两点之间的距离即可得解，熟练掌握数轴上的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：当这个点在原点的左边时，这个点为；当这个点在原点的右边时，这个点为， 故在数轴上，距原点距离为2的点是或， 故答案为：或． 【变式8-1】已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2)两点之间的距离为3 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，解题的关键是利用数轴确定a，b的符号. （1）由数轴可知，a，b均为负数，结合绝对值，得到a，b的值. （2）A，B两点之间的距离是大数减去小数. 【详解】（1）解：因为, 所以或，或， 由数轴可知：a，b在数轴的左侧，所以, 所以. （2）解：由（1）可得， 所以A，B两点之间的距离为：. 【变式8-2】如下图，一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在和上．将木棒在数轴上水平移动，点的对应点分别为点． （1）若点表示的数为，在图中画出此时木棒的位置并标出点的位置． （2）若点与点的距离为，求点表示的数． 【答案】（1）见解析；（2）或 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上的平移规律是解题的关键； （1）根据点对应的点以及移动后对应的点所代表的数在数轴上对应标出即可；（2）根据点的距离确定移动的距离与方向，即可确定点所表示的数． 【详解】解：（1）木棒的位置及点的位置如图． （2）木棒平移有两个方向： ①当木棒向左平移个单位长度时， 点表示的数为， 此时点表示的数为； ②当木棒向右平移个单位长度时， 点表示的数为， 此时点表示的数为． 故答案为：点表示的数为或． 【变式8-3】我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题： (1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______； (2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数． 【答案】(1)3；5 (2)或 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）先根据以上的方法求出再解方程即可． 【详解】（1）解：4和1之间的距离是，和3之间的距离是， 故答案为：3，5； （2）解:由题意得：，即， 或， 或， 故答案为：或． 题型九 数轴上整点覆盖问题 【例9】一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有 个． 【答案】24 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求出到的整数个数是解题的关键． 由图可知被墨迹盖住的数在到之间，找出到的整数个数并计数即可得到答案． 【详解】解：被墨迹盖住的整数有：，共个 故答案为： 【变式9-1】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 【变式9-2】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【变式9-3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 题型十 根据数轴判断大小正负 【例10】如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所表示的数最小的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】本题考查用数轴比较有理数的大小． 根据“数轴上右边的数总比左边的大”，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可知，点A位于最左侧，故点A表示的数最小， 故选：A． 【变式10-1】(1)把下列各数的绝对值在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列，用“>”连接起来 ． (2)把下列各数及它们的相反数在数轴上表示出来，并把这些数及它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“<”连接起来． 【答案】（1）数轴上表示见解析，； （2）数轴上表示见解析， 【分析】本题考查了求一个数的绝对值和相反数、在数轴上表示有理数以及利用数轴比较有理数的大小． （1）先将含有括号和绝对值符号的数化简，再求解各数的绝对值，然后把各数的绝对值在数轴上表示出来，按从大到小的顺序排列，用“”连接即可． （2）先将含有括号和绝对值符号的数化简，再求解各数的相反数，然后把各数及它们的相反数在数轴上表示出来，按照从小到大顺序排列，并用“”连接即可． 【详解】（1）解：， 把各数的绝对值在数轴上表示如图． 故． （2）解：． 的相反数是的相反数是的相反数是的相反数是的相反数是． 把各数及它们的相反数在数轴上表示如图． 故 【变式10-2】给出数轴比较变式为画数轴比较 （1）若，用“”连接，其结果是 ． （2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小关系，根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可； （1）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可； （2）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小，即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意，画出数轴如下： 由数轴可知：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵表示数的点在原点的两侧， ∴， 画出数轴如图： ∴； 故答案为：． 【变式10-3】如图，在数轴上有三个点，请回答下列问题： (1)若将点向左移动5个单位长度后，则点________所表示的数最大，是________． (2)若将点向右移动4个单位长度后，到达点，用“”把三点表示的数连接起来为________． (3)若将点向左移动8个单位长度后，点所表示的数比点表示的数小________． (4)怎样移动其中两个点，可以使三个点表示的数相同且最大？最大为多少？ 【答案】(1)B，4 (2) (3)3 (4)将点A向右移动7个单位长度，点C向右移动5个单位长度，A，B，C三点所表示的数相同且最大，最大为4 【分析】（1）确定点C向左移动5个单位长度后后的数之后再比较大小． （2）确定点D的位置后，再比较大小． （3）利用点C的数值减去平移后点B的数值． （4）可以通过移动A，C两个点得到最后的答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A，C，B所表示的数分别为： 点C向左移动5个单位长度后，它所表示的数为：， 比较可得，最大的数是4，也就是点B所表示的数． 故答案为：B，4； （2）解：若将点向右移动4个单位长度后，到达点， 则点D所表示的数为：， 比较得：， 故答案为：； （3）解：若将点向左移动8个单位长度后，点所表示的数为：， 所以点所表示的数比点表示的数小：， 故答案为：3． （4）解：将点A向右移动7个单位长度，点C向右移动5个单位长度，A，B，C三点所表示的数相同且最大，最大为4． 【点睛】本题考查了数轴上点的移动以及数的大小比较．对于每一问，重点根据点在数轴上的移动规律确定移动后所表示的数，再进行相应的计算和比较． 题型十一 数轴上的动点问题 【例11】随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到A村，继续向东行驶到B村，然后向西行驶到C村，最后回到快递点． (1)以该快递点为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示画数轴，并在该数轴上表示出三个村庄的位置． (2)C村离A村有多远？ (3)已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查数轴，用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移问题，解题的关键是根据题意画出数轴，本题属于基础题型． （1）根据题意画出数轴，在数轴上表示三个村庄的位置即可； （2）根据数轴即可求出的距离； （3）求出快递员走的总路程，根据题意即可求出耗油的数量． 【详解】（1）解：依题意得，数轴为： （2）依题意得，点C与点A的距离为： 所以C村离A村． （3）依题意得，快递员骑了， ∴共油耗量为：． 答：面包车耗油1.44升． 【变式11-1】点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置．已知点B与原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B与原点的距离是5个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置， ∴点向左平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，到达点A的位置， ∴点表示的数为或； 故答案为：7或． 【变式11-2】点A在数轴上表示的数是a，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴以及相反数，正确表示出点对应的数是解题的关键． 根据题意，点表示的数为，由点与点互为相反数可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：点表示的数为，向左移动个单位后到达点， 则点表示的数为． 点与点互为相反数， ． 合并同类项得：， 解得． 故选：D． 【变式11-3】如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 题型十二 数轴上的规律探究问题 【例12】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上． 点对应的数轴上的数可能为2021， 故选：B． 【变式12-1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 【变式12-2】三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 【变式12-3】正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 题型十三 相反数概念的运用 【例13】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义与多重符号的化简，掌握相关知识是解题的关键．先分别进行化简，再进行判断即可． 【详解】解：①由于，故与不互为相反数； ②由于，故与互为相反数； ③由于，，故与互为相反数； ④由于，，故与互为相反数； 综上，互为相反数的有②③④，共3组． 故选：C． 【变式13-1】的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是2024． 故选：A． 【变式13-2】如果a与互为相反数，那么a的值是（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的应用，根据相反数的定义：相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，即可得到答案，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴的值是， 故选：D． 【变式13-3】已知A，B是数轴上的两点，则点A，B在数轴上表示的数可能互为相反数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，由“在原点的两侧，并且到原点距离相等的点表示的数互为相反数．”逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.点A，B都在原点的左侧，表示的数不可能互为相反数，故不符合题意； B.点A，B都在原点的两侧，到原点的距离大致相等，表示的数可能互为相反数，故符合题意； C.点A，B都在原点的右侧，表示的数不可能互为相反数，故不符合题意； D.点A，B表示的数是，，不可能互为相反数，故不符合题意； 故选：B． 题型十四 化简多重符号 【例14】（1）________． （2）________． （3）回答下列问题： ①当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ ②当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？ ③你能总结出什么规律？ 【答案】（1）；（2）3.5；（3）①当前面有2024个负号时，化简后的结果是5． ②当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． ③总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【分析】本题考查化简多重符号，总结规律从而解决后面两小问是解题的关键： （1）根据相反数的定义，进行化简即可； （2）根据相反数的定义，进行化简即可； （3）根据（1）（2）得出规律，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴； 故答案为：3.5； （3）①当前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当前面有2025个负号时，化简后的结果是； ③总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【变式14-1】在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的意义，掌握相反数的意义是解题的关键．