22.3 实际问题与二次函数（第3课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 第三课时 22.3 实际问题与二次函数 学 习 目 标 1 2 3 会求二次函数 的最小(大)值。 使学生学会将实际问转化为数学问题；学会从现实生活中抽象出二次函数的关系，并会用二次函数的最值解决抛物线型问题。 通过自主探索和合作交流经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，发展合情推理，体会到数学来源于生活，又服务于生活。 欣赏 生活中的抛物线 导入新课 能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？本节课我们就来探讨这个问题 新知探究 探究点1 二次函数抛物线型问题中的应用 议一议 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 2m 4m （1）图中抛物线拱桥的顶点在哪？试着把它放在平面直角坐标系里面去，怎么放比较好？ y O x ∵抛物线拱桥的最高点是抛物线的顶点 ∴将拱桥的最高点作为平面直角坐标系的原点建立如图所示的平面直角坐标系， （2）“当拱顶离水面2m时，水面宽4m”，这个信息有什么作用？ 抛物线解析式可为： 可以确定水面与抛物线的交点的坐标 （-2，-2） （2，-2） 根据条件能确定解析式吗？ y O x 新知探究 探究点1 二次函数抛物线型问题中的应用 议一议 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 2m 4m （-2，-2） （2，-2） 根据题设条件用待定系数法确定函数解析式，再利用函数性质求符合要求点的坐标； 解：如图所示建立直角坐标系， 设这条抛物线表示的二次函数为y=a ∵抛物线过点(2,-2)，代入得 -2=a×4 ∴a= - ∴这条抛物线表示的二次函数为： ∵水面下降1m：y= －2 － 1= － 3， 将y = －3带入得： 水面下降𝟏𝒎时，水面的宽度为𝟐𝒎 ∴水面的宽度增加了（-4）m -3 解决这个问题的关键 新知探究 探究点1 二次函数抛物线型问题中的应用 议一议 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ （3）还有其他建坐标系的方式吗? 2m 4m （0，+2） （2，0） y O x -1 解：建立如图所示直角坐标系， 设这条抛物线表示的二次函数为y=a+b 由抛物线过点(2,0)、（0,2） 所以这条抛物线表示的二次函数为 +2 ∵水面下降1m ∴将y=-1带入二次函数得， 水面下降𝟏𝒎时，水面的宽度为𝟐𝒎 ∴水面的宽度增加了（-4）m 【方法二】 新知探究 探究点1 二次函数抛物线型问题中的应用 议一议 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ （3）还有其他建坐标系的方式吗? 2m 4m （2，+2） （4，0） y O x -1 解：建立如图所示直角坐标系， 由题意可得：抛物线顶点坐标(2，2) 设这条抛物线：+2 ∵抛物线过点（4，0）代入得： ∴这条抛物线为： +2 ∵水面下降1m ∴将y=-1带入+2 得： 【方法三】 水面下降𝟏𝒎时，水面的宽度为： （ ）=𝟐𝒎 ∴水面的宽度增加了（-4）m 7 新知探究 探究点1 二次函数抛物线型问题中的应用 议一议 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ （3）还有其他建坐标系的方式吗? 2m 4m （-2，+2） （-4，0） y O x -1 解：建立如图所示直角坐标系， 由题意可得：抛物线顶点坐标 . 设这条抛物线表示的二次函数为 . ∵抛物线过点____________； ∴ . ∴这条抛物线表示的二次函数为______________. 将y=_____带入二次函数得， 水面下降𝟏𝒎时，水面的宽度为_________𝒎 ∴水面的宽度增加了 _______ m 【方法四】 +2 (-2，2) (-4，0) +2 𝟐 （𝟐4） 新知探究 探究点1 二次函数抛物线型问题中的应用 归一归 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： 2 写出抛物线上的关键点的坐标 3 运用待定系数法求出函数关系式 4 求解数学问题 1 建立适当的直角坐标系 5 求解抛物线形实际问题 典例分析 探究点1 二次函数抛物线型问题中的应用 例1.河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，AB 所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请求出此抛物线对应的二次函数表达式； (2)因降暴雨水位上升 1.5米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5 ，宽为4.5 （横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由． （1）解：由题意可知，该抛物线顶点坐标为(3,4) 设抛物线函数关系式为： 把 (0,0)代入，得 解得： 这个二次函数的表达式为： 典例分析 探究点1 二次函数抛物线型问题中的应用 例1.河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部4米．如图1，桥孔与水面交于A、B两点，以点A为坐标原点，AB 所在水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (2)因降暴雨水位上升 1.5米，一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5 ，宽为4.5 （横截面如图2），暴雨后，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由． （2）解：水位上升1.5米 后船顶部距原来水面 AB高: 1.5+0.5=2m 把y=2 代入得， ∴暴雨后这艘船不能从这座拱桥下通过． 解得： ∴此时对应的桥孔宽度为: 典例分析 例2.如图，一工厂大门为抛物线形，现量得地面的宽度AB=8 米，大门顶端距离地面4米．为了迎接国庆节，需在大门C，D两点处拉一条彩色丝带作装饰，若彩色丝带的宽度忽略不计，且丝带所在的直线与地面平行，当丝带到大门顶端的距离为 0.5米时，求此彩色丝带所需要的长度． 