4.1线段、射线、直线（第2课时）（导学案）数学北师大版2024七年级上册

4.1线段、射线、直线（第2课时）（导学案）（原卷版） （1）结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小。 （2）利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用。 （3）知道两点之间的距离和线段中点的含义。通过本课的教学，进一步培养学生的动手能力、观察能力。 重点：两点之间的距离和线段中点的含义及基本事实“两点之间线段最短”。 难点：两点之间线段最短的性质，并能初步应用及线段上中点的表示方法及运用。 第一环节 自主学习 温故知新： 1 线段有 端点。射线有 端点。直线 端点。 2 连接AB，就是要画出以A，B为端点的线段;延长线段AB，是指 延长;延长线段BA，是指 延长，这时也可以说 线段AB。    3 基本事实:经过两点有 直线，并且 直线。 简单说成:两点 直线。 新知自研：自研课本第113--114页的内容 【学法指导】 自研课本P113-114页内容，思考： 阅读.欣赏 线段构成的美丽图案。图4-8中的图案漂亮吗?这些图案中似乎包含了一些曲线，其实它们都是由多条线段构成的。 请你按照下面的步骤试一试。 (1)画一个角(如图4-9)；(2)在角的两边取距离相等的点； (3)将这些点按如图所示编上号码；(4)把号码相同的点用线段连起来。 看一看，你得到了什么图案?有趣吗? 利用这个办法尝试画出上面的图案。你也可以发挥想象，自己创作出更有趣的图案来! (一)线段基本事实 问题：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路。 如图，从A地到C地有四条道路，外怎样再修一条从A地到B地的最短道路? 根据生活经验，我们发现:两点之间的所有连线中，线段最短。 （1）从上面的结论中，可以得到一个关于线段的基本事实，你能用自己的语言表述吗？ （2）你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗? （3）我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。线段与线段的长度、两点间的距离的区别？ （二）比较线段的大小 思考.交流 下图中，哪棵树较高?哪支铅笔较长?窗框相邻的两条边哪条较长?你是怎么比较的? （1）从上面实际问题，你能得到怎样比较两条线段的长短的方法？ （2）想一想，什么情况下线段AB大于线段CD，线段AB等于线段CD呢?两条线段的大小关系有几种情况？ （三）作一条线段等于已知线段 问题1：用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上。 （1）只有没有刻度的直尺圆规你能画吗？ （2）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。上面是用无刻度直尺“作一条线段等于已知线段”，直尺和圆规分别发挥了什么作用? （3）已知线段a与b，怎样求线段a与b的和、差？ （四）线段的中点 问题：如图(1)，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫作线段AB的中点。 （1）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等(如图(2) (3).怎样表示中点、三等分点、四等分点线段间的关系呢？ 尝试.思考 （2）直线上顺次取A，B，C三点，使得AB=4cm，BC=3cm。如果点Ｏ是线段AC的中点，那么线段AC和OB的长度分别是多少? 【自研自探】 自研课本110-112页例题内容，回答问题： 例1.如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是(　　) A．两点之间，直线最短　　　B．两点确定一条线段 C．两点确定一条直线　　　　D．两点之间，线段最短 例2．为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点落在线段上时，　　　　　　； （2）当点与点重合时，　　　　　　； （3）当点落在线段的延长线上时， 　　　　　　 。 例3.　如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于 2a-b。 例4.若点C为线段AB上一点，且AB＝16，AC＝10，则AB的中点D与BC的中点E的距离为(　　) A．8 B．5 C．3 D．2 第二环节 合作探究 1.讨论如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路？ 2.讨论从上面的结论中，可以得到一个关于线段的基本事实，你能用自己的语言表述吗？你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗? 3.讨论什么叫两点之间的距离。线段与线段的长度、两点间的距离的区别？ 4.讨论比较两条线段的长短的方法？两条线段的大小关系有几种情况？ 5.讨论用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上？直尺和圆规分别发挥了什么作用? 6.讨论已知线段a与b，怎样求线段a与b的和、差？ 7.讨论什么是线段的中点？线段间的关系？类似地，还有线段的三等分点、四等分点等(如图(2) (3).怎样表示中点、三等分点、四等分点线段间的关系呢？ 8.拓展提升： 1. 如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求： (1)AD的长；　(2)AB∶BE. 课本课堂练习 1. 如图，比较折线AB和线段A'B'的长短，你有什么方法?需要什么工具? 2.如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点0。请用尺规按下列要求作图 (1)在射线OA，OB，OC上作线段 OA'，OB'，OC'，使它们分别与线段a相等； (2)在射线OD上作线段OD'，使OD'与线段b相等; (3)连接A'C'，C'B'， B'D'，D'A'。 你得到了一个怎样的图形?与同伴进行交流。 3.如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段m，使m=a+b。 1．（2024－2025.