第22章 一元二次方程（复习课件）数学华东师大版九年级上册

单元复习课件 第22章 一元二次方程 华师大版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.学生能准确理解一元二次方程的定义，熟练掌握一般形式中各系数的含义； 3.能解决常见类型的实际问题，包括增长率问题（如产量、利润的增长）、面积问题（如矩形面积的计算与设计）、利润问题（根据成本、售价、销量之间的关系求最大利润或特定利润下的销量）、数字问题（如两位数、三位数的数字关系问题）等。 2.能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法求解一元二次方程，并能根据方程特点选择最优解法，确保计算结果的准确性。 单元学习目标 一 2 ＞ ＝ ＜ 一半的平方 单元知识图谱 1.一元二次方程满足的条件：方程两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 3.方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值. 4.解一元二次方程的常用方法有：①直接开平方法；②因式分解法；③配方法；④公式法. 考点串讲 5.b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况： 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根. 6.二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q. 考点串讲 考点1 一元二次方程的定义及解 1.下列方程一定是一元二次方程的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 选项 分析 判断 A 方程 是一元二次方程 符合题意 B 方程含有两个未知数， 方程 不是一元二次方程 不符合题意 C 方程不是整式方程， 方程 不是一元二次方程 不符合题意 D 方程不是整式方程， 方程 不是 一元二次方程 不符合题意 考点串讲 7 2.关于的一元二次方程 的二次项系数和一次项系数分别为( ) D A.3，5 B.3，1 C.， D.3， 【解析】关于的一元二次方程 的二次项系数为3，一次项系数为 ．故选D. 3.已知是一元二次方程 的一个根，则 的值是( ) A A.5 B. C.1 D. 【解析】根据题意，将代入，得 ， 解得 ，故选A. 考点串讲 8 考点2 解一元二次方程 4.解下列方程： （1） . 【解】，，解得， . （2） . 【解】，配方，得，即 ， ，， . （3） . 【解】，，， ， ， ，， . 考点串讲 9 （4） . 【解】，， 或 ，， . （5） （配方法） 【解】，，即 ， ， ． 考点串讲 10 （6） （公式法） 【解】，整理得， ， ， ， ，即 ， ． （7） （因式分解法） 【解】 ， ，或，， ． 考点串讲 11 考点3 一元二次方程根的判别式 5.关于的一元二次方程 的根的情况是( ) A A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 【解析】关于的一元二次方程,,, , ，，即， 原方程有两个不相等的实数根．故选A. 考点串讲 12 6.若关于的一元二次方程 没有实数根，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】关于的一元二次方程，移项，得 ， ,,, 方程没有实数根，，解得 ，故选A. 考点串讲 13 7.已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； 【解】由题意得解得且，故 的取值范围为 且 . （2）若为整数且，是方程的一个根，求代数式 的值. 【解】且，又为整数且，.当 时，方程为 是方程的一个根， , ． 考点串讲 14 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 8.［2024河南驻马店质检］若，是方程的两个根，则 的值为( ) C A. B.2 C. D.3 【解析】，是方程的两个根，， ， .故选C. 考点串讲 15 9.以关于的方程 的两根的相反数为根的一元二次方程 为( ) A A. B. C. D. 【解析】，， 关于 的方程 有两个不相等的实数根．设关于的方程 的两个实 数根分别为，，则， ， ，， 以关于 的方程 的两根的相反数为根的一元二次方程为 ．故选A． 考点串讲 16 10.若实数，满足 ，，且， 则 的值为______． 【解析】设，，则， ， .由题意可知， ， ，，为方程的两个实数根．由 ， 整理，得，，， 的值为．故答案为 ． 考点串讲 17 考点5 一元二次方程的应用 11.［2024辽宁葫芦岛质检］某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示. 社区计划在空地中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都 留有宽度为 米的人行通道.如果这两块绿地的面积之和为60平方米，那么人行通 道的宽度应是多少米？ 【解】由题意得， 解得， （不合题意，舍去）. 答：人行通道的宽度为2米. 考点串讲 18 12.化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾 制取氧气的实验.