解：以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图， y O x ∵大门顶端距离地面4米． ∴抛物线顶点坐标为（0,4） ， ∵AB=8米， ∴点A 的坐标为：（-4,0） ， 点 B的坐标为：（4,0） ， 设抛物线的解析式为， 将（4,0） 代入解析式， 得：0=16a+4 ，解得 ， 抛物线的解析式 ， 丝带到大门顶端的距离为0.5 米， 点C ，D 的纵坐标为 4-0.5=3.5， 当y=3.5 时， ， 解得， ∴CD（米）， 答：此彩色丝带所需要的长度为 米． 例3.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A， OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 典例分析 s/m 0 9 12 15 18 21 … h/m 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … (1)根据表中数据预测足球落地时，s= ______m； (2)求h关于s的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m 时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时， s=24m，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 30 例3.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A， OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 典例分析 s/m 0 9 12 15 18 21 … h/m 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … (1)根据表中数据预测足球落地时，s= ______m； (2)求h关于s的函数解析式； 30 （1）解：由表格可知， 当s=9 时和 s=9 时，h 相等， 当s=9 时和 s=9 时，h 相等， ∴抛物线关于s=15 对称， ∵当 s=0时，h=0 ， ∴s=30时， h=0 （2）由（1）知，抛物线关于 s=15对称 设 把（12，4.8） 代入上述解析式 解得： ∴ 例3.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A， OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 典例分析 s/m 0 9 12 15 18 21 … h/m 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m 时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时， s=24m，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． ∴守门员不能成功防守． （3）由（2）得： 当 s=24m 拓展提升 1.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.6 米，宽为 3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到 ） （1）解：如图，AB 为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以AB 的中点为平面直角坐标系的原点O，OC 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： ∴ ∴抛物线的顶点坐标为（0,4） 设抛物线的函数表达式为 将 B（0,8）代入，得： 解得：， ∴该抛物线的表达式： 拓展提升 1.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.6 米，宽为 3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到 ） （2）解： 由（1）得抛物线的表达式： 当 y=2时，则 解得： ∴水面上升2米后的水面宽度为8米， 拓展提升 1.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为2.6 米，宽为 3.2米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到 ） （3）解： 由（1）得抛物线的表达式： 如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到 O′处， ∵货船的高为2.6 米，宽为 3.2米，∴ EF=1.6米， 设 OO ′ =m米，则 OE=（m+2.6）米， ∴点 F的坐标为 （1.6，m+2.6）， 将F （1.6，m+2.6）代入 得： 解得 m=1.24， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升1.24 米． 巩固练习 1.桥洞为抛物线形，水面宽 AB=6米，桥洞顶点C到水面的距离为3米， (1)求这个桥洞所在抛物线的解析式． (2)若水面再上升1米，求水面的宽度．（结果保留根号） （1）解：由图得： C（0,3）， ∵AB=6米，∴OB=3米， ∴B点坐标（3,0） ， 则可设抛物线的解析式为 ， 将点B（3,0） 代入得： ， 解得： ， 抛物线的解析式为 ． （2）当 时， ， 解得： ， 此时水面的宽度为： （米） 巩固练习 在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一组数据(如下表)． 滑行时间 t/s 0 1 2 3 4 滑行距离 s/m 0 4.5 14 28.5 48 2.阅读思考，并解答下列问题： (1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系； (3)如果该滑雪者滑行了270m ，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？ （参考数据：104²=10816 ） （1）解：描点，连线，如图所示： 巩固练习 在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一组数据(如下表)． 滑行时间 t/s 0 1 2 3 4 滑行距离 s/m 0 4.5 14 28.5 48 2.阅读思考，并解答下列问题： (2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系； ∴s与t的函数关系式可近似地表示为 : （2）解：观察函数图象可知，s与t的关系可近似看成二次函数 设s与t的函数关系式为 将 （0，0），（1,4.5），（2,14）代入 得： 解得： 21 巩固练习 在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一组数据(如下表)． 