新余期末）下列现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2.（2024－2025.咸宁期末）如图，线段，点C是的中点，点D在上且，则线段CD的长（    ）    A． B． C． D． 3．（2024－2025.邢台期末）是同一直线上的三点，如果线段，，那么两点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 4．（2024－2025.张家口期末）如图，C为线段的中点，若点D在线段上，且．，则的长度是(   ) ． A．6 B．8 C．10 D．12 1.两点的所有连线中， 最短。简单说成: 之间， 最短。 2.两点之间 ，叫作这两点之间的距离。线段是 ，线段的长度、两点间的距离是 。 3.在尺规作图中，直尺只能用来作 ，不能用来量 ;而圆规实际上具有量 的功能，它可以把一条线段 到合适的位置。 4.两条线段的大小关系有三种： 。 5.点M把线段AB分成 AM与MB，点M叫作线段AB的 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1线段、射线、直线（第2课时）（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小。 （2）利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用。 （3）知道两点之间的距离和线段中点的含义。通过本课的教学，进一步培养学生的动手能力、观察能力。 重点：两点之间的距离和线段中点的含义及基本事实“两点之间线段最短”。 难点：两点之间线段最短的性质，并能初步应用及线段上中点的表示方法及运用。 第一环节 自主学习 温故知新： 线段有两个端点。射线有一个端点。直线没有端点。 连接AB，就是要画出以A，B为端点的线段;延长线段AB，是指按从端点A到B的方向延长;延长线段BA，是指按从端点B到A的方向延长，这时也可以说反向延长线段AB。    基本事实:经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简单说成:两点确定一条直线。 新知自研：自研课本第113--114页的内容 【学法指导】 自研课本P113-114页内容，思考： 阅读.欣赏 线段构成的美丽图案。图4-8中的图案漂亮吗?这些图案中似乎包含了一些曲线，其实它们都是由多条线段构成的。 请你按照下面的步骤试一试。 (1)画一个角(如图4-9)；(2)在角的两边取距离相等的点； (3)将这些点按如图所示编上号码；(4)把号码相同的点用线段连起来。 看一看，你得到了什么图案?有趣吗? 利用这个办法尝试画出上面的图案。你也可以发挥想象，自己创作出更有趣的图案来! (一)线段基本事实 问题：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路。 如图，从A地到C地有四条道路，外怎样再修一条从A地到B地的最短道路? 根据生活经验，我们发现:两点之间的所有连线中，线段最短。 （1）从上面的结论中，可以得到一个关于线段的基本事实，你能用自己的语言表述吗？ 两点的所有连线中，线段最短。简单说成:两点之间，线段最短。 （2）你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗? 学生交流讨论，列举生活中的例子。 （3）我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。线段与线段的长度、两点间的距离的区别？ 线段是图形，线段的长度、两点间的距离是数量. （二）比较线段的大小 思考.交流 下图中，哪棵树较高?哪支铅笔较长?窗框相邻的两条边哪条较长?你是怎么比较的? （1）从上面实际问题，你能得到怎样比较两条线段的长短的方法？ 比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较。 将一条线段移到另一条线段上时，通常使它们的一个端点重合，在上图中，点A与点C重合，点B落在点C，D之间，这时我们说线段AB小于线段CD，记作AB<CD. （2）想一想，什么情况下线段AB大于线段CD，线段AB等于线段CD呢?两条线段的大小关系有几种情况？ 根据点B落在直线上的位置来判断，B落在点CD延长线上，AB>CD，B和点D重合，AB=CD；从上可以看出：两条线段的大小关系有三种：AB<CD，AB=CD，AB>CD. 　　　　　　 （三）作一条线段等于已知线段 问题1：用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上。 （1）只有没有刻度的直尺圆规你能画吗？ 学生讨论并动手操作：先用直尺画直线，再用圆规在直线上截取CD=AB. （2）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图。上面是用无刻度直尺“作一条线段等于已知线段”，直尺和圆规分别发挥了什么作用? 在尺规作图中，直尺只能用来作直的线，不能用来量长度;而圆规实际上具有量长度的功能，它可以把一条线段“转移”到合适的位置。 （3）已知线段a与b，怎样求线段a与b的和、差？ 在直线上作线段AB=a，再在AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b (如下图 (1)). 设线段a>b，如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a-b(如下图(2)). （四）线段的中点 问题：如图(1)，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫作线段AB的中点。 （1）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等(如图(2) (3).怎样表示中点、三等分点、四等分点线段间的关系呢？ 学生讨论，得出如上图的结论. 尝试.思考 （2）直线上顺次取A，B，C三点，使得AB=4cm，BC=3cm。如果点Ｏ是线段AC的中点，那么线段AC和OB的长度分别是多少? AC=7cm，0B=0.5cm。这个问题是线段中点概念的简单应用。 【自研自探】 自研课本110-112页例题内容，回答问题： 例1.如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是(　　) A．