先化简再比较两个数，即可判断出答案． 【详解】解：A. 和，相等，故该选项不符合题意； B.和，相等，故该选项不符合题意； C. 和，不相等，故该选项符合题意；     D. 和，相等，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式14-2】化简下列各数： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 9 【分析】本题考查了去括号，括号前是正号，去掉括号后，括号内的数不变，括号前是负号，去掉括号后，括号内的数要变号. 观察括号前是正号还是负号来进行化简. 【详解】解：（1）括号前一个号，括号里的数+3.15要变号，即， 故答案为：. （2）括号前一个号，括号里的数要变号，即， 故答案为：. （3）先去小括号，小括号前是“+”号，括号里的数不变号，即，再去中括号，括号前是，括号里的数要变号，即， 故答案为：9. （4）先去小括号，小括号前是号，括号里的数要变号，即，再去中括号，括号前是，括号里的数12要变号，即， 故答案为：. 【变式14-3】下列化简中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查符号化简的基本规则，需根据括号前的正负号对括号内的数进行符号判断. A、（负负得正），但选项结果为，选项错误，不符合题意. B、（正号前的负号使结果变负），选项正确，符合题意. C、（正号不改变数的符号），但选项结果为，选项错误，不符合题意. D、（中括号内化简为，再取负得），但选项结果为，选项错误，不符合题意. 故选：B. 题型十五 求绝对值 【例15】（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可得． 【详解】解：， 故选：C． 【变式15-1】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：的相反数是． 故选：B．【变式15-2】的绝对值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，正确记忆相关知识点是解题关键．根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：B． 【变式15-3】 ， 【答案】 2 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 题型十六 绝对值的非负性 【例16】已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 【答案】 3 1 2 【分析】本题考查绝对值的意义： （1）由绝对值的非负性可以得出，由此可解． （2）根据绝对值的非负性解题即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴当时，，此时有最小值， ∴当时有最小值，最小值是2， 故答案为：1，2． 【变式16-1】如果是有理数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据可得，当时，的值最小，据此即可求解，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当取最小值时，的值最小， ∵， ∴当，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【变式16-2】若，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟记绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性可得，求出的值即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：； 【变式16-3】若与的值互为相反数，则的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值的非负性，熟练掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键. 【详解】解：与互为相反数， ； 由于绝对值非负，故两个绝对值均为0， 即：， ， 解得：， 故答案为：D. 题型十七 绝对值的应用题 【例17】正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，允许有的误差．下面是个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的千克数，用负数记不足规定质量的千克数，单位：）： 1号 2号 3号 4号 5号 6号 （1）请你指出哪几号排球符合要求． （2）请你对6个排球按照最好到最差排名． 【答案】(1)2号和6号 (2)排球按照最好到最差的排名为6号、2号、4号、5号、3号、1号 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握如何去绝对值是解题的关键； （1）根据题干的允许误差与表格中的误差进行比较，即可得到符合要求的序号， （2）比较六个排球的误差绝对值大小，可以得到排球质量好坏排名. 【详解】解：（1）故符合要求的有号和号． （2），，， ，，． 因为， 数越小，代表排球的质量越好， 所以排球按照最好到最差的排名为号、号、号、号、号、号． 【变式17-1】如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)记为的排球最接近标准质量． 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，掌握克数的绝对值越小就越接近标准是解题的关键． （1）根据题中各正负数所表示的实际意义即可解答； （2）先比较各数的绝对值，再根据克数的绝对值越小就越接近标准即可解答． 【详解】（1）解：表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示超过标准质量，表示不足标准质量． 表示不足标准质量． （2）解：记为的排球最接近标准质量，理由如下： ∵， ∴记为的排球最接近标准质量． 【变式17-2】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 【变式17-3】检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提．根据绝对值的意义，求出各个数的绝对值，进而比较得出答案． 【详解】解：，，，， 的绝对值最小． 所以第四个球是最接近标准的球． 故选：D． 题型十八 绝对值的几何意义 【例18】（1）已知，则 ． （2）已知，则 ． （3）已知，则 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了绝对值的性质． （1）运用绝对值的性质求解即可． （2）运用绝对值的性质求解即可． （3）运用绝对值的性质求解即可． 【详解】解：（1）则， 故答案为：． （2），则， 故答案为：， （3） 故答案为：8 ． 【变式18-1】马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解决本题的关键． 设被墨水遮住的数为，根据绝对值的性质，原式可转化为两个方程求解． 【详解】由题意得：， 根据绝对值的定义，有：， ，解得； ，解得， 因此，被遮住的数为或． 故选：D． 【变式18-2】根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 【变式18-3】（1）数轴上表示3的点与原点的距离是_________，所以3的绝对值是_________，即_________； （2）数轴上表示的点与原点的距离是_________，所以的绝对值是_________，即_________； （3）数轴上表示0的点与原点的距离是_________，所以0的绝对值是_________，即_________． 【答案】（1）3，3，3，（2），，，（3）0，0，0 【分析】本题考查的是数轴上的点与原点的距离，绝对值的含义； （1）根据数轴上两点之间的距离以及绝对值的含义解答即可； （2）根据数轴上两点之间的距离以及绝对值的含义解答即可； （3）根据数轴上两点之间的距离以及绝对值的含义解答即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3的点与原点的距离是，所以3的绝对值是，即； （2）数轴上表示的点与原点的距离是，所以的绝对值是，即； （3）数轴上表示0的点与原点的距离是，所以0的绝对值是，即． 题型十九 有理数的大小比较 【例19】比较有理数的大小： (1)和； (2) 和 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握正数负数、两个负数相比较时，绝对值大的反而小是解题关键． （1）根据两个负数相比较时，绝对值大的反而小解答即可； （2）根据两个负数相比较时，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】（1）解： 因为，， 又因为， 所以． 即 （2）解：因为，， 又因为， 所以． 【变式19-1】若，且，则 ， ．（写出一种情况即可） 【答案】 3（答案不唯一） 4 【分析】本题考查绝对值，先根据绝对值求出a和b，然后根据得到a，b的值即可． 【详解】解：， ∴，， ∵， ∴，， 故答案为：，． 【变式19-2】比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了负数大小的比较，解题的关键是掌握有理数大小比较的方法． 利用两个负数比较，绝对值大的反而小，来进行比较即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【变式19-3】比较大小： ．（用“”“”或“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先通分，再比较其绝对值的大小即可求解，熟知负数比较大小的法则是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型二十 有理数加法运算 【例20】（1）计算：；             （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加即可． 【详解】解：（1 ）原式； （2 ）原式． 【变式20-1】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则，是解题的关键． （1）根据任何数与0相加仍得原数，即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数相加得0，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式20-2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则，是解题的关键． （1）根据任何数与0相加仍得原数，即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数相加得0，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式20-3】计算下列各题： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则，是解题的关键． （1）根据任何数与0相加仍得原数，即可得出答案； （2）根据互为相反数的两数相加得0，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型二十一 有理数加减运算律 【例21】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式21-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，根据加法交换律和结合律解答即可． 【详解】解：原式 ． 【变式21-2】运用加法的运算律简单计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的运算法则是解题的关键, 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式21-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，加法运算律，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． （1）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （2）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （3）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型二十二 有理数的减法运算 【例22】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的减法运算，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的减法运算法则求解即可； （3）根据有理数的减法运算法则求解即可； （4）先化简绝对值，然后根据有理数的减法运算法则求解即可； 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【变式22-1】已知，． (1)若a，b同号，求的值． (2)若a，b异号，求的值． 