2.7 解析几何初步复习与巩固-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

解析几何初步 全章复习与巩固 类型一：直线方程的综合问题 例1．已知 ： ，求使 的 的值． 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即 时，有 ，符合 ； 直线斜率存在时， ． 故使 的 的值为 或 ． 例2．求直线 关于直线 对称的直线 的方程． 【解析】在直线 上取一点 ，设A点于 的对称点 ， 则 ，解得 ， 由 ，解得交点 ． 由两点式可求得直线 的方程： ． 举一反三： 【变式1】由点P（2，3）发出的光线射到直线 上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________． 【答案】： 【解析】设点P关于直线 的对称点 ，则 满足条件 ，解得 ， ∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为 ，即 ． 类型二：圆的方程的综合问题 例3．已知圆C经过点A（2，0）、 ，且圆心C在直线y=x上． （1）求圆C的方程； （2）过点 的直线l截圆所得弦长为 ，求直线l的方程． 【解析】（1）AB的中点坐标 ，AB的斜率为 ． 可得AB垂直平分线为 ，与x－y=0的交点为（0，0）， 圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4； （2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过 ， ∴直线l的方程为 ，即 ， 则圆心（0，0）到直线的距离 ，又圆的半径r=2，截得的弦长为 ， 则有 ，解得： ， 则直线l的方程为 当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意． 直线l的方程：x=1或 ． 举一反三： 【变式1】直线 被圆C: 所截得的弦的中点是 ，求直线 的方程． 【答案】 例4．已知：圆C： ，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0， 求：（1）求直线l恒过定点P的坐标； （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程． 【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（ 2x+y－7）+（x+y－4）=0， 令 ，则 ，故直线l恒过点P（3，1）； （2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l， 圆C： 的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为 ， 即有直线l的斜率为2，即 ，即 ， 则直线l的方程为2x－y－5=0． 例5．已知圆的方程： ，其中a≠1，且a∈R． (1)求证：a≠1，且a∈R时，圆恒过定点； (2)求证圆心总在一条直线上，并求其方程． 【解析】(1)证明：方程 变为 ， 令 解得 ，∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)． (2)解：易求圆心坐标为(a，2-a)，又设圆心坐标为(x，y)，则 消去a，可得 ，即 ．故圆心(a，2-a)总在直线x+y-2＝0上． 举一反三： 【变式1】求过两圆 与 的交点和点(3，1)的圆的方程． 【解析】设所求圆的方程为 ， ∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得 ． ∴ 所求圆的方程为 ． 类型三：直线与圆的方程的综合问题 例6．已知圆C的圆心为坐标原点O，且与直线 相切． （1）求圆C的方程； （2）若与直线 垂直的直线 与圆C交于不同的两点P、Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线 的方程． 【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径 ， ∴ 圆的方程为 ． （2）设直线 的方程为x+y+c=0，由已知△OPQ为等腰直角三角形， 则圆心到直线 的距离为 ，利用点到直线的距离公式得，求得c=±2． ∴ 直线 的方程为x+y+2=0或x+y－2=0． 举一反三： 【变式1】已知直线 过点P(2，4)，且与圆 相切，求直线 的方程． 【解析】当直线斜率不存在时，直线 的方程为x＝2，适合题意． 当直线斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ， ∵ 直线与圆相切，∴ ，解得 ， ∴ 直线 的方程为 ． ∴ 直线 的方程为 或 ． 【变式2】空间直角坐标系中，在平面 内的直线 上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小，求出最小值． 【解析】设点 ，则 ， 当 时， ，此时，点M（1，0，0）． 【巩固练习】 1．已知过点 和 的直线与直线 平行，则 的值为（　　） A． B． C． D． 1. 【答案】B 【解析】 2．经过圆 的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是( ) A． B． C． D． 2．【答案】A 【解析】设直线方程为x-y+m＝0，又过(-1，0)点，代入得m＝l，故直线方程为 3．若圆心在x轴上、半径为 的圆C位于y轴左侧，且与直线x+2y＝0相切，则圆C的方程是( ) A． B． C． D． 3．【答案】D【解析】设圆心为(a，0)(a＜0)．因为