第二章 直线与圆的方程（单元测试·提升卷）数学人教A版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第二章 直线与圆的方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 2．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 3．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点与圆的位置关系：法一为几何视角，比较与半径的大小；法二为代数视角，将点的坐标代入标准方程后比较其与的大小 【详解】法一：由题意，半径为1，则，所以； 法二：由在圆内，则，所以，即. 故选：D 4．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 5．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角和点，再求出的倾斜角及斜率，代入斜截式方程即可得解. 【详解】直线即， 则直线的斜率为，倾斜角为， 令得，即， 则直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即直线的方程是． 故选：A. 6．已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程求得点的坐标，对的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 7．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 8．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设反射前光线所在直线方程为，分四种情况讨论，即①当光线不发生反射时；②当光线只发生一次反射时，；③当光线发生两次反射时，④当光线发生三次反射时，利用几何法即圆心到直线的距离大于半径，通过分析进而求解； 【详解】由题意知半圆的圆心为，半径为1，设反射前光线所在直线方程为． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率，若此时光线与半圆无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离，解得，即． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与轴非负半轴相交，由，得则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．令半圆圆心到反射光线所在直线的距离1，解得，又，所以此时要使光线与半圆没有交点，则． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当时，第一次反射后光线所在直线与轴非负半轴有交点，交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为，所以，解得．令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则．当时，易知第一次反射后光线过点，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆没有交点．综上，． ④当光线发生三次反射时，由得则第三次反射光线所在直线方程为，即，所以，即．令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则． 综上，的取值范围为． 故选：A． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 10．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 【答案】BD 【分析】本题给了两条含参的直线方程，通过不同条件判断直线的性质或已知直线性质求参数范围. 【详解】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A错误； 对于B，，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则，故，故C错误； 对于D，，当时，，所以直线的纵截距为，故D正确． 故选BD． 11．与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若三点，，共线，则 ． 【答案】 【分析】法一：由三点共线有，应用斜率两点式列方程，整理即可得；法二：写出直线的截距式方程，根据在直线上代入整理即可得. 【详解】法一：因为，，三点共线，则， 所以，得，即； 法二：因为，，三点共线，则点在直线上， 其中直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线方程，得到，即. 故答案为： 13．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 14．若是圆上的一个动点，是坐标原点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据数量积可将问题转化为，进而利用相切求解的最小值即可得解. 【详解】由于，故在圆的外部， 如图，作于点，于点， 则． 因为，所以， 故要求的最小值，即求的最小值． 沿向左下平移至与圆相切处，且与相交于点， 易知直线的方程为，即，点到直线的距离为，所以, , 由圆的性质知，， 所以的最小值为． 故答案为：    四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或． (2)或． 【分析】（1）法一：分和两种情况讨论，利用直线的截距式方程得到直线方程； 法二：因为截距相等，分直线斜率为和直线过原点两种情况讨论，得到直线方程； （2）法一：利用直线的截距式方程，，代入点，得到方程； 法二：根据等腰直角三角形得到直线的斜率为，利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为， ①当时，直线过点和，所以直线方程为，即． ②当时，直线方程为，代入点可得，即直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为或直线过原点． ①当直线斜率为时，直线方程为，即． ②当直线过原点时，，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． （2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为， 设直线方程为，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以， 代入点可得或所以直线方程为或． 法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为， 又直线过定点，所以直线方程为， 即所求直线方程为或． 16． （15分） 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 17． （15分） 已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【分析】（1）根据对称可得圆的圆心为，半径为2，从而得到圆的方程； （2）方法一：整理可得，由的几何意义，得到，确定点在圆外，所以，，从而求出的最值； 方法二：可设，从而表达出，由三角函数有界性求出最值. 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 因为圆与圆关于原点对称， 所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆的标准方程为； （2）方法一：由（1）知，圆的圆心，半径，， 因为表示点与之间的距离，即， 所以． 又， 所以点在圆外，所以， 则的最小值为， 最大值为． 方法二：由点为圆上任意一点， 且圆的标准方程为，可设 则． 因为， 所以的最小值为，最大值为． 18． （17分） 已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件得到和，再结合，即可求解； （2）（i）当当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，通过消得到，从而得到，结合条件得到，再利用直线与圆的位置关系，即可求解；（ii）利用弦长公式，结合（i）中结果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，由，得到，当时，由，得到， 又，得到，整理得到， 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，且， 又， 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到， 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由， 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切. （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得， 又，得到， 所以面积为， 令，则，所以， 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的（i）问，利用韦达定理，结合条件得到，再利用间的关系，结合条件，即可求解. