12.5 全等三角形的判定（基础）（题型专练）数学新教材北京版八年级上册

12.5 全等三角形的判定（基础） 题型一 利用 SSS 证明三角形全等 1．（2024八年级上·北京·专题练习）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键．利用全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 2．（22-23八年级上·北京大兴·期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据线段的和差求出，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)． 3．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 题型二 利用 SAS 证明三角形全等 4．（24-25七年级下·北京·期末）如图，点F，C在线段上，，．与全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据平行线的性质可得，再证出，然后根据定理即可得证． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 5．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键；求出，根据推出两三角形全等即可； 【详解】证明：，， ， ， 即， 在和中， ． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 题型三 利用 ASA 证明三角形全等 7．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】由得，由得，再根据即可得． 本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵中，， ∴， 在和中， ， ∴． 8．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定，根据“两直线平行，同位角相等”，得出，结合已知，，利用证明即可，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵点在线段上，， ∴（两直线平行，同位角相等）， 在和中， ， ∴． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）解法一：由平行线推出，由此利用证明；解法二：由平行线推出，根据证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：解法一， ． 在和中， ． 解法二 ． 在和中， ． （2）解：由（1）知， ， ． 题型四 利用 AAS 证明三角形全等 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，点D落在点B处，使点C落在点处，折痕为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，平行线的性质等，掌握折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质可得，，，进而证明，可证． 【详解】证明：在长方形中，，，． 由折叠的性质可得，，， ，，， ， ． 11．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图所示，已知在平行四边形中，E是边的延长线上一点，且，连结，分别交，于点F，G．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质得，，然后再求，利用证明，即可得出结论. 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵， 在与中 ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 题型五 利用HL证明三角形全等 13．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键．由，可得出，即可证明； 【详解】证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用斜边中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：于D， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 点E为的中点， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．掌握上述性质是解题的关键． 15．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型一SSS 与全等三角形的性质综合应用 16．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，点在上，，，，相交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边等知识，先证，得到，再得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·北京·期中）请根据条件进行推理，完成下面的证明，并在括号内注明理由． 如图，于E，于F． 求证：． 证明：在和中， ∴（             ）． ∴ ． ∴是的角平分线． 又∵于E，于F， ∴（              ）． 【答案】；；，；角平分线的性质 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据证明过程，先证明，再根据角平分线的性质按照题意填空即可． 【详解】证明：在和中， ∴． ∴． ∴是的角平分线． 又∵于E，于F， ∴（角平分线的性质）． 18．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）已知，点为中点，，为边，上的动点，且满足，为平面内一点，，，连接，． (1)若点为边和边上的高的交点，求证：； (2)若点不与三角形高的交点重合，与是否还有上述关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】（1）利用三角形内角和即可得到本题答案； （2）取和中点分别为，连接，利用中位线定理及直角三角形斜边中线可得，，则证明 ，再利用全等性质及外角和性质即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：取和中点分别为，连接， ， ∵点为中点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，外角和性质．正确作出辅助线是解决本题的关键． 题型二 SAS 与全等三角形的性质综合应用 19．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用菱形的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用菱形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：菱形， ， ， ，即， 在和中 ， ， ． （2）证明：由（1）得，， ， 菱形， ， ， ． 20．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，中， (1)求证： (2)作的平分线交于点G， ①求证： ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，②10 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）①在上截取， 连接，证明，得到三角形的外角，推出，进而得到，根据，等量代换，即可得出结论； ②根据线段的和差关系，等量代换得到，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）①证明：∵，， ∴， 在上截取， 连接， 如图所示： ∵是的平分线， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴． 21．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长至点，使，连接，证明，得，，再由等腰三角形的性质得，进而证明，然后由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长至点，使，连接，   是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 题型三 ASA 与全等三角形的性质综合应用 22．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，若点的坐标为，求出点的坐标； (2)如图2．若点在轴负半轴上运动，且，其他条件不变，连接，求证：平分． 【答案】(1)点的坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）先判断出得出，即可得出结论； （2）由得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵轴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标分别为， ∴， 在△AOC和△BOE中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为； （2）如图②， 过点作 于， 于， ， ， ， ， ∴点一定在的角平分线上， ， ∴平分． 23．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，且，连接交于点G． (1)若，求线段的长； (2)作的平分线交于点M，交线段的延长线于点N，若，，直接写出线段的长（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，，由是的垂直平分线得到，则，那么，则在中，，故，则； （2）由（1）知，而，则，证明，则，那么，故． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴ ∴ （2）解：如图， 由（1）知，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24．（24-25八年级上·北京·期中）如图，为等边三角形，在内作射线，点关于射线的对称点为点，连接，作射线交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，写出的大小：________（用含的代数式表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）依题意补全图形； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出答案； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图1所示 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：，证明如下： 如图2，在上取一点F，使，    由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 题型四 AAS 与全等三角形的性质综合应用 25．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点满足关系式．连接，以为直角顶点在第二象限内做等腰直角，过点作轴于点，以为直角边做等腰直角，连接，交轴于点． (1)直接写出点、点的坐标； (2)请求出点的坐标； (3)线段与有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了一次函数，全等三角形的判定与性质，熟练求得一次函数的解析式是解本题的关键． （1）根据得到，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）求得直线的解析式，求得点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：以为直角顶点在第二象限内做等腰直角， , 轴,， , ， 在与中， , ， , ， ； （3）解：由（2）得， ， 以为直角边做等腰直角， , , 设直线的解析式为， 把，代入解析式可得， ，解得， 直线的解析式为， , , , ． 26．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)（或或） 【分析】（1）①正确画图即可； ②根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可解答； （2）如图2，过点F作于H，证明是等腰直角三角形，证明，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的倍即可解答． 