培优02 一次函数的图象和性质（9大题型）数学八年级上册北师大版2024

培优02 一次函数的图象和性质（9大题型） 题型1 正比例函数的确定 从解析式（y=kx形式）、表格（y/x值恒定）、图象（过原点的直线）三个维度进行判断，抓住其本质特征． 1．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若k为常数，下列一定是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在函数中，当 时，是的正比例函数． 3．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知函数是正比例函数，则常数m的值是 ． 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知与成正比例，当时，，则当时， ． 5．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）已知与成正比，且时，，则y与x的关系式是 ． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 题型2 一次函数相关概念 理解一般式y=kx+b（k≠0）的含义，能根据概念判断函数类型，并注意待定系数法中k≠0的隐含条件． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（24-25八年级下·福建福州·期中）点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．9 B．1 C． D． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在直线上，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．2 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 13．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是 ． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在一次函数的图象上，则的值是 ． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 题型3 正比例函数的图象和性质 性质由k决定：①k>0：直线过一、三象限，yy随xx增大而增大；②k<0：直线过二、四象限，y随x增大而减小． 16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在直线上，且，则（    ） A． B． C． D．无法比较 17．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 18．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果点在正比例函数的图象上，那么y随着x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是 ．（用“”连接） 21．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为 ． 22．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若正比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 23．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若的取值范围为，求的最小值． 题型4 一次函数的图象和性质 “k定方向，b定截距”：①k决定增减性（同正比例函数）；②b决定与y轴交点 (0,b) ．图象必过 (0,b)和 (−b/k,0)点．k相同b不同的直线平行． 25．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（  ） A． B． C． D． 26．（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 27．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）正比例函数和一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 30．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）关于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数图象经过第二、三、四象限 B．函数图象过点 C．当时， D．函数图象是一条直线 32．（25-26八年级上·全国·期末）若规定，则对于函数的说法正确的是（    ） A．的值随着值的增大而增大 B．点在函数的图象上 C．函数的图象不经过第一象限 D．函数的图象是一条线段 33．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）对于试题“直线与直线的交点在第三象限，求k的取值范围”，甲答：；乙答：．则下列说法正确的是（   ） A．甲的答案正确且完整 B．乙的答案正确且完整 C．甲乙答案合在一起才正确 D．甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值 34．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A，B两点都有，且，则函数图像经过第 象限． 题型5 一次函数的图象的交点问题 求两直线交点：联立解析式解方程组，解即为交点坐标。判断直线与坐标轴交点：令x=0求y轴交点，令y=0求x轴交点．理解交点即对应方程的解． 35．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一次函数的图像和轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（　　） A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 37．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A的坐标是（ ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）函数的图象与轴的交点坐标是 ，将该函数图象向上平移3个单位长度得到的函数解析式为 ． 39．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． x 0 _______ y _______ 0 (1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象直接写出当时，x的取值范围． 40．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 41．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； (2)观察图象，当时，的取值范围是______________； (3)将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 题型6 一次函数与几何的综合问题 核心是“坐标化”：①用点坐标表示线段长（水平线段=|横坐标差|，垂直线段=|纵坐标差|）；②用距离公式求长度；③用中点公式求中点坐标。常结合面积（割补法）和特殊三角形（勾股定理逆定理）考查． 42．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，为半径画弧．交x轴正半轴于点C．则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 44．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴交于A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当移动到与全等时，移动的时间t是（   ） A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒 45．（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 47．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别是，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点． (1)请按要求作点，并直接写出点的坐标； (2)顺次连接三点，得到，求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小，请在图中标出点，并求出点的坐标． 题型7 一次函数的平移问题 牢记“左加右减（只对x），上加下减（只对y）” ．