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. (1)已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； (2)若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 【答案】(1)相交 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由棋盘距离的定义及的范围求出，再由圆与圆的位置关系的判断方法可得结果； （2）①联立直线和的方程，并得到韦达定理，再由和分别得到和，结合韦达定理并化简可得；②设出和的点斜式方程并联立消掉，结合韦达定理化简得到，即得证. 【详解】（1）圆：转化为标准方程为：， ，，，或0， ，，，，，， ，，，与相交. （2）①直线，，设，，由， 消去得：，由韦达定理，，， 由有， 同理由有，（*）， 将韦达定理代入（*），； ②证明：，，则直线，直线， 联立两直线方程消得：（**）， 由韦达定理有，即， 代入（**）可得，解得. 故直线交点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第二章 直线与圆的方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 5．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 10．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 11．与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若三点，，共线，则 ． 13．已知实数满足，则的最大值为 ． 14．若是圆上的一个动点，是坐标原点，，则的最小值为 ． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 16．（15分） 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 17．（15分） 已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 18．（17分） 已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. (1)已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； (2)若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第二章 直线与圆的方程·能力提升 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D B A C A A 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 BC BD BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13．8 14． 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为，（1分） ①当时，直线过点和，所以直线方程为，即．（3分） ②当时，直线方程为，代入点可得，即直线方程为．（5分） 综上所述，直线方程为或．（6分） 法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为或直线过原点．（1分） ①当直线斜率为时，直线方程为，即．（3分） ②当直线过原点时，，直线方程为，即．（5分） 综上所述，直线方程为或．（6分） （2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为，（7分） 设直线方程为，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以，（9分） 代入点可得或（11分） 所以直线方程为或．（13分） 法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，（7分） 所以直线的斜率为，（9分） 又直线过定点，所以直线方程为，（11分） 即所求直线方程为或．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）将直线的方程整理得，（1分） 令，（2分） 解得所以直线恒过点．（4分） 则定点到直线的距离为．（7分） （2）由（1）可得直线过定点，设定点为．（8分） 当时，点到直线的距离最大，（9分） 且最大距离，（11分） 即点到直线的最大距离为．（12分） 此时，（13分） 而直线的斜率，（14分） 所以，解得．（15分） 17.（15分） 【详解】（1）的圆心为，半径为2，（1分） 因为圆与圆关于原点对称，（2分） 所以圆的圆心为，半径为2，（4分） 所以圆的标准方程为；（5分） （2）由（1）知，圆的圆心，半径，，（7分） 因为表示点与之间的距离，即，（8分） 所以．（10分） 又，（11分） 所以点在圆外，所以，（13分） 则的最小值为，（14分） 最大值为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）当时，由，得到，（1分） 当时，由，得到，（2分） 又，得到，（3分） 整理得到，（4分） 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为.（5分） （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到，（6分） 则，且， 又，（7分） 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到，（8分） 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由，（9分） 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切.（10分） （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得，（11分） 又，得到，（12分） 所以面积为，（14分） 令，则，所以，（16分） 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为.（17分） 19． （17分） 【详解】（1）圆：转化为标准方程为：，（1分） ，，，或0，（2分） ，，，，，，（3分） ，，，与相交.（4分） （2）①直线，，设，，由， 消去得：，（5分） 由韦达定理（6分） ，，， 由有，（7分） 同理由有，（*），（9分） 将韦达定理代入（*），；（10分） ②证明：，，则直线，直线，（12分） 联立两直线方程消得：（**），（14分） 由韦达定理有，即，（15分） 代入（**）可得，解得.（16分） 故直线交点在定直线上.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第二章 直线与圆的方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 5．直线与轴交于点，将绕点逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 10．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．若，则 C．若，则 D．直线的纵截距为 11．与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若三点，，共线，则 ． 13．已知实数满足，则的最大值为 ． 14．若是圆上的一个动点，是坐标原点，，则的最小值为 ． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 16．（15分） 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 17．（15分） 已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 18．（17分） 已知直线与相交于点，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线. (1)已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系； (2)若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点. ①设，，求的值； ②求证：直线､交点在定直线上. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$