滑行时间 t/s 0 1 2 3 4 滑行距离 s/m 0 4.5 14 28.5 48 2.阅读思考，并解答下列问题： (3)如果该滑雪者滑行了270m ，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？（参考数据：104²=10816 ） (3)解：由（2）得: 把 270代入得： 整理得： 解方程得： （舍去） 答：推测滑雪者滑行的时间是10秒． 真题感知 1．(2025•连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 ______ m． 解：由题意，OA＝1.6m，得A(0，1.6)， 将A(0，1.6)代入y＝a(x－3)2＋2.5， 得：1.6＝a(0－3)2＋2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝－2， ∴OB为8m， 8 真题感知 2．(2025•广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为(0，0.0015)， ， 即A(0.85，0.18)， 设该抛物线的表达式为y＝ax2＋0.0015， 将A(0.85，0.18)代入y＝ax2＋0.0015， 得0.18＝0.852a＋0.0015， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 真题感知 3．(2025•陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 解：（1）∵BO＝4m， ∴抛物线L1的顶点B坐标为(0，4)， 设抛物线L1的函数表达式： y＝a(x－0)2＋4， ∵AC＝16m，结合二次函数的对称性得： A(－8，0)，C(8，0)， 将C(8，0)代入y＝a(x－0)2＋4， 得：0＝64a＋4， ， ∴； （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 真题感知 3．(2025•陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系 （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． （2）由（1）得抛物线L1的函数表达式， ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.， 且抛物线L3的函数表达式为， ∴， 整理得x2－3(x－4)2＝24， 解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12(m)． 真题感知 4．(2025•新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米(中心线宽度不计)．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 解：（1）由题意得，顶点为，即(6，8)， 设抛物线的解析式为：y＝a(x－6)2＋8(a≠0)， 代入点(12，0)得a(12－6)2＋8＝0， 解得：， ∴抛物线解析式为； 真题感知 4．(2025•新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米(中心线宽度不计)．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． （2）能安全通过，理由如下：如图， 由题意得：， 将x＝2代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 课堂小结 实际问题 数学模型 （二次函数的图象和性质） 转 化 回 归 （实物中的抛物线形问题） 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 29 课堂小结 抛物线型实际问题的一般解法 建立适当的直角坐标系 审题，弄清已知和未知 合理地设出二次函数解析式 求出二次函数解析式 利用解析式求解 得出实际问题的答案 课后练习 习题22.3 6.一块三角形材料如图所示，∠A = 30°，∠C = 90°，AB = 12．用这块材料剪出一个矩形 CDEF，其中，点 D，E，F 分别在 BC，AB，AC 上，要使剪出的矩形 CDEF 的面积最大，点 E 应选在何处？ 教材P52 解：∵∠A = 30°，∠C = 90°， 且四边形 CDEF 是矩形， ∴ FE∥BC，ED∥AC ∴∠DEB = 30°． 在 Rt△AFE 中，FE = AE； 在 Rt△EDB 中，BD = EB， ∴ DE = = EB． 设 AE = x，矩形 CDEF 的面积为 S， 则 FE = x，DE = (12 – x)， ∴ S = FE·DE = x(12 – x)． ∵ 该函数图象的对称轴为 x = 6，且开口向下， ∴ 当 x = 6 时，矩形 CDEF 的面积 S 最大， 此时 AE = 12 – 6 = BE，即点 E 为 AB 的中点. 答：当点 E 选在 AB 中点处时， 剪出的矩形 CDEF 的面积最大. 课后练习 习题22.3 教材P52 7.如图，点 E，F，G，H 分别位于正方形 ABCD 的四条边上. 四边形 EFGH 也是正方形. 当点 E 位于何处时，正方形 EFGH 的面积最小? 解：设 AB = a，AE = x，正方形 EFGH 的面积为 S， 易得 △AHE ≌ △BEF（AAS）， ∴ AH = BE = a – x. 在 Rt△AHE 中， ∵ 该函数图象对称轴为 x = ，且开口向上， ∴ 当 x = 时，S 有最小值， 此时 AE = AB，即点 E 为 AB 的中点. 答：当点 E 位于 AB 的中点处时，正方形 EFGH 的面积最小． x 课后练习 在篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？ 探究性作业 3米 4米 4米 x y O 米 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则点A的坐标是， 顶点B点坐标是， C点坐标是（8，3）. ∴设抛物线的解析式是 ① 把点代入①，得 解得 当时， ∴他能把球投中. ∴抛物线的解析式：. A B C 判断球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上. 感谢聆听! $$