【答案】(1)的值为2或 (2)的值为14或 【分析】本题考查了有理数的减法运算以及绝对值，掌握有理数减法法则是解题的关键． （1）根据绝对值的定义求出、的值，再根据同号，进一步确定、的值，从而求出的值； （2）根据绝对值的定义求出、的值，再根据异号，进一步确定、的值，从而求出的值． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为同号， 所以①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：由（1）知，． 因为异号， 所以①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． 【变式22-2】计算：． 【【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则进行计算即可，熟练掌握有理数的减法法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 变式22-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型二十三 有理数的加减混合运算 【例23】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)14 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式23-1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再利用有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先去括号，再将分母相同的有理数分组并进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【变式23-2】计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式23-3】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）按照有理数运算顺序，先算绝对值，再依次进行加减法运算. （2）先将小数化成分数，再利用加法交换律和结合律进行简便运算. 【详解】（1）解：原式 （2）解;原式 题型二十四 有理数的乘法运算 【例24】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）按照有理数的乘法运算法则计算即可； （2）运用乘法运算法则即可； （3）运用乘法运算法则即可； （4）运用乘法运算法则即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 【变式24-1】计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）． （2）． （3）． （4）． 【分析】本题考查的知识点为有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则； （1）根据同号得正的法则进行计算即可； （2）根据异号得负先确定符号然后进行约分化简求值； （3）将小数和分数进行统一后进行计算； （4）先确定符号，然后将代分数化为假分数进行计算. 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 【变式24-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1 (2) (3)2 (4) (5)0 (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解∶原式； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式 ； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式； （6）解∶原式 ． 【变式24-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)1 (3)0 (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的乘法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型二十五 有理数的乘法运算律 【例25】用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查运用有理数的乘法运算定律简化运算，熟练运用运算定律是解题关键． （1）根据乘法运算律计算即可； （2）运用乘法交换律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【变式25-1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是运用乘法分配律简化计算． （1）观察式子，将含和含0.34的项分别结合，运用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律将括号内的数分别与相乘，再计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式25-2】计算： (1)． (2)． (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练使用运算律是解题关键． （1）利用乘法交换律计算即可； （2）利用乘法交换律计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 【变式25-3】运用乘法运算律计算： (1)． （3） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解决本题的关键是熟练掌握乘法运算律． （1）利用乘法交换律简化计算过程； （2）利用乘法分配律简化计算过程． 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式． 题型二十六 倒数 法运算 【例26】写出下列各数的倒数： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查倒数，明确倒数的概念是解决问题的关键． （1）利用倒数的概念求解即可． （2）利用倒数的概念求解即可． （3）利用倒数的概念求解即可． 【详解】（1）解：的倒数是2； （2）解：的倒数是； （3）解：的倒数是． 【变式26-1】若互为相反数，的倒数是p，且m的绝对值为2，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解相反数，倒数，绝对值的概念，解题的关键是明确有理数混合运算顺序. 根据相反数，倒数，绝对值的概念分别求得，然后代入求值. 【详解】解：因为互为相反数，的倒数是p，且m的绝对值为2， 所以， 所以， 所以． 【变式26-2】求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)1.2； (2)； (3)． 【答案】(1)1.2的相反数是，倒数是，绝对值是1.2； (2)的相反数是，倒数是，绝对值是； (3)的相反数是，倒数是，绝对值是． 【分析】此题考查相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义； （1）根据各定义依次解答即可； （2）根据各定义依次解答即可； （3）根据各定义依次解答即可． 【详解】（1）解：1.2的相反数是，倒数是，绝对值是1.2． （2）的相反数是，倒数是，绝对值是． （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【变式26-3】如图中的不完整数轴的单位长度为1，点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c， (1)若点B是原点，则 ； (2)若点A，B表示的数互为相反数，求的值； (3)若点C表示的数的倒数是它本身，且，求p的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，倒数，以及有理数的运算，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据点A，B表示的数互为相反数确定原点位置，据此分别确定a、b，c、d，再计算即可； （3）根据倒数是它本身的数可得点C表示的数为，分两种情况求出d，再计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得若点B是原点，则； 故答案为：； （2）解：∵点A，B表示的数互为相反数， ∴原点为点，如下图所示： ，，，， ； （3）解：点C表示的数的倒数是它本身， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值为或 题型二十七 有理数的除法运算 【例27】计算（能简算的要简算）： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握有理数的除法法则是解题的关键． （1）先确定结果的符号为正号，再将除法转化为乘法可得，然后将转化为后，利用乘法分配律计算即可； （2）先确定结果的符号为负号，再将除法转化为乘法、将转化为可得，利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式27-1】计算： (1)； (2)． (1)； (2)． 【答案】(1)5； (2)10 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握有理数除法运算法则． （1）先确定符号，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式27-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式27-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)4 (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的除法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型二十八 有理数的乘除混合运算 【例28】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式28-1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数乘除混合运算．先将有理数除法转化为有理数的乘法，再根据有理数乘法进行计算即可． 【详解】：解解： ． 【变式28-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)20 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式28-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)16 (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，四则混合运算； （1）先计算除法运算，再计算乘法运算即可； （2）把除法化为乘法，再计算乘法运算即可； （3）把除法化为乘法，再利用乘法分配律进行简便运算即可； （4）把除法化为乘法，再计算乘法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二十九 绝对值化简分类讨论问题 【例29】我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【答案】(1)的值是10或4； (2)的值为2或； (3)的值可能是或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点， (1)根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可； (2)根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可； (3)根据都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可； 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：都是有理数,,且， 或, 当时，， 当时，； ∴由上可得，的值是10或4； （2）解：都是非零的有理数，且满足同号， ,或,, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值为2或； （3）解：都是有理数，且, 中三正或一正两负，不妨设或, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值可能是或． 【变式29-1】如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：   ①；②；③；④  ． 其中正确的个数有    （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，故①不正确； ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，故③正确； ∵ ，故④错误； 综上分析可知：正确的有②③． 故选B． 【变式29-2】下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且时，则的值为或3； ③若且，则式子的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则；根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可．熟知绝对值的意义是解题的关键． 