第二章 直线与圆的方程（单元测试·基础卷）数学人教A版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第二章 直线与圆的方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 3．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 4．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况讨论，分别设出直线的方程，再将点代入即可求解. 【详解】当直线l在坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为， 因为直线l过点，所以，所以，所以直线方程为； 当直线l在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程设为， 将代入可得，此时直线方程为， 综上，直线l的方程为或． 故选：C. 5．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 6．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 7．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3．    ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 8．已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出与相离，根据圆的性质以及勾股定理，设点的坐标为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由题意可得圆心，到的距离为， 故与相离， 根据圆上存在两点使得，即三点共线， 且，其中最大值为圆的直径2，故的最大值为1， 过作， 设，则， 故, 由于，故 设点的坐标为，则有， 求得. 故选：D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，从而得到方程，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切， 所以或，即或， 所以或， 不满足要求，满足要求. 故选：BD. 10．已知直线和直线平行，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】BC 【分析】利用两直线平行的判断方法，列出方程和不等式，求出的值并检验即得. 【详解】因，故得且， 可推得，解得或,经检验均符合题意. 故选：BC. 11．已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆关于直线对称，则 ． 【答案】3 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 13．设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解. 【详解】直线的倾斜角与斜率  如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 14．已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的性质及直角三角形斜边上中线的性质列式求出轨迹方程. 【详解】设，连接，由弦的中点为，得，， 由以线段为直径的圆过点，得，则， 因此，整理得， 所以的中点的轨迹方程为 故答案为： 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 15．已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据方程求出直线l所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解. （2）确定取得最大值的条件，进而求出直线方程. 【详解】（1）直线l的方程为，因此直线l恒过定点， 若直线l不经过第四象限，则. （2）由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 16． （15分） 16．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 17． （15分） 17．分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）法1：分直线过线段的中点和直线与直线平行两种情况分类讨论即可；法2：分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式即可. （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，再求出交点，根据距离公式求出长度即可. 【详解】（1）法1：直线过线段的中点：中点，直线的斜率， 则直线的方程为； 直线与直线平行：直线的斜率，则直线的方程为； 故直线的方程为或. 法2：当直线的斜率不存在时，，点到直线的距离分别是，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 点与点到直线l的距离相等，则，得或， 故直线的方程为或. （2）当直线的斜率不存在时，， 与两条平行直线的交点为，故截得的线段长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 得交点； 得交点； 则， 得，则， 综上，直线的方程为或. 18． （17分） 18．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 19．（17分） 19．已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，求圆的方程； (3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先利用圆的一般方程设出圆的方程，将三个点的坐标代入求出圆的一般方程，再转化为标准方程； （2）先求出已知圆的圆心关于对称直线的对称点，即得到对称圆的圆心，半径不变； （3）根据弦长公式结合圆心到直线的距离公式来求解直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为. 把，，三点分别代入方程可得： 解得，，， 所以圆的方程为，其标准方程为. （2）设圆的圆心.因为圆与圆关于直线对称， 则直线与直线垂直，且线段的中点在直线上. 直线的斜率为，两直线垂直斜率之积为，所以 . 线段中点在直线上，即 . 由得，代入式得：，，解得，则. 所以圆的圆心，半径与圆相同为. 则圆的方程为. （3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 此时到直线的距离，弦长，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 因，弦长公式得，两边平方得解得. 所以，两边平方得. 展开得，移项可得. 则直线的方程为，即. 综上所得，直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第二章 直线与圆的方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 6．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知直线和直线平行，则（   ） A． B．1 C．2 D． 11．已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆关于直线对称，则 ． 13．设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 14．已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为 ． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 16．（15分） 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 17．（15分） 分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 18．（17分） 已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 19．（17分） 已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，求圆的方程； (3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第二章 直线与圆的方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 6．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知直线和直线平行，则（   ） A． B．1 C．2 D． 11．已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆关于直线对称，则 ． 13．设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 14．已知直线l与圆相交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过定点，则AB的中点的轨迹方程为 ．   四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 已知直线. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 16．（15分） 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 17．（15分） 分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 18．（17分） 已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 19．（17分） 已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，求圆的方程； (3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学选择性必修第一册章节检测卷 第二章 直线与圆的方程·基础通关 （参考答案） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B C B B C D 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 BD BC AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．3 13． 14． 三、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）直线l的方程为，因此直线l恒过定点，（3分） 若直线l不经过第四象限，则.（5分） （2）由（1）知直线l恒过定点，（6分） 当且仅当时，d取得最大值，（7分） 此时直线的斜率，（10分） 因此直线的斜率，直线的方程为，即，（12分） 所以直线的一般式方程为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上.（1分） 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率，（2分） 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:.（4分） 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为.（5分） 又半径，所以圆的方程为:．（7分） （2）设，．由，得,（8分） 所以即（10分） 因为点在圆上，所以，（11分） 所以，（12分） 化简整理得的轨迹方程为:，（14分） 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆．（15分） 17.（15分） 【详解】（1）法1：直线过线段的中点：中点，（1分） 直线的斜率，（2分） 则直线的方程为；（3分） 直线与直线平行：直线的斜率，（4分） 则直线的方程为；（5分） 故直线的方程为或.（6分） 法2：当直线的斜率不存在时，，点到直线的距离分别是，不符合题意；（2分） 当直线的斜率存在时，设，（3分） 点与点到直线l的距离相等，则，得或，（5分） 故直线的方程为或.（6分） （2）当直线的斜率不存在时，，（7分） 与两条平行直线的交点为，故截得的线段长为，符合题意；（8分） 当直线的斜率存在时，设，（9分） 得交点；（10分） 得交点；（11分） 则，（13分） 得，则，（14分） 综上，直线的方程为或.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意，设．（1分） 圆过点，且与直线相切， ，（2分） ．（3分） 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为．（4分） 圆与圆关于直线对称，圆的方程为．（5分） （2）由（1）知圆，圆心为，半径为，（6分） 圆，圆心为，半径为，（7分）两圆相交，有两条公切线．（9分） 又公切线段的长度等于．（10分） （3）圆的半径， 则四边形的面积．（11分） 设， ，（13分） 当时，，此时四边形的面积最小，为．（14分） 在以为直径的圆上，圆的方程为，（15分） 又圆的方程为，（16分） 两个方程相减，可得直线CD的方程为．（17分） 19． （17分） 【详解】（1）设圆的方程为. 把，，三点分别代入方程可得： （2分） 解得，，，（4分） 所以圆的方程为，其标准方程为.（5分） （2）设圆的圆心.因为圆与圆关于直线对称， 则直线与直线垂直，且线段的中点在直线上.（6分） 直线的斜率为，两直线垂直斜率之积为，所以 .（7分） 线段中点在直线上，即 .（8分） 由得，代入式得：，，解得，则.（9分） 所以圆的圆心，半径与圆相同为. 则圆的方程为.（10分） （3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 此时到直线的距离，弦长，满足题意.（11分） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.（12分） 圆心到直线的距离. 因，弦长公式得，两边平方得解得.（13分） 所以，两边平方得.（14分） 展开得，移项可得.（15分） 则直线的方程为，即. （16分） 综上所得，直线的方程为或.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$