回到班上后，第一节课教会了同一个学习小组的 名同学做该实验， 第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又教会了名同学， 这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求 的值． 【解】由题意得，解得, （不符合题意，舍去）， 的值为6． 考点串讲 19 13.一天小美去沿河步道跑步，终点为A地．从小美跑步开始，前20分钟平均每分钟 消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡. 在整个跑步过程中，小美共消耗1 650卡的热量，求小美跑步共用多少分钟． （1卡 焦） 【解】设小美跑步共用 分钟.根据题意，得 ，解得， （不符合题意， 舍去）. 答：小美跑步共用50分钟． 考点串讲 20 题型一、一元二次方程的实际应用 D 1. 2025天津和平区期中 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染x人，下列结论错误的是(　　) A．1轮传染后有(x＋1)人患了流感 B．第2轮又增加x(x＋1)人患流感 C．依题意可得方程1＋x＋x(x＋1)＝121 D．不考虑其他因素，经过三轮一共会有1 210人患流感 22 2．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．则参加此交流会的学生为________名． 题型剖析 12 3．春节时，某聊天群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动中，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有________人． 4. 一个直角三角形的三边长为连续偶数，则该三角形的周长等于________． 24 5. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何？”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了________步． 24.5 题型剖析 22 6．[教材P40问题3变式]如图①，有一张长32 cm，宽16 cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后，沿虚线折成如图②所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130 cm2，求纸盒的高度． 题型剖析 23 7．[2025信阳开学考]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从 点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q同时从点C出发沿边CB向点B以2 cm/s的速度移动． (1)几秒时，可使△PCQ的面积为8 cm2? (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某时刻，使得△PCQ的面积为△ABC面积的一半？若存在，求出移动时间；若不存在，说明理由． 题型剖析 24 1.【阅读材料】若x2＋y2＋8x－6y＋25＝0，求x，y的值. 解：∵x2＋y2＋8x－6y＋25＝0， ∴(x2＋8x＋16)＋(y2－6y＋9)＝0， ∴(x＋4)2＋(y－3)2＝0， ∴x＋4＝0，y－3＝0，∴x＝－4，y＝3. 【解决问题】已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2＋c2＝8b＋4c－20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围. 【解】∵b2＋c2＝8b＋4c－20，∴b2＋c2－8b－4c＋20＝0， ∴(b2－8b＋16)＋(c2－4c＋4)＝0，∴(b－4)2＋(c－2)2＝0， ∴b－4＝0，c－2＝0，∴b＝4，c＝2. ∵a是△ABC中最长的边，∴4≤a＜4＋2，即4≤a<6. 题型二、配方法的应用 题型剖析 25 2.【项目学习】我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式. 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个多项式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：当a取何值时，代数式a2＋6a＋8有最小值？最小值是多少 解：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋32－32＋8＝(a＋3)2－1. 因为(a＋3)2≥0，所以a2＋6a＋8≥－1， 因此，当a＝－3时，代数式a2＋6a＋8有最小值，最小值是－1. 【问题解决】(1)当x＝_____时，代数式x2－2x－1有最小值，最小值为_____. 1 －2 (2)当x取何值时，代数式2x2＋8x＋12有最小值？最小值是多少？ 【解】2x2＋8x＋12＝2(x2＋4x＋6) ＝2(x2＋4x＋4＋2)＝2(x＋2)2＋4. 因为(x＋2)2≥0，所以2x2＋8x＋12≥4， 因此，当x＝－2时，代数式2x2＋8x＋12有最小值，最小值是4. 题型剖析 26 3.小明在学习配方法时，将关于x的多项式x2－2x＋3配方成(x－1)2＋2，发现当x－1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2－2x＋3的值是相等的．