【详解】①∵a，b，c是非零的有理数，，， ∴，， 故a，b，c中有1个或3个负数， 令时，； 当时，， 故该项正确； ②∵， ∴， 则， ∵， ∴当a，b，c都是负数时，此时与矛盾，故不存在； ∴a，b，c中只有一个负数， 令， 原式， 故该项错误； ③∵且， ∴a，b互为相反数， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故该项错误； 故选：B 【变式29-3】下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④错误，不符合题意； 综上，正确的有②③； 故答案为：②③． 题型三十 幂的概念 【例30】下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，有理数幂的概念：表示n个a的乘积，a为底数，n为指数．根据有理数幂的概念解答即可． 【详解】解：A、的底数是，原说法错误，不符合题意； B、表示3个2相乘，原说法错误，不符合题意； C、表示的是3个相乘，表示的是3个2相乘的相反数，二者意义不同，原说法错误，不符合题意； D、的指数是3，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式30-1】的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 2 4 5 3 【分析】本题考查了乘方的定义． 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数． 【详解】解：的底数是3，指数是2；的底数是，指数是4；的底数是5，指数是3． 故答案为：3，2；，4；5，3． 【变式30-2】把写成乘方的形式为 ，把写成乘方的形式为 ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义，个相同因数相乘可表示为，分别分析两个式子中相同因数及个数来转化为乘方形式．本题主要考查了乘方的定义，熟练掌握乘方是个相同因数相乘的简便表示形式是解题的关键． 【详解】解：， ． 故答案为：， ． 【变式30-3】已知：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数指数幂的定义，根据题意，得到，进行计算即可．熟练掌握有理数指数幂的定义，是解题的关键： 【详解】解：由题意，得：； 故选C． 题型三十一 有理数的乘方运算 【例31】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键在于计算时符号的确定与理解乘方的意义，从而简便运算. （1）先算乘方，再算乘法. （2）由乘方的意义拆分第一项，再简便运算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 【变式31-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （2）原式直接进行四次方运算即可得到答案； （3）原式直接进行立方运算即可得到答案； （4）原式将分子进行立方运算即可得到答案； （5）根据的偶次方等于1可得结果． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式31-2】 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法法则和符号处理是解题关键．运用同底数幂的乘法法则以及“奇负偶正”的符号处理方法运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式31-3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法，积的乘方法则，将化成，结合奇负偶正，同底数幂乘法的逆运算，即可求解； 【详解】解：原式 ， 故答案为：. 题型三十二 科学计数法 【例32】据报道：截至2024年底，我国境内有效发明专利量达到475.6万件，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4756000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，根据科学记数法的表示方法，为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 【变式32-1】2025年“五一”假期，湖北省实现旅游总收入243.6亿元，将数据243.6亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：243.6亿． 故答案为：．【变式32-2】电影《哪吒2：魔童闹海》于2025年1月29日在中国大陆上映以来，获得了极高的评价，截至2月26日全球票房突破139亿元，请将数据139亿写成科学记数法为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：139亿． 故答案为：． 【变式32-3】2025年4月24日，长征二号F火箭成功发射神舟二十号载人飞船，首次将一种拥有强大再生能力的扁形动物涡虫送上太空．据了解，涡虫是具有亿年进化史的再生生物．将数据520000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 题型三十三 有理数的四则混合运算 【例33】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）先计算有理数加法，再计算有理数减法； （2）先计算有理数的除法，再计算有理数的乘法； （3）先计算有理数的乘方、括号内的减法、绝对值，再计算乘法，最后进行加法运算； （4）先计算有理数的乘方、除法，然后计算乘法，最后进行加减运算； 掌握相应的运算法则，运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式33-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)18； (4)14． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的运算顺序，以及合理运用运算律简化计算． （1）运用加法交换律和结合律，将负数结合，再进行计算； （2）利用乘法分配律，将括号内的数分别与36相乘，再计算； （3）先算乘方，再算除法，最后算减法； （4）分别计算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式33-2】计算： (1)； (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （2）先计算乘法，再计算减法即可得解； （3）根据有理数的乘法运算律计算即可得解； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式33-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照运算法则计算即可； （2）按照运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型三十四 有理数的运算:错题复原 【例34】淇淇计算时，步骤如下： 解：原式① ② ．③ （1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． （2）正确的答案是 ． 【答案】 ；. 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握“乘方的运算法则”. 【详解】（1）： 所以出现错误的步骤为 （2）原式 故答案为： （1）；（2）． 【变式34-1】阅读下面解题过程并解答问题． 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)上面解题过程中错误的步骤是________； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)第二步和第三步； (2)见解析. 【分析】根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； 先计算括号，然后将除法变乘法，最后进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算规则，掌握同级运算从左到右，除法转化为乘法，符号优先判断是解题的关键. 【变式34-2】阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2)见解析 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算； （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可. 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . 【变式34-3】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 【答案】(1)有理数的减法法则，二 (2)加法交换律，加法结合律 (3)见详解 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）解：第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． 题型三十五 流程图的运算 【例35】小明编写了一个程序，如图，若输入x是，则输出的值为（   ） A． B．8 C． D．2 【答案】D 【分析】根据流程图分别代入计算，根据计算结果判断即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴的倒数为4， ∴， 故答案为：2， 故选：D． 【变式35-1】乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 【变式35-2】【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可． 【详解】解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 【变式35-3】天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 根据所给数值转换机列式计算即可， 【详解】解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得∶ ， 第二次：把代入运算程序得∶ ， ∴输出的结果y为7， 故选：A． 基础巩固通关测 一、单选题 1．的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键，根据相反数的定义直接进行判断即可． 【详解】解： 相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数 的相反数是 故选：A． 2．哈市某天最高气温为8℃，最低气温为-2℃，则这一天的温差为（    ） A．-10℃ B．6℃ C．10℃ D．16℃ 【答案】C 【分析】温差等于最高温度减去最低温度，计算即可． 【详解】解：这一天的温差为8-（-2）=10（℃）， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数减法的应用，正确理解温差的计算方法是解题的关键． 3．在3中，比0小的数是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，正数大于零，负数小于零；对于负数，绝对值大的反而小．据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴比0小的数是， 故选： A． 4．已知，那么的大小关系是（    ） A．a＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞b C．a＞b＞-a＞-b D．a＞-b＞b＞-a 【答案】D 【分析】由于b＜0，a+b＞0，则a必为正数，-b为正数，并且a＞|b|，则a＞-b，-a＜b，易得a，b，-a，-b的大小关系． 【详解】解：∵b＜0，a+b＞0， ∴a＞0，-b＞0，a＞|b|， ∴a＞-b＞0，-a＜0，-a＜b＜0， ∴a，b，-a，-b的大小关系为a＞-b＞b＞-a． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法法则、有理数的大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数反而越小．由加法法则确定a与b的符号及两数绝对值的大小关系是解题的关键． 5．下列叙述正确的是(   ) A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数绝对值越大，离原点越远 【答案】D 【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义进行解答即可． 【详解】A.不是正数的数是负数或零，故A错误； B.正有理数包括正整数和正分数，故B错误； C.整数有正整数、负整数和零，故C错误； D.有理数绝对值越大，离原点越远，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类和绝对值的意义，解题的关键熟练掌握整数和分数统称为有理数． 6．由四舍五入得到的近似数2.40万精确到了（　　） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位 【答案】D 【分析】本题考查近似数和有效数字，观察题目中的数据最后一位所在的位置，即可得到该数据精确到哪一位． 【详解】解：近似数2.40万精确到了百位， 故选：D． 7．为了更好地了解家乡、热爱家乡，无为市某校发起了题目为“无为有为，大有作为”的数学活动．七年级小朵同学积极参与，她在网络上查到2022年该市实现地区生产总值610亿元，比上年增长，这标志着该市战胜疫情的不利影响，继续在高质量发展的道路上砥砺前行．