例如，直线y=kx+b向上平移m个单位得y=kx+b+m。所有平移可转化为先左右后上下。平移后kk不变，仅b变． 48．（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级下·陕西安康·期末）将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 51．（25-26八年级上·全国·课前预习）函数与的图象在同一直角坐标系中，位置关系是（   ） A．相交 B．互相垂直 C．平行 D．无法确定 52．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 53．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知直线：平移之后的直线为：，则下面平移方式正确的是（    ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 54．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）已知，直线与直线平行，那么 ． 55．（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 题型8 一次函数的规律探究问题 观察点坐标 (n,yn​)与序号n的关系：①先求前几个点的坐标；②分析横、纵坐标与n的数量关系（如n,2n+1）；③用归纳法写出第nn个点的坐标，并验证。常与图象上的点、面积等结合． 56．（24-25八年级下·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 57．（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是 ． 58．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 59．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则 ． 60．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 61．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，的长为半径画弧交x轴正半轴于点；再过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，以的长为半径画弧交x轴正半轴于点；…，按此作法进行下去，则的横坐标是 ． 62．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为 ． 63．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，构成形如“”的一个个的图形构成的阴影部分面积分别表示为，则 ． 64．（22-23九年级下·山东泰安·阶段练习）如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ． 题型9 待定系数法求一次函数解析式 核心四步法：①设：设出含待定系数k,b的一般式y=kx+b；②代：将图象上已知的两点坐标 (x1​,y1​),(x2​,y2​)分别代入所设解析式；③解：解关于k,b的二元一次方程组；④写：将求出的k,b值代回所设解析式；关键：若题中已隐含b=0b=0（如正比例函数），则直接设y=kx更简捷． 65．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求一次函数的关系式； (2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积． 66．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式． (2)现有另一个一次函数，若点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． 67．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为，点的坐标为． (1)求过A，两点直线的函数表达式； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 68．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，且与成正比例；与成正比例，当时，，当时，． (1)求出与之间的函数关系式； (2)计算时，的值． 69．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像经过点． (1)求这个函数的表达式，并判断点是否在此函数图像上； (2)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． (3)把该函数图像向下平移6个单位长度所得图像对应的函数表达式是_____． 70．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 71．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：______，______，______； (2)求的面积； (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 十、培优 72．（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 73．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 74．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）定义新运算：，则下列关于函数的说法错误的是(   ) A．图象位于第一、三、四象限 B．图象经过点 C．y随x的增大而减小 D．当时，函数值满足 75．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为 ． 76．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 77．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）直线（k、b是常数且）经过两点，其中，下列五个结论：①；②方程的解在和2之间；③；④；⑤不等式的解集为时，，其中正确的结论有 （只需填写序号）． 78．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．平移1次后，可能到达的点的坐标是，这些点在函数的图象上；平移2次后，可能到达的点的坐标是、、，这些点在函数的图象上；平移3次后，可能到达的点的坐标是，这些点在函数 的图象上． 79．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知点到直线的距离公式为，例如：点到直线的距离为，请根据该公式解决以下问题：①若点和点到直线的距离相等，则k的值为 ；②在直线上，则的最小值是 ． 80．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系：图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________． (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你帮他写出该函数图象的两条几何特征，及相应函数的数量特征． 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    81．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 82．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图1，在矩形中，．动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交矩形一边于点Q．设点P运动时间为x秒，线段的长度为，请回答下列问题： (1)请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是 ． 83．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是线上的动点，且横坐标为． (1)若时，求点的坐标． (2)当点与点重合时，求直线的解析式． (3)当点与点不重合时，过点作轴和直线的垂线，分别交直线于点、，过点作轴交直线于点，连结． ________． 以和为边作，若时，直接写出的值． 84．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点C，B点在x轴上且A、B关于y轴对称，的面积为48，． (1)如图1，求直线的解析式． (2)如图2，点D在线段上（不与点A、C重合），连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围． (3)如图3，在（2）的条件下，过点D做轴，垂足为E，点K为的中点，连接，延长交x轴于N，F为上一点，连接，若，，求点D的坐标． 