22.3实际问题与二次函数（第3课时拱桥问题）（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 第二十二章 二次函数 第22.3 实际问题与二次函数 (第3课时拱桥问题) 学 习 目 标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 1.函数y=ax2(a≠0)的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当a____时，开口向上，当a____时，开口向下. 2.二次函数解析式的形式有： ①一般式：____________， ②顶点式：_____________， ③交点式：________________. 3.(1)如图所示的抛物线，可以根据顶点所在的位置设为_________，也可以根据抛物线与x轴的交点坐标设为______________. (2)由A，B两点的横坐标，可以求得线段AB的长 为______. 抛物线 (0,0) y轴 ＞0 ＜0 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) y=ax2+2 y=a(x+2)(x-2) 4 复习引入 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系. 探究3 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 互动新授 探究3 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2. 由抛物线经过点(2，-2)，可得 -2=a×22，解得，a=- ∴这条抛物线表示的二次函数为：y=-x2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3. 当y=-3时，x=±. ∴当水面下降1m时，水面的宽度为2m. ∴水面的宽度增加了(2-4)m. 互动新授 例1 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由. 解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由题意可知：A(-2,0)，B(2,0)，C(0,4.4). 设抛物线解析式为y=ax2+4.4 ∵抛物线过A(-2,0)∴4a+4.4=0 解得：a=-1.1 ∴抛物线解析式为y=-1.1x2+4.4 当x=1.2时，y=-1.1×1.22+4.4=2.816＞2.7 ∴汽车能顺利经过大门. 典例精析 1.如图,小明以抛物线为灵感,在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14cm的奖杯,杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+5的一部分,则杯口的口径AC为(　　) A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm C 小试牛刀 1.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛出，咋不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：s=v0t-gt2(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面（ ） A.5m B.6m C.7m D.8m C 课堂检测 2.某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ A x y O A B (1，2.25) (0，1.25) 1 ？ 课堂检测 解：建立如图所示的坐标系，根据题意得： A点坐标为(0，1.25)，顶点坐标为(1，2.25). 设抛物线解析式为y=a(x-1)2+2.25， 把A(0，1.25)代入得： a+2.25=1.25 解得：a=-1 抛物线表达式为：y=-(x-1)2+2.25. 令y=0，得：-(x-1)2+2.25=0 解得：x1=2.5 x2=-0.5(舍去) ∴点B的坐标为(2.5，0); ∴如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. x y O A B (1，2.25) (0，1.25) 1 ？ 课堂检测 1.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+0.5， ∵抛物线过点(1,0), ∴0=a+0.5，解得a=-0.5. ∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5. 令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1. 令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48, 令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32. (0.48+0.32)×2×100=160 (m) ∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为160m. 拓展训练 实际问题 数学模型 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 （实物中的抛物线型问题） 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 ①能够将实际距离准确地转化为点的坐标 ②选择运算简便的方法 课堂小结 1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)( ) A.9.2 m B.9.1 m C.9 m D.5.1 m B 课后作业 2．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超多少米？ x y 解:建立如右图所示坐标系， 设函数的解析式为y=a(x+2)(x-2)代入点C坐标， 求得a=-， 即抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-2)， 令x=1，解得y=1.5， 1.5-0.3=1.2（米） 答：船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.2米. .C（0，2） 课后作业 1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； 解:（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． 培优作业 1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 解:（2）令，得． 解得． ∴A(),B()． 培优作业 感谢聆听! $$