请将数据610亿用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的定义，掌握表示一个的数的方法：“从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是．”是解题的关键． 【详解】解：亿 从右往左数到最后一个非“”数字是，小数点共移动了个位数， 亿； 故选：C． 8．若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先利用绝对值的性质求得x=±17，y=±9，然后由xy＜0可知x=17，y=-9或x=-17，y=9，最后计算即可． 【详解】解：∵|x|=17，|y|=9， ∴x=±17，y=±9． ∵xy＜0， ∴x=17，y=-9或x=-17，y=9． ∴|x+y|=|17+（-9）|=8或|x+y|=|-17+9|=8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，根据题意确定出x=17，y=-9或x=-17，y=9是解题的关键． 9．某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度h（单位：） 允许偏差（单位：） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度h（单位：） 30.0 32.0 74.0 95.0 实际高度（单位：） 29.6 32.0 72.8 97.1 其中不符合精度要求的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】先计算每个模型设计高度与实际高度的偏差，再看是否在允许偏差的范围内即可． 【详解】解：甲模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴甲符合精度要求； 乙模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴乙符合精度要求； 丙模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴丙符合精度要求； 丁模型设计高度与实际高度的偏差为：，允许偏差为：， ∴丁不符合精度要求， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法计算和正负数的意义，关键是熟练掌握有理数减法计算法则，明确允许偏差的含义． 10．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么在①；②；③；④四个关系式中，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法和有理数的加减法、数轴，先根据数轴分析出且，再根据题意进行逐项判断即可． 【详解】解：观察数轴可知，，且， ∴①，故说法错误； ②，说法正确； ③，说法正确； ④，说法正确． 故正确的有3个． 故选：B． 二、填空题 11．把按四舍五入的方法精确到千分位的近似数为 ． 【答案】 【分析】根据万分位为，再利用四舍五入法即可解答． 【详解】解：∵， 故答案为． 【点睛】本题考查了求一个数的近似数，四舍五入法，掌握近似数的定义是解题的关键． 12．比较大小： （填“”“ ”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，正数大于负数，根据，，则，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，则、b、的大小关系 ． 【答案】 【分析】根据“在数轴上表示的数，右边的总比左边的大”即可得出答案． 【详解】解：如图，-a、b、-c在数轴上表示如下： ∵数轴左边的数总是小于右边的数， ∴由数轴可知：-c＜-a＜b， 故答案：-c＜-a＜b． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，把-a、b、-c在数轴上表示出来是解决问题的关键． 14．若，，则n的值为 ． 【答案】或/3或-1 【分析】根据可得中有两个负数或没有负数，然后分情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴中有两个负数或没有负数， 当中有两个负数时：； 当中没有负数时，； ∴n的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了有理数乘除法以及绝对值的意义，读懂题意，运用分类讨论的思想解题是关键． 三、解答题 15．计算： 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算乘方和括号内的部分，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 16．在数轴上表示下列各数，并用“”连接． ，，，，， 【答案】各数在数轴上的表示见解析； 【分析】本题主要考查数轴，在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大． 【详解】 17．把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） (1)正数：　　1　　； (2)负数：　　2　　； (3)整数：　　3　　； (4)分数　　4　　． 【答案】(1)②⑥⑦ (2)①③⑤⑧ (3)②④⑤⑦ (4)①③⑥⑧ 【分析】本题考查有理数的分类及定义，掌握有理数的分类及相关定义是解题的关键； 根据有理数的分类及定义进行分类即可． 【详解】（1）解：正数有②⑥⑦； （2）解：负数有：①③⑤⑧； （3）解：整数有：②④⑤⑦； （4）解：分数有：①③⑥⑧． 18．若互为相反数，的倒数是p，且m的绝对值为2，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解相反数，倒数，绝对值的概念，解题的关键是明确有理数混合运算顺序. 根据相反数，倒数，绝对值的概念分别求得，然后代入求值. 【详解】解：因为互为相反数，的倒数是p，且m的绝对值为2， 所以， 所以， 所以． 19．某领导慰问高速公路养护小组，乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，， (1)求该领导乘车最后到达的地方？ (2)行驶1千米耗油0.15升，则这次巡视共耗油多少升？ 【答案】(1)该领导乘车最后到达的地方在服务区东边8千米处 (2)这次巡视共耗油7.8升 【分析】（1）6个数求和即可； （2）求出走的总路程，然后计算耗油量． 【详解】（1）（千米）， 答：该领导乘车最后到达的地方在服务区东边8千米处； （2）（升）， 答：这次巡视共耗油7.8升． 【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题关键． 20．【新运算】 (1)定义一种新运算“*”．规定 ，求． (2)定义一种新运算“®”，已知，求的值． 【答案】(1)1.5 (2)190 【分析】本题考查了新定义，有理数的运算，解题的关键是： （1）根据新定义分别求出，，即可求解； （2）根据新定义分别求出，，即可求解． 【详解】（1）解∶根据题意，得， ； （2）解：根据题意，得，， 所以． 21．观察下列各式：；根据规律解答下列各题： (1)________________． (2)计算：________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据题目中给定的等式，得到，即可得出结论； （2）利用裂项相加法进行求解即可； （3）利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 22．疫情期间，某工厂一周计划生产2100套防护服，平均每天计划生产300套．由于各种原因，实际上每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 +13 +16 (1)根据记录可知，前三天共生产了________套防护服； (2)产量最少的一天比产量最多的一天少生产了________套防护服； (3)该厂实行计件工资制，每生产一套防护服得20元，超额完成部分则每套防护服奖50元，少生产一套则扣50元，那么该工厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)899 (2)26 (3)42630元 【分析】（1）用前3天增减的量再加上前三天计划生产的总量即得答案； （2）用表中的最大值减去最小值即可求解； （3）先计算出一周实际的出入量，再计算总的工资总额即可． 【详解】（1）根据记录可知，前三天共生产了套防护服； 故答案为：899； （2）产量最少的一天比产量最多的一天少生产了套防护服； 故答案为：26； （3）套， 所以工人这一周超额完成9套， 一周共生产防护服：套； 所以该工厂工人这一周的工资总额是：元． 【点睛】本题考查了有理数加减运算的应用，正确理解题意、列出相应的算式是解题关键． 23．某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表（进库为正，出库为负，单位：吨）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计 表中星期五的进出数被墨水涂污了． (1)请你算出星期五的进出数； (2)如果进出的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？ 【答案】(1)星期五的进出数为吨 (2)这一周要付1660元装卸费 【分析】本题考查有理数运算的实际应用。 （1）用总数减去其它数据，即可； （2）将周一到周天的所有的数据的绝对值相加，再乘以10即可； 读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键。 【详解】（1）解：； ∴星期五的进出数为吨； （2）这一周的装卸费为：（元）． 答：这一周要付1660元装卸费． 能力提升进阶练 一、单选题 1．的相反数是（    ） A．2025 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2．为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．前年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：“3259亿”用科学记数法表示为， 故选C． 3．若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法和减法，绝对值的意义，解题的关键是根据已知条件逐步推出两个数的符号以及绝对值的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，或且， ∵， ∴且， ∴， 故选B． 4．数轴上的三个有理数a，b，c的大致位置如图所示，则下列选项中，值最小的是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数，绝对值和数轴，根据数轴上点的位置得：，，结合数轴和绝对值依次判断即可得解，理解数轴上点的特点，结合有理数、绝对值的运算性质解题是关键． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，， ∴，，，， ∴结合数轴得， ∴ ， 故答案为：A ． 5．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则|a+b-c|等于（） A．-1 B．1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，可得：a＝−1，b＝0，c＝1，据此求出|a＋b-c|等于多少即可． 【详解】解：∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数， ∴a＝−1，b＝0，c＝1， ∴|a＋b-c|＝|−1＋0-1|＝|−2|=2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数加减混合运算以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握． 6．已知：，且，，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，本题解题的关键在于，理解一个数的绝对值的含义是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．再就是两数乘积小于0，则这两个数一正一负，异号；若两个数乘积大于0，则这两数同正或者同负，同号． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵，即：，同号， ∴当时，，此时：， 当时，，此时：， 故的值为1或， 故选：A． 7．如图，数轴上有，，，四个点，其中所对应的数的绝对值最小的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据题意和数轴，绝对值的定义可以解答本题． 【详解】解：由数轴可得， 绝对值最小的数离原点最近，所以绝对值最小的点是点B， 故选：B． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用绝对值和数形结合的思想解答． 8．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 【答案】B 【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】∵四个互不相同的正整数，满足， ∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，， 解得：， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 10．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 二、填空题 11．