11.3 乘法公式（第1课时+两数和乘以这两数差）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，课堂导入通过魔术速算挑战引导学生观察（两数和）×（两数差）的算式结构，再结合多项式乘法推导公式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接整式乘法与公式应用。 其亮点在于融合数学核心素养，以情境导入激发创新意识，代数推导与几何验证（如分割正方形拼长方形）培养推理能力，典例变式强化符号意识。助力学生提升运算与应用能力，教师可高效备课，适配分层教学需求。

11.3 乘法公式 （第1课时） 第11章 整式的乘除 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解平方差公式 理解公式本质：能准确表述平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2并说明其几何意义（图形面积变换）。 掌握平方差公式的推理 探究能力：通过拼图实验、代数推导双路径，经历从具体到抽象的数学发现过程，强化数形结合思想。 正确进行符号变换 在符号处理（如（2a+3b）（2a-3b）中a、b的识别，中养成细致、规范的运算习惯。 课堂导入 学生快速计算以下算式： ①23×17=？ ②51×49=？ ③105×95=？ 情境导入——魔术速算挑战（激发兴趣） “老师能3秒口算出答案，你们发现这些算式有什么共同点？” “为什么这些计算可以如此简单？” 课堂导入 通过观察我们可以发现所有算式都是（两数和）×（两数差）的结构 情境导入——魔术速算挑战（激发兴趣） ①23×17=（20+3）（20-3）=20²-3²=391 ②51×49=（50+1）（50-1）=50²-1²=499 ③105×95=（100+5）（100-5）=9975 思考：通过上面的方法，把具体的数字换成字母，如（a+b）（a-b），还能用上述方法计算吗？ 新知探究 合作探究（小组讨论） 利用多项式与多项式相乘法则，计算下面的式子，并观察它们之间有什么规律 计算对比： ①（x+3）（x-3）=？ ②（2y+5）（2y-5）=？ 观察发现： ①结果都是两项，且都是平方相减的形式（x2-9）。 ②提问：“为什么中间项消失了，这个规律是否普通实用” 新知探究 计算一般形式： （a+b）（a-b）=a×a+a×（-b）+b×a+b×（-b） =a2-ab+ab-b2 =a2-b2 结论：（a+b）（a-b）=a2-b2 代数推导——从一般到特殊 语言描述：两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差 典例分析 例1 计算： （1）（a+1）（a-1）= = 。 （2）（ab+3）（ab-3）= = 。 （3）（3a-b）（-3a-b）= = 。 （4）（x-y）（x+y）= = 。 a2-12 a2-1 （ab）2-32 a2b2-9 -[（3a）2-b2] -9a2+b2 （x）2-y2 x2-y2 两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差： （a+b）（a-b）=a2-b2 典例分析 例2 下列各式中：①(x+3)(x-9)=x2-9；②(x+4)(x-2)=x2-8；③(-x+1)(-1-x)=x2-1；④(3x+1)(3x-1)=3x2-1．正确的个数是（      ） A .1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 B 利用多项式乘多项式：(x+4)(x-2)=x2+2x-8，故②错误 (3x+1)(3x-1)=9x2-1，故④错误 典例分析 例3 按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是（      ） A .(a+b)2=a2+2ab+b2 B . (a-b)2=a2-2ab+b2 C . (a-b)2=(a+b)2-4ab D . a2-b2=(a+b)(a-b) D 典例分析 例4 运用平方差公式计算： (1)51×49； (2) 将原式变形为（50+1）×（50-1），再利用平方差公式求解 将原式变形为（200+）×（200-），再利用平方差公式求解 解：（1）51×49 =（50+1）×（50-1） =502-12 =2500-1 =2499 解：（2） =（200+）×（200-） =2002-（）2 =40000-=39999 变式训练 若等式( )(3a+5b)=9a2-25b2成立，则括号内所填的代数式是（　 　） C A . 3a+5b B . -3a+5b C .3a-5b D .-3a-5b 解：∵( 3a-5b )(3a+5b)=9a2-25b2，所以括号里所填的代数 式是3a-5b 变式训练 当m2+2m-4=0时，代数式(m+1)(m-1)+2m的值为_______． 解：m2+2m-4=0，得m2+2m+4=0 故(m+1)(m-1)+2m =m2+2m-1=4-1=3 3 根据m2+2m-4=0得m2+2m=4，根据(m+1)(m-1)+2m=m2+2m-1，变形计算即可，本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，熟练变形是解题关键 变式训练 求证：若n为整数，则(2n+1)2-(2n-1)2一定是8的倍数． 解：∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n ∵n为整数， ∴8n是8的倍数 即(2n+1)2-(2n-1)2一定是8的倍数． 本题主要考查了平方差的应用，由平方差公式得(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)即可得证。 课堂练习 1．下列各式不能用平方差公式计算的是（      ） A .(a-2b)(a+2b) B . (2x+y)(y-2x) C . (-2a-b)(-b+2a) D . (-2x+y)(-y+2x) 基础巩固题 D 化简后：（2x-y）（y-2x）不能用平方差公式，故D选项错误 课堂练习 2．图1是长为(a+b)，宽为(a-b)的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是_____ __． (a+b)(a-b)=a2-b2 课堂练习 3.若a-b=-3，a2-b2=12，则(a+b)(a-b+1)= . 本题先通过a-b=-3，a2-b2=12，求得a+b=4，然后把a-b=-3，a+b=4代入（a+b）（a-b+1），即可求解 解：∵a-b=-3，a2-b2=12 ∴a2-b2=（a+b）（a-b）=12 解得：a+b=-4 把a-b=-3，a+b=-4代入（a+b）（a-b+1） 即（a+b）（a-b+1）=-4×（-2）=8 8 课堂练习 4．计算 （1）(2x+1)(2x-1) （2）(x-2)(x+2) （3）(b+2a)(2a-b) （4）(a2+2b)(a2-2b) 基础巩固题 (2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1 (x-2)(x+2)=x2-22=x2-4 (b+2a)(2a-b)=（2a）2-b2=4a2-b2 (a2+2b)(a2-2b)=(a2)2-(2b)2=a4-4b2 课堂练习 5．先化简，再求值∶（3a+2b）（3a-2b）-4b（2a-b），其中a=，b=2． 解：(3a+2b)(3a-2b)-4b(2a-b) =9a2-4b2-8ab+4b2 =9a2-8ab 当a=-1，b=2时 原式=9×（-1）2-8×（-1）×2=25 本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，单项式乘以单项式，合并同类项法则化简，然后把a、b的值代入计算即可 两数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差： （a+b）（a-b）=a2-b2 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$