两点之间，直线最短　　　B．两点确定一条线段 C．两点确定一条直线　　　　D．两点之间，线段最短 【分析】利用线段的基本事实进而直接得出答案． 【详解】解：把弯曲的河道改直缩短航程的根据是：两点之间，线段最短．故选D. 例2．为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点落在线段上时，　　　　　　； （2）当点与点重合时，　　　　　　； （3）当点落在线段的延长线上时， 　　　　　　 。 【分析】（1）正确画出图形，根据图形求解即可； （2）正确画出图形，根据图形求解即可； （3）正确画出图形，根据图形求解即可。 【详解】解：（1）如图，    当点落在线段上时，； （2）如图，    当点与点重合时，； （3）如图，    当点落在线段的延长线上时，． 故答案为：，，。 例3.　如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于 2a-b。 如图，在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=a，则线段AC=2a.在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2a-b. 例4.若点C为线段AB上一点，且AB＝16，AC＝10，则AB的中点D与BC的中点E的距离为(　　) A．8 B．5 C．3 D．2 师生共同完成：如图，D是AB的中点，E是BC的中点． ∵AB＝16，AC＝10， ∴CB＝AB－AC＝16－10＝6. 又∵D是AB中点，E是BC中点， ∴BD＝AB＝×16＝8，BE＝CB＝×6＝3， ∴DE＝BD－BE＝8－3＝5.故选B. 第二环节 合作探究 1.讨论如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路？ 2.讨论从上面的结论中，可以得到一个关于线段的基本事实，你能用自己的语言表述吗？你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗? 3.讨论什么叫两点之间的距离。线段与线段的长度、两点间的距离的区别？ 4.讨论比较两条线段的长短的方法？两条线段的大小关系有几种情况？ 5.讨论用尺规作图的方法可以将一条线段移到另一条线段上？直尺和圆规分别发挥了什么作用? 6.讨论已知线段a与b，怎样求线段a与b的和、差？ 7.讨论什么是线段的中点？线段间的关系？类似地，还有线段的三等分点、四等分点等(如图(2) (3).怎样表示中点、三等分点、四等分点线段间的关系呢？ 8.拓展提升： 1. 如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求： (1)AD的长；　(2)AB∶BE. 【解析】：(1)设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x. 由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x. 由E为AD的中点，得ED＝AD＝x. 由线段的和差，得CE＝DE－CD＝x－4x＝＝2(cm)． 解得x＝4.∴AD＝9x＝36(cm)． (2)AB＝2x＝8(cm)，BC＝3x＝12(cm)． 由线段的和差，得BE＝BC－CE＝12－2＝10(cm)． ∴AB∶BE＝8∶10＝4∶5. 课本课堂练习 1. 如图，比较折线AB和线段A'B'的长短，你有什么方法?需要什么工具? 2.如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点0。请用尺规按下列要求作图 (1)在射线OA，OB，OC上作线段 OA'，OB'，OC'，使它们分别与线段a相等； (2)在射线OD上作线段OD'，使OD'与线段b相等; (3)连接A'C'，C'B'， B'D'，D'A'。 你得到了一个怎样的图形?与同伴进行交流。 3.如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段m，使m=a+b。 答案：1.比较的方法有多种，如测量、圆规截取、借助细线等，要关注学生的方法是否合理可行。有的学生可能会测量折线段的每一小段，然后将测量的结果相加得到折线段的长度;有的学生可能会用圆规将折线段的每一小段卡住，将其顺次移到一条直线上，然后再测量它们在直线上的总长度。这两种方法都可以，但后者更为精确一些，因为前者每一次用刻度尺测量都会产生一定的误差。 2、四边形(筝形)。 3.略。通过作图理解线段的和 1．（2024－2025.新余期末）下列现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【详解】解：根据两点之间，线段最短，得到的是：②④； ①③的依据是两点确定一条直线． 故选：． 2.（2024－2025.咸宁期末）如图，线段，点C是的中点，点D在上且，则线段CD的长（    ）    A． B． C． D． 【详解】解：∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（2024－2025.邢台期末）是同一直线上的三点，如果线段，，那么两点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【详解】解：如图所示，，，    ∴； 如图所示，，，    ∴； 综上所述，两点之间的距离是或， 故选：． 4．（2024－2025.张家口期末）如图，C为线段的中点，若点D在线段上，且．，则的长度是(   ) ．    A．6 B．8 C．10 D．12 【详解】解：∵C为线段的中点， ∴， ∵即， ∴， 故选：D． 1.两点的所有连线中，线段最短。简单说成:两点之间，线段最短。 2.两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。线段是图形，线段的长度、两点间的距离是数量。 3.在尺规作图中，直尺只能用来作直的线，不能用来量长度;而圆规实际上具有量长度的功能，它可以把一条线段“转移”到合适的位置。 4.两条线段的大小关系有三种：AB<CD，AB=CD，AB>CD。 5.点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫作线段AB的中点。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$