的绝对值的倒数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值和倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：，的倒数是5， 故答案为：5． 12．小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据除法与乘法互为逆运算，只需要计算出的结果即可． 【详解】解： ． ∴*代表的数是30． 故答案为：30． 13．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 14．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解题的关键． （）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出，的值然后解题即可． 【详解】解：（）∵， ∴， 故答案为： （）∵，， ∴（负值舍去），， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 16．把下列各数填在相应的集合中： 8，﹣1，﹣0.4，，0，，π，﹣（﹣5），． 正数集合{　 　…}； 负数集合{　 　…}； 整数集合{　 　…}； 分数集合{　 　…}； 【答案】见解析 【分析】按照正负数，整数，分数的分类方法分类即可． 【详解】解： 正数集合{8， ，π，﹣（﹣5）…}；   负数集合{﹣1，﹣0.4，，…}；    整数集合{8，﹣1，0，﹣（﹣5）…}；    分数集合{﹣0.4，，，…}； 【点睛】本题考查了有理数的分类，相反数，绝对值，掌握实数分类的方法是解决问题的关键． 17．在数轴上表示下列各数，并用“”连接起来． ，，，，，． 【答案】，数轴见解析 【分析】首先根据绝对值和相反数的定义，得出，，再将各数在数轴上表示出来，再根据利用数轴进行有理数大小比较的方法进行比较． 【详解】解：∵，， 把各数在数轴上表示如下： ． 【点睛】此题考查了运用数轴表示有理数、有理数大小比较、绝对值和相反数的定义，关键是能准确理解和运用以上知识． 18．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，求的值． 【答案】5或-3 【分析】根据a、b互为相反数，可得：；c、d互为倒数，可得：；m的绝对值为4，可得：，据此求出的值． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴； ∵c、d互为倒数， ∴； ∵m的绝对值为4， ∴， 当m=4时， ； 当m=-4时， 故答案为：5或-3． 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及了相反数，倒数，绝对值等知识，正确掌握倒数，相反数和绝对值的定义是解题的关键． 19．有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重_______千克． (2)这8筐白菜中最重的重_______千克；最轻的重_______千克． (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1) (2)27；22． (3)出售这8筐白菜可卖397元． 【分析】本题考查了有理数的加减法和乘法运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）纪录中绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数； （2）找到记录中最大的数和最小的数，然后根据标准求解即可； （3）计算出8筐白菜的实际重量，然后乘以每千克售价可得答案． 【详解】（1）解：最接近标准重量的是纪录中绝对值最小的数， ， ∴这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重（千克）， 故答案为：； （2）解：记录中最大的数为2，最小的数为 （千克），（千克） 这8筐白菜中最重的重27克；最轻的22千克， 故答案为：27；22． （3）解：（千克） （元， 答：出售这8筐白菜可卖397元． 20．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层. (1)图①中共有___________个圆圈： (2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________. (3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和. 【答案】(1)66 (2)56 (3)1179 【分析】（1）计算第11层小圆圈的个数，就是计算1加到11的数的和； （2）首先计算10层圆圈的个数，可得第11层第1个数； （3）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可． 【详解】（1）解：当小圆圈有11层时，共有：1+2+3+…+11==66个圆圈； 故答案为：66； （2）当有10层时，共有：1+2+3+…+10==55个圆圈 则第11层最左边圆图的数是56， 故答案为：56； （3）当小圆圈有11层时，共有66个圆圈，故圆圈里的数为，其中23个负数，1个0，42个正数， ∴图④所有圆圈中各数的绝对值之和： = = =1179 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 21．我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可； （2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 22．质量检测部门从某洗衣粉厂9月份生产的洗衣粉中抽出了8袋进行检测，每袋洗衣粉的重量统计列表如下（单位：克）： 第n袋 1 2 3 4 5 6 7 8 重量 444 447 448 450 451 454 455 449 (1)质检员依据厂家的标准质量简化运算，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整： 第n袋 1 2 3 4 5 6 7 8 重量 (2)厂家规定超过或不足的部分大于4克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为元，请计算这8袋洗衣粉中合格品的销售总金额为多少元． 【答案】(1)填表见解析 (2)元 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，乘法运算的实际应用，理解题意是解本题的关键． （1）先求解标准质量为克，再填表即可； （2）先判断有2袋不合格，再利用单价乘以数量可得答案． 【详解】（1）解：由第3袋为克，记为克，可得标准质量为克， ∴填表如下： 第n袋 1 2 3 4 5 6 7 8 重量 0 （2）由表格信息可得：第1袋，第7袋不符合要求，不能销售， ∴这8袋洗衣粉中合格品的销售总金额为（元）； 23．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①3；1；②1275 【分析】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 当，均在上时，取最小值，且最大值为1； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数（复习讲义） 一、学习目标 1.理解掌握正负数的相关概念； 2.熟练掌握有理数的分类； 3.掌握数轴、相反数和绝对值相关概念及其几何意义； 4.能灵活应用相反数和绝对值相关性质比较大小. 5.熟练掌握有理数运算法则 6.熟练掌握近似数的概念和能准确进行近似数运算 二、学习重点：数轴、相反数、绝对值的性质运用；有理数运算法则; 三、学习难点：数轴、相反数、绝对值性质运用，有理数混合运算, 理解应用题题意求解 知识点1 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 知识点2 相反意义的量 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 知识点03 ：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 知识点04 ：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点05 ：数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 应用 ：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 知识点06: 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点07: 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 6.利用绝对值比较大小: 1.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 知识点08: 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 知识点09： 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 知识点10： 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 知识点11： 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点12： 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点13： 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点14： 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 知识点15： 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点16： 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点18： 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 知识点19： 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 题型一 正负数与0的识别 【例1】下列数中，属于负数的是（    ） A．2025 B．0 C．0.25 D． 【变式1-1】把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 【变式1-2】北宋沈括在《梦溪笔谈》中提到“算法用赤筹、黑筹，以别正、负之数”，古人用红色、黑色算筹分别表示具有相反意义的正数和负数，下列各数中不是负数的是（   ） A． B． C．1 D． 【变式1-3】在数5，，，，0.76中负数有 ，正数有 ． 题型二 相反意义的量 【例2】“白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高记作（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】我国古代的《九章算术》是世界数学史上首次正式引入负数的文献，若收入元可记作元，则支出元可记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-2】一次考试中，老师采取一种记分制：得130分记为分，得50分记为分．如果小明的成绩记为分，那么他的实际得分为 分． 【变式2-3】下列各组量中，具有相反意义的是（   ） A．长大3岁和减少3kg B．上升了6m和下降了7m C．卖出10斤米和盈利10元 D．向东行30m和向北行30m 题型三 正负数的实际应用 【例3】体育老师根据如图所示的实心球质量参考规格去器材室挑选实心球，则下列实心球质量符合标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】某火锅店以每天盈利元为标准，盈利超过元的部分记作正数，不足元的部分记作负数，如某天盈利元，记作元．下面是该火锅店某周的盈利情况统计表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 请你计算该火锅店这周共盈利多少元． 【变式3-2】学校对七年级学生进行体质健康测试，在引体向上项目中，男生引体向上个数为10个以上记为优秀，9~10个记为良好，4~8个记为及格，低于4个记为不合格．以9个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中12名男生的成绩记录如下表： 序号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 成绩 （个） 0 (1)表中“”表示的意义是___________； (2)这组男生引体向上的成绩优秀率是多少？ (3)你对成绩没有达到良好的同学有些什么建议？ 【变式3-3】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次．例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“”，此时标记线对准的数是5，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示哪个数？如果一组开锁密码为“”，要想打开锁，应如何旋转锁盘？锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？ 