例如：当x－1＝±2，即x＝3或－1时，x2－2x＋3的值均为6；当x－1＝±3，即x＝4或－2时，x2－2x＋3的值均为11. 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x－t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对偶，例如x2－2x＋3关于x＝1对偶.请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式x2－8x＋10关于________对偶； x＝4 ∵ x2－8x＋10＝(x－4)2－6，∴当x－4取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，∴多项式x2－8x＋10关于x＝4对偶． (2)当x＝m或9－m时，关于x的多项式x2＋2bx＋c的值相等，求b的值； 【解】x2＋2bx＋c＝(x＋b)2－b2＋c. ∵当x＝m或9－m时，关于x的多项式x2＋2bx＋c的值相等， ∴(m＋b)＋(9－m＋b)＝0，解得b＝－4.5. 题型剖析 27 4.已知代数式A＝2x2＋5x－3，B＝x2＋x－8. (1)当x为何值时，代数式A比B的值大2？ 【解】根据题意，得(2x2＋5x－3)－(x2＋x－8)＝2，整理，得x2＋4x＋3＝0， ∴(x＋2)2＝1，∴x1＝－1，x2＝－3，即当x为－1或－3时，代数式A比B的值大2. (2)求证：对于任意x的值，代数式A－B的值恒为正数. 【证明】A－B＝(2x2＋5x－3)－(x2＋x－8) ＝2x2＋5x－3－x2－x＋8＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1. ∵对于任意x的值，总有(x＋2)2≥0， ∴(x＋2)2＋1＞0，即A－B＞0. ∴对于任意x的值，代数式A－B的值恒为正数． 题型剖析 28 一、选择题 1.［2025河北秦皇岛校级月考］下列各式中，是一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 选项 分析 判断 A 原方程不是整式方程，故不是一元二次方程 不符合题意 B 当 时，原方程不是一元二次方程 不符合题意 C 原方程整理得 ，不是一元二次方程 不符合题意 D 原方程整理得 ，是一元二次方程 符合题意 针对训练 29 2.［2025浙江湖州期末］如表是某同学求代数式 的值的情况，根据表格可 知方程 的根是( ) … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … C A. B. C.或 D.或 【解析】由题表知，当或时，，所以方程 的根 是或 ，故选C. 针对训练 30 3.［2025吉林长春月考］一元二次方程 配方后可变形为( ) A A. B. C. D. 【解析】一元二次方程等号两边都加上4，得 ， ， 一元二次方程配方后可变形为 ，故 选A. 上分警示 使用配方法的注意事项 本题使用配方法时要注意在等号两边都加上4，确保等式成立. 针对训练 31 4.［2025山东泰安东平期末］已知方程，则 的值为( ) D A. B.0 C. D. 或0 【解析】，或，， . 当时， ．故选D． 针对训练 32 5.［2024安徽合肥庐阳区校级二模］若关于 的一元二次方程的根为 ，则这个方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】 关于的一元二次方程的根为， 该方程的二次 项系数为1，一次项系数为，常数项为， 这个方程为 ．故 选D. 针对训练 33 6.［2025吉林长春二道区期末］若和是一元二次方程 的两个解， 且，则 的值为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】解一元二次方程，得，和 是一 元二次方程的两个解，且，， ， ，故选B. 针对训练 34 7.［2025山东德州月考,中］已知，是方程 的两个根，则代数式 的值是( ) B A. B.12 C.3 D.0 【解析】，是方程的两个根，， ， ， ．故选B. 针对训练 35 8.［2024浙江杭州模拟，中］一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三 分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是( ) A A.27 B.72 C.16 D.27或16 【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为 .依题意，得 ，整理，得，解得， （不合题意，舍去），， 这个两位数是27．故选A. 针对训练 36 二、填空题 9.［2025陕西西安灞桥区月考］关于的一元二次方程 的二次项 系数是___，一次项系数是___，常数项是____． 1 2 【解析】由得到， 其二次项系数是1，一次项 系数是2，常数项是．故答案为1，2， ． 10.［2025内蒙古赤峰期中］若是方程 的一个根，则代数式 的值是___． 8 【解析】是方程的一个根， ， ， ．故答案为8． 针对训练 37 11.［2025重庆万州区期中］若使得关于的分式方程 有整数解，且 使得关于的一元二次方程 有实数根，则所有满足条件的整 数 的和为____． 【解析】解方程，得. 整数使得关于 的分式方程 有整数解，，或或或或 或 或 关于的一元二次方程 有实数根， ，，解得且， 或 或， 所有满足条件的整数的和为 .