85．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 试卷第2页，共86页 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优02 一次函数的图象和性质（9大题型） 题型1 正比例函数的确定 从解析式（y=kx形式）、表格（y/x值恒定）、图象（过原点的直线）三个维度进行判断，抓住其本质特征． 1．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）若k为常数，下列一定是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如的函数（k为常数，x的次数为1，且），那么就叫做正比例函数． 根据正比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、，时该函数不是正比例函数，故该选项不符合题意； B、，该函数不是正比例函数，故该选项不符合题意； C、，该函数一定是正比例函数，故该选项符合题意； D、，该函数不是正比例函数，故该选项不符合题意． 故选C． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在函数中，当 时，是的正比例函数． 【答案】3 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数形式：是关键． 根据正比例函数的定义得，进而即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：3． 3．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）已知函数是正比例函数，则常数m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义，当中，是正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义进行选择即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ， ， 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知与成正比例，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式及求函数值，待定系数法求解析式是解题的关键，根据题意设，进而待定系数求解即可． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， 当时，，， ， 当时，； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）已知与成正比，且时，，则y与x的关系式是 ． 【答案】 【分析】由与成正比可设，代入时即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵与成正比， ∴设． ∵当时， ， ∴， 解得：， ∴ ∴y与x的关系式为 故答案为． 【点睛】本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用正比例关系求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，． 题型2 一次函数相关概念 理解一般式y=kx+b（k≠0）的含义，能根据概念判断函数类型，并注意待定系数法中k≠0的隐含条件． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 8．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解． 【详解】解：一次函数的为：，，共有个， 故选：C． 9．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）若函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：形如，为常数且，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：B． 10．（24-25八年级下·福建福州·期中）点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．9 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值， 将点的坐标代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 故选：C． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在直线上，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查轴对称与坐标的变化，直线上的点的坐标特征，先求出点的坐标，再代入直线的解析式，求解即可． 【详解】∵点关于轴对称的点是， ∴点的坐标为：， 把代入，得 ， 故选：B． 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】 ①②④⑥ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数，即的定义特征． 先对各函数表达式进行化简（若有需要），再根据一次函数形如、正比例函数形如的定义，逐一判断每个函数是否符合条件． 【详解】解：①，符合一次函数的形式，是一次函数，不是正比例函数； ②，符合正比例函数的形式，既是一次函数也是正比例函数； ③，既不是一次函数也不是正比例函数； ④，可化为，符合一次函数定义，是一次函数，不是正比例函数； ⑤，未知数最高次数为2，既不是一次函数也不是正比例函数； ⑥，化简得，符合正比例函数定义，既是一次函数也是正比例函数． 因此，是一次函数的有①②④⑥，是正比例函数的有②⑥． 故答案为：①②④⑥；②⑥． 13．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据加倍点的定义设出加倍点的坐标是解题的关键． 根据加倍点的定义，设出加倍点的坐标，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：设加倍点为：， 代入直线的解析式得：， ∴， ∴加倍点的坐标为：． 故答案为： ． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在一次函数的图象上，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握性质是本题的关键． 直接把点代入一次函数解析式得到，再整体代入求值即可． 【详解】解；∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∴ 故答案为：0． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是一次函数． （2）解：当函数是正比例函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是正比例函数． 题型3 正比例函数的图象和性质 性质由k决定：①k>0：直线过一、三象限，yy随xx增大而增大；②k<0：直线过二、四象限，y随x增大而减小． 16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在直线上，且，则（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数（）中，当时随的增大而减小的性质是解题的关键． 本题根据正比例函数的性质，结合已知条件判断与的大小关系．已知点、在直线上，，可先确定函数的增减性，再根据判断和的大小． 【详解】解： 直线（为常数）是正比例函数，且， 该函数随的增大而减小， 又， ， 故选：B ． 17．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数中k的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点． 根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号判断增减性和所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误． 【详解】选项把代入得所以点在这个图象上，A正确． 选项在正比例函数中，根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而增大，而非减小，B错误． 选项当x增加1时，设原来的x为对应的y为变化后的x为对应的y为则即y增加2，C正确． 选项因为所以正比例函数的图象经过第一、三象限，D正确． 故选：B． 18．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在一、三象限， 故选：B． 