题型四 有理数的概念的理解 【例4】下列各数中有理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】在，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有 个． 【变式4-2】这些数：8，，，0，，中，有理数有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．3 【变式4-3】在实数中，有理数有（　　）个 A．2 B．4 C．3 D．5 题型五 有理数的分类 【例5】把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【变式5-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，，，，，，，． 整数集合{______________________…}； 分数集合{______________________…}； 非负数集合{______________________…}； 负有理数集合{______________________…}． 【变式5-2】把下列各数填入相应的大括号里： 6，0，，，0.5，，，，， 整数集合{               …}； 负分数集合{               …}； 正有理数集合{               …}； 负有理数集合{               …}． 【变式5-3】将下列各数填入相应的括号里： ，，  0，  8，，  ，  ，   ，   （1）负分数集合  { }； （2）整数集合    { }； （3）负有理数集合{ }； （4）非负数集合  { }； 题型六 数轴的三要素及其画法 【例6】如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式6-1】下列各图中所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型七 用数轴上的点表示有理数 【例7】画出数轴并标出表示下列各数的点． 【变式7-1】在数轴上标出下列各数：，0，，，，，并把它们用“”连接起来． 【变式7-2】如图，数轴上点表示的数为 ． 【变式7-3】在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来． ， ， ， ， 0． 题型八 数轴上两点之间的距离 【例8】在数轴上，距原点距离为2的点是 ． 【变式8-1】已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 【变式8-2】如下图，一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在和上．将木棒在数轴上水平移动，点的对应点分别为点． （1）若点表示的数为，在图中画出此时木棒的位置并标出点的位置． （2）若点与点的距离为，求点表示的数． 【变式8-3】我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题： (1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______； (2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数． 题型九 数轴上整点覆盖问题 【例9】一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有 个． 【变式9-1】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【变式9-2】小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式9-3】如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 题型十 根据数轴判断大小正负 【例10】如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所表示的数最小的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【变式10-1】(1)把下列各数的绝对值在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列，用“>”连接起来 ． (2)把下列各数及它们的相反数在数轴上表示出来，并把这些数及它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“<”连接起来． 【变式10-2】给出数轴比较变式为画数轴比较 （1）若，用“”连接，其结果是 ． （2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为 ． 【变式10-3】如图，在数轴上有三个点，请回答下列问题： (1)若将点向左移动5个单位长度后，则点________所表示的数最大，是________． (2)若将点向右移动4个单位长度后，到达点，用“”把三点表示的数连接起来为________． (3)若将点向左移动8个单位长度后，点所表示的数比点表示的数小________． (4)怎样移动其中两个点，可以使三个点表示的数相同且最大？最大为多少？ 题型十一 数轴上的动点问题 【例11】随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到A村，继续向东行驶到B村，然后向西行驶到C村，最后回到快递点． (1)以该快递点为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示画数轴，并在该数轴上表示出三个村庄的位置． (2)C村离A村有多远？ (3)已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？ 【变式11-1】点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置．已知点B与原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为 ． 【变式11-2】点A在数轴上表示的数是a，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（   ） A． B． C．6 D．3 【变式11-3】如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 题型十二 数轴上的规律探究问题 【例12】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式12-1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【变式12-2】三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【变式12-3】正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 题型十三 相反数概念的运用 【例13】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式13-1】的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【变式13-2】如果a与互为相反数，那么a的值是（   ） A． B． C． D．2024 【变式13-3】已知A，B是数轴上的两点，则点A，B在数轴上表示的数可能互为相反数的是（   ） A． B． C． D． 题型十四 化简多重符号 【例14】（1）________． （2）________． （3）回答下列问题： ①当前面有2024个负号时，化简后的结果是多少？ ②当前面有2025个负号时，化简后的结果是多少？ ③你能总结出什么规律？ 【变式14-1】在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式14-2】化简下列各数： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【变式14-3】下列化简中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十五 求绝对值 【例15】（   ） A． B． C．3 D． 【变式15-1】的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】的绝对值为（   ） A．5 B． C． D． 【变式15-3】 ， 题型十六 绝对值的非负性 【例16】已知是非负数，且非负数中最小的数是0． （1）已知，则的值是 ； （2）当 时，有最小值，最小值是 ． 【变式16-1】如果是有理数，则的最小值是 ． 【变式16-2】若，则 ， ． 【变式16-3】若与的值互为相反数，则的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十七 绝对值的应用题 【例17】正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定，允许有的误差．下面是个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的千克数，用负数记不足规定质量的千克数，单位：）： 1号 2号 3号 4号 5号 6号 （1）请你指出哪几号排球符合要求． （2）请你对6个排球按照最好到最差排名． 【变式17-1】如图，检测5个排球，其中超过标准质量的克数记为正数． (1)各表示什么？ (2)哪个球的质量最接近标准质量？请说明理由． 【变式17-2】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【变式17-3】检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（   ） A． B． C． D． 题型十八 绝对值的几何意义 【例18】（1）已知，则 ． （2）已知，则 ． （3）已知，则 ． 【变式18-1】马小哈在计算一道有理数运算时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于6．”被墨水遮住的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．或9 【变式18-2】根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【变式18-3】（1）数轴上表示3的点与原点的距离是_________，所以3的绝对值是_________，即_________； （2）数轴上表示的点与原点的距离是_________，所以的绝对值是_________，即_________； （3）数轴上表示0的点与原点的距离是_________，所以0的绝对值是_________，即_________． 题型十九 有理数的大小比较 【例19】比较有理数的大小： (1)和； (2) 和 【变式19-1】若，且，则 ， ．（写出一种情况即可） 【变式19-2】比较大小： （填“”或“”）． 【变式19-3】比较大小： ．（用“”“”或“”连接） 题型二十 有理数加法运算 【例20】（1）计算：；             （2）计算：． 【变式20-1】计算： (1)； (2)； 【变式20-2】计算： (1)； (2)； 【变式20-3】计算下列各题： (1)； (2)； 题型二十一 有理数加减运算律 【例21】计算：． 【变式21-1】计算：． 【变式21-2】运用加法的运算律简单计算： （1）． （2）． （3）． 【变式21-3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型二十二 有理数的减法运算 【例22】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式22-1】已知，． (1)若a，b同号，求的值． (2)若a，b异号，求的值． 【变式22-2】计算：． 【变式22-3】计算：． 题型二十三 有理数的加减混合运算 【例23】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式23-1】计算： (1)． (2)． 【变式23-2】计算： (1) (2) 【变式23-3】计算： (1)． (2)． 题型二十四 有理数的乘法运算 【例24】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式24-1】计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【变式24-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式24-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二十五 有理数的乘法运算律 【例25】用简便方法计算： (1)． (2)． 【变式25-1】计算： (1)． (2)． 【变式25-2】计算： (1)． (2)． 【变式25-3】运用乘法运算律计算： (1)． （2） 题型二十六 倒数 法运算 【例26】写出下列各数的倒数： (1)． (2)． (3)． 【变式26-1】若互为相反数，的倒数是p，且m的绝对值为2，求的值． 【变式26-2】求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)1.2； (2)； (3)． 【变式26-3】如图中的不完整数轴的单位长度为1，点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c， (1)若点B是原点，则 ； (2)若点A，B表示的数互为相反数，求的值； (3)若点C表示的数的倒数是它本身，且，求p的值． 题型二十七 有理数的除法运算 【例27】计算（能简算的要简算）： (1)． (2)． 【变式27-1】计算： (1)； (2)． 【变式27-2】计算： (1)； (2)． 