故答案为 ． 针对训练 38 12.［2025上海黄浦区期中，中］如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为 “差1方程”．例如是“差1方程”．已知关于 的方程 是常数是“差1方程”，则 的值为_______． 或0 【解析】设方程的两个根分别为，.由题意，得 ， ，， ， 解得或，故答案为 或0． 针对训练 39 13.［2025广西防城港月考，偏难］如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成， 正方形中灰色、白色小正方形的排列规律如图所示.在边长为 的正方形中， 设灰色小正方形的个数为，白色小正方形的个数为，当偶数 ____时， 12 【解析】观察题图可知，当时，,;当时，, ;当 时，,; ，所以当为偶数时 ，白色与灰色小正方形 的总个数为，.当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）．故偶数时， ．故答案 为12． 针对训练 40 三、解答题 14.［2025江苏南京校级月考］解方程： （1） ； 【解】，， ， ， ，即， . （2） ． 【解】原方程可变形为 ， ， 或 ，， ． 针对训练 41 15.［2024福建龙岩模拟，中］龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行 必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月 份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售 量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率； 【解】设该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率为 . 依题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔10月份到12月份销售量的月增长率为 . 针对训练 42 （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月 销售量为500个，若在此基础上售价每个上涨1元，则月销售量将减少10个，为使 月销售利润达到8 000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应 定为多少元？ 【解】设该品牌头盔每个的售价为 元. 依题意，得 ， 整理，得 ， 解得， .因为尽可能让顾客得到实惠，所以 ． 答：该品牌头盔每个的售价应定为50元． 针对训练 43 16.新定义试题［2025山东济南月考，中］（12分）定义：若关于 的一元二次方 程 中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫 做常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则 的值为_______； 0或 【解析】 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一个根 为.代入方程，得，解得或.故答案为0或 . （2）如果关于的方程是常数根一元二次方程，求 的值； 【解】 关于的方程是常数根一元二次方程， 方程的一 个根为.代入方程，得 ，整理，得 ，解得或 ． 针对训练 44 （3）若关于的常数根一元二次方程 中不含零根，求证： 关于的方程 是常数根一元二次方程． 【证明】 关于的常数根一元二次方程 中不含零根， 方程的一个根为，且，则.代入方程，得 ，即 . ，.把代入方程 ，得左边 右边，是关于的方程 的一个根， 关于的方程 是常数根一元二次方程． 针对训练 45 实际问题 实际问题的答案 数学问题 数学问题的解 一元二次方程的根 设未知数 列方程 检 验 解 方 程 配方法 公式法 分解因式法 课堂总结 (1)直接开平方法 x2 = b(b≥0) (2)因式分解法 1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式 (3) 配方法 (4)公式法 一元二次方程的解法 适应于任何一个一元二次方程 适应于任何一个一元二次方程 适应于左边能分解为两个因式的积，右边是 0 的方程 当 b2 - 4ac≥0 时 适应于没有一次 项的一元二次方程 当二次项系数为 1 的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方 当 b2 - 4ac＜0 时，方程没有实数根 课堂总结 感谢聆听! ⑦ － 解：设纸盒的高度为x cm， 依题意，得×(16－2x)＝130， 整理，得x2－24x＋63＝0，解得x1＝3，x2＝21. 当x＝3时，16－2x＝10>0，符合题意；当x＝21时，16－2x＝－26<0，不符合题意，舍去． 答：纸盒的高度为3 cm. 解：不存在．理由如下： 设y s时，△PCQ的面积为△ABC面积的一半， 由题意，得(6－y)·2y＝××6×8， 整理，得y2－6y＋12＝0， ∵Δ＝36－4×1×12＝－12<0， ∴方程无实数根，∴不存在． 解：设x s时，可使△PCQ的面积为8 cm2， 由题意，得(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4， ∴2 s或4 s时，可使△PCQ的面积为8 cm2. $$