【详解】（1）解：①如图1所示， ②∵点D关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点F作于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由②知：， ∴， ∵， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是解题的关键． 27．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 【答案】(1)①，②； (2)的长为． 【分析】本题考查了几何与坐标，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①先得到是等腰直角三角形，再得出，，利用三角形外角的定义即可求解； ②作轴于点轴于点，则，证明，得到，即可求解； （2）作于点，则，先证明，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②如图1，作轴于点轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴； （2）解：如图2，作于点，则， ，，轴于点，轴于点， ∴，，，， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴的长为． 题型五 HL与全等三角形的性质综合应用 28．（24-25八年级上·北京·期末）小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．证明，得出，根据，求出，即可证明结论； 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． 29．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，E是上一点，，且． (1)如果，则的度数为______； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：， ， ∵平分， ， ∵，即， ， 故答案为：． （2）解：． 证明：过点作于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 30．（2023·北京西城·一模）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． (1) 求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）作于点P，于点Q，证明，得到，设交于点I，则，即可得证； （2）线段和线段的延长线上分别取点F、点G，连接、，使，证明，推出，得到，则，从而即可得证． 【详解】（1）证明：作于点P，于点Q，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设交于点I，则， ∴． （2）解：补全图片如图所示， ，理由为： 在上取一点R，使， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见解析： (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据等边三角形的性质得到，，则，根据对称的性质得到，求得 ，于是得到． （3）如图：延长到M，使，连接．根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，则得到，再运用等量代换即可解答． 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下： ． （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点C关于直线的对称点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：线段之间的数量关系是，证明如下： 证明：如图：延长到M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 32．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． (1)①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)①见解析；②结论：，见解析 【分析】（1）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②证明，即可； （2）①利用轴对称变换的性质作出图形即可； ②结论：．设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接．证明，推出可得结论． 【详解】（1）解：①如图1所示： ②证明：，C关于直线l对称， ， ，， ， ， ， ； （2）解：①图形如图2所示； ②结论： 理由：设交于点O，在线段上截取线段，使得，连接． 由（1）可知， ， ， ，， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 33．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C． (1)求b的值和，的长． (2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数，平面直角坐标系和三角形全等的判定，掌握了以上知识是解题的关键； （1）把代入，可得长度，然后把把代入，求出点的坐标，进而求出，把代入，求出的长度； （2）需要先证明，然后分别求出和，求出，再求出和，求出，即可求解 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴点B为， 把点代入，得， ∴， 把代入，得， 即； （2）解：记交x轴于点F，如图： ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.5 全等三角形的判定（基础） 题型一 利用 SSS 证明三角形全等 1．（2024八年级上·北京·专题练习）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 2．（22-23八年级上·北京大兴·期中）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，．求证：． 3．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 题型二 利用 SAS 证明三角形全等 4．（24-25七年级下·北京·期末）如图，点F，C在线段上，，．与全等吗？为什么？ 5．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，，，，求证：． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 题型三 利用 ASA 证明三角形全等 7．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，，．求证：． 8．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，点在线段上，，，．求证：． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：≌； (2)若，求的长． 题型四 利用 AAS 证明三角形全等 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，点D落在点B处，使点C落在点处，折痕为．求证：． 11．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图所示，已知在平行四边形中，E是边的延长线上一点，且，连结，分别交，于点F，G．求证：． 12．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 题型五 利用HL证明三角形全等 13．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：． 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 15．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型一SSS 与全等三角形的性质综合应用 16．（24-25八年级上·北京西城·期中）如图，点在上，，，，相交于点．求证：． 17．（24-25八年级上·北京·期中）请根据条件进行推理，完成下面的证明，并在括号内注明理由． 如图，于E，于F． 求证：． 证明：在和中， ∴（             ）． ∴ ． ∴是的角平分线． 又∵于E，于F， ∴（              ）． 18．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）已知，点为中点，，为边，上的动点，且满足，为平面内一点，，，连接，． (1)若点为边和边上的高的交点，求证：； (2)若点不与三角形高的交点重合，与是否还有上述关系？请说明理由． 题型二 SAS 与全等三角形的性质综合应用 19．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点．求证： (1)； (2)． 20．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）如图，中， (1)求证： (2)作的平分线交于点G， ①求证： ②求的长． 21．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：．    题型三 ASA 与全等三角形的性质综合应用 22．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，若点的坐标为，求出点的坐标； (2)如图2．若点在轴负半轴上运动，且，其他条件不变，连接，求证：平分． 23．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，且，连接交于点G． (1)若，求线段的长； (2)作的平分线交于点M，交线段的延长线于点N，若，，直接写出线段的长（用含a，b的式子表示）． 24．（24-25八年级上·北京·期中）如图，为等边三角形，在内作射线，点关于射线的对称点为点，连接，作射线交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)设，写出的大小：________（用含的代数式表示）； (3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 题型四 AAS 与全等三角形的性质综合应用 25．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点满足关系式．连接，以为直角顶点在第二象限内做等腰直角，过点作轴于点，以为直角边做等腰直角，连接，交轴于点． (1)直接写出点、点的坐标； (2)请求出点的坐标； (3)线段与有怎样的数量关系？请证明． 26．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 27．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 题型五 HL与全等三角形的性质综合应用 28．（24-25八年级上·北京·期末）小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸长不考虑且绳子始终是绷直的．如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得，．（图中的、、、在同一平面上），求证此时．    29．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，E是上一点，，且． (1)如果，则的度数为______； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 30．（2023·北京西城·一模）如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且． (1) 求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 31．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，为等边三角形，点D在上，且，作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 32．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点P，连接，线段交直线l于点D，连接． (1)①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，若， ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明． 33．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C． (1)求b的值和，的长． (2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$