【变式27-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二十八 有理数的乘除混合运算 【例28】计算： (1)； (2)． 【变式28-1】计算： 【变式28-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式28-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二十九 绝对值化简分类讨论问题 【例29】我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【变式29-1】如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：   ①；②；③；④  ． 其中正确的个数有    （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式29-2】下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且时，则的值为或3； ③若且，则式子的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式29-3】下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 题型三十 幂的概念 【例30】下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个2相加 C．与意义相同 D．的指数是3 【变式30-1】的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ；的底数是 ，指数是 ． 【变式30-2】把写成乘方的形式为 ，把写成乘方的形式为 ． 【变式30-3】已知：，则（   ） A． B． C． D． 题型三十一 有理数的乘方运算 【例31】计算： (1)． (2)． 【变式31-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式31-2】 【变式31-3】计算： ． 题型三十二 科学计数法 【例32】据报道：截至2024年底，我国境内有效发明专利量达到475.6万件，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4756000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式32-1】2025年“五一”假期，湖北省实现旅游总收入243.6亿元，将数据243.6亿用科学记数法表示为 ． 【变式32-2】电影《哪吒2：魔童闹海》于2025年1月29日在中国大陆上映以来，获得了极高的评价，截至2月26日全球票房突破139亿元，请将数据139亿写成科学记数法为 ． 【变式32-3】2025年4月24日，长征二号F火箭成功发射神舟二十号载人飞船，首次将一种拥有强大再生能力的扁形动物涡虫送上太空．据了解，涡虫是具有亿年进化史的再生生物．将数据520000000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 题型三十三 有理数的四则混合运算 【例33】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式33-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式33-2】计算： (1)； (2) (3) (4)． 【变式33-3】计算： (1)； (2)． 题型三十四 有理数的运算:错题复原 【例34】淇淇计算时，步骤如下： 解：原式① ② ．③ （1）在淇淇的计算过程中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． （2）正确的答案是 ． 【变式34-1】阅读下面解题过程并解答问题． 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)上面解题过程中错误的步骤是________； (2)请你写出正确的解题过程． 【变式34-2】阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【变式34-3】阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是___________，从第___________步开始出现错误； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了___________（填数学定律） (3)请将正确解答过程补充完整． 题型三十五 流程图的运算 【例35】小明编写了一个程序，如图，若输入x是，则输出的值为（   ） A． B．8 C． D．2 【变式35-1】乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【变式35-2】【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式35-3】天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 基础巩固通关测 一、单选题 1．的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 2．哈市某天最高气温为8℃，最低气温为-2℃，则这一天的温差为（    ） A．-10℃ B．6℃ C．10℃ D．16℃ 3．在3中，比0小的数是（   ） A． B．1 C． D．3 4．已知，那么的大小关系是（    ） A．a＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞b C．a＞b＞-a＞-b D．a＞-b＞b＞-a 5．下列叙述正确的是(   ) A．不是正数的数一定是负数 B．正有理数包括整数和分数 C．整数不是正整数就是负整数 D．有理数绝对值越大，离原点越远 6．由四舍五入得到的近似数2.40万精确到了（　　） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．百位 7．为了更好地了解家乡、热爱家乡，无为市某校发起了题目为“无为有为，大有作为”的数学活动．七年级小朵同学积极参与，她在网络上查到2022年该市实现地区生产总值610亿元，比上年增长，这标志着该市战胜疫情的不利影响，继续在高质量发展的道路上砥砺前行．请将数据610亿用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 9．某校模型社团制作建筑模型，为确保稳定性，模型高度的精度要求如下： 设计高度h（单位：） 允许偏差（单位：） 社团成员对编号为甲，乙，丙，丁的四个模型进行测量，获得了以下数据： 模型编号 甲 乙 丙 丁 设计高度h（单位：） 30.0 32.0 74.0 95.0 实际高度（单位：） 29.6 32.0 72.8 97.1 其中不符合精度要求的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么在①；②；③；④四个关系式中，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．把按四舍五入的方法精确到千分位的近似数为 ． 12．比较大小： （填“”“ ”或“＝”）． 13．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，则、b、的大小关系 ． 14．若，，则n的值为 ． 三、解答题 15．计算： 16．在数轴上表示下列各数，并用“”连接． ，，，，， 17．把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） (1)正数：　　1　　； (2)负数：　　2　　； (3)整数：　　3　　； (4)分数　　4　　． 18．若互为相反数，的倒数是p，且m的绝对值为2，求的值． 19．某领导慰问高速公路养护小组，乘车从服务区出发，沿东西向公路巡视，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，， (1)求该领导乘车最后到达的地方？ (2)行驶1千米耗油0.15升，则这次巡视共耗油多少升？ 20．【新运算】 (1)定义一种新运算“*”．规定 ，求． (2)定义一种新运算“®”，已知，求的值． 21．观察下列各式：；根据规律解答下列各题： (1)________________． (2)计算：________． (3)计算：． 22．疫情期间，某工厂一周计划生产2100套防护服，平均每天计划生产300套．由于各种原因，实际上每天的生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产为正，减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +5 +13 +16 (1)根据记录可知，前三天共生产了________套防护服； (2)产量最少的一天比产量最多的一天少生产了________套防护服； (3)该厂实行计件工资制，每生产一套防护服得20元，超额完成部分则每套防护服奖50元，少生产一套则扣50元，那么该工厂工人这一周的工资总额是多少？ 23．某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表（进库为正，出库为负，单位：吨）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计 表中星期五的进出数被墨水涂污了． (1)请你算出星期五的进出数； (2)如果进出的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．的相反数是（    ） A．2025 B． C． D．1 2．为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．前年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．若，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．数轴上的三个有理数a，b，c的大致位置如图所示，则下列选项中，值最小的是（   ） A．a B． C． D． 5．已知a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数，c是最小的正整数，则|a+b-c|等于（） A．-1 B．1 C．0 D．2 6．已知：，且，，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 7．如图，数轴上有，，，四个点，其中所对应的数的绝对值最小的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（　　） A．40 B．53 C．60 D．70 9．若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 二、填空题 11．的绝对值的倒数是 ． 12．小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹查了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 13．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 14．数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．把下列各数填在相应的集合中： 8，﹣1，﹣0.4，，0，，π，﹣（﹣5），． 正数集合{　 　…}； 负数集合{　 　…}； 整数集合{　 　…}； 分数集合{　 　…}； 17．在数轴上表示下列各数，并用“”连接起来． ，，，，，． 18．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，求的值． 19．有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重_______千克． (2)这8筐白菜中最重的重_______千克；最轻的重_______千克． (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 20．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层. (1)图①中共有___________个圆圈： (2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________. (3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和. 21．我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． (1)计算： (2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 22．质量检测部门从某洗衣粉厂9月份生产的洗衣粉中抽出了8袋进行检测，每袋洗衣粉的重量统计列表如下（单位：克）： 第n袋 1 2 3 4 5 6 7 8 重量 444 447 448 450 451 454 455 449 (1)质检员依据厂家的标准质量简化运算，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整： 第n袋 1 2 3 4 5 6 7 8 重量 (2)厂家规定超过或不足的部分大于4克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为元，请计算这8袋洗衣粉中合格品的销售总金额为多少元． 23．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$