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果点在正比例函数的图象上，那么y随着x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了正比例函数的增减性．将点代入函数中，求得的值，然后根据的正负即可判断． 【详解】解：将点代入函数中，得， 解得， ∵， ∴函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和的图象如图所示，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限知：， ∵根据直线越陡，越大， ， ∴， 故答案为：． 21．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知正比例函数的图象与x轴所成的锐角为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质．设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设正比例函数的图象的异于原点的一点的坐标为， 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第一，三象限的角平分线， ∴， ∴； 当时， ∵正比例函数的图象与x轴所成的锐角为， ∴正比例函数的图象是第二，四象限的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，k的值为． 故答案为： 22．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若正比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象，熟知函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解答的关键．将代入中得到，进而解方程求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， 故答案为：． 23．（24-25九年级下·山东聊城·阶段练习）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 【答案】丙 【分析】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 24．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若的取值范围为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． （1）根据题意设，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）将点代入求解即可； （3）根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 将代入，得， 解得， 所以，即． （2）解：将点代入， 得， 解得． （3）在中， 因为， 所以随的增大而增大， 所以当取最小值时，值最小． 当时，， 解得， 所以的最小值为． 题型4 一次函数的图象和性质 “k定方向，b定截距”：①k决定增减性（同正比例函数）；②b决定与y轴交点 (0,b) ．图象必过 (0,b)和 (−b/k,0)点．k相同b不同的直线平行． 25．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由没有意义可得，即可得直线与直线相交，再根据可知直线与轴的交点在直线与轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵没有意义， ∴， ∴直线与直线相交， 又∵， ∴直线与轴的交点在直线与轴的交点上方， 综上各选项，只有选项符合题意， 故选：． 26．（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题把代入正比例函数，解得：，然后可得，然后即可求解 【详解】解：把代入正比例函数，解得：， 把代入一次函数， ∴一次函数解析式为， ∴一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限 故选：D 27．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）正比例函数和一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质、正比例函数的性质，分两种情况：当时，当时，分别结合一次函数的性质和正比例函数的性质分析即可得解，熟练掌握一次函数与正比例函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，正比例函数图象经过第一、三象限，此时，，即一次函数的图象经过第二、三、四象限； 当时，正比例函数图象经过第二、四象限，此时，，即一次函数的图象经过第一、二、三象限； 故选：A． 28．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象，利用、的正负判断一次函数的图象位置是解题的关键，即在中，，，直线经过第一、二、三象限，，，直线经过第一、三、四象限，，，直线经过第一、二、四象限，，，直线经过第二、三、四象限．由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可． 【详解】解：一次函数， 令得：， 解之得：， 一次函数与轴的交点为， 故不可能是点， 故选D． 29．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 30．（24-25八年级下·河北唐山·期末）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一次函数的图象，解题的关键是根据程序得到函数解析式． 根据程序得到函数关系式，即可判断图象． 【详解】解：根据程序框图可得， 的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为． 故选A． 31．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）关于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数图象经过第二、三、四象限 B．函数图象过点 C．当时， D．函数图象是一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意可得，结合得出函数图象经过第二、三、四象限，函数图象是一条直线，即可判断AD，求出当时，，即可判断B；由题意可得函数值随着的增大而减小，即可判断C，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴函数图象经过第二、三、四象限，函数图象是一条直线，故AD正确； 当时，，即函数图象过点，故B正确； ∵， ∴函数值随着的增大而减小， ∴当时，，故C错误； 故选：C． 32．（25-26八年级上·全国·期末）若规定，则对于函数的说法正确的是（    ） A．的值随着值的增大而增大 B．点在函数的图象上 C．函数的图象不经过第一象限 D．函数的图象是一条线段 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．首先根据给定的运算规则求出函数表达式，根据一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：， ． A． 一次函数中， 的值随着值的增大而减小，故A不符合题意； B．当时，， 点不在函数的图象上，故B不符合题意； C． 一次函数中，， 函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C符合题意； D． 一次函数的图象是一条直线，不是线段，故D不符合题意． 故选：C． 33．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）对于试题“直线与直线的交点在第三象限，求k的取值范围”，甲答：；乙答：．则下列说法正确的是（   ） A．甲的答案正确且完整 B．乙的答案正确且完整 C．甲乙答案合在一起才正确 D．甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质．分、和三种情况讨论，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则， ∴直线经过点， 当时，直线与直线的交点一定在第三象限； 当时，直线经过一、三、四象限， 此时直线与直线的交点一定在第三象限； 当时，令，则，交点坐标为， ∵交点在第三象限， ∴，解得，即， 综上，当时，直线与直线的交点一定在第三象限； ∴甲乙答案合在一起也不正确，还有其他的取值， 故选：D． 34．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A，B两点都有，且，则函数图像经过第 象限． 【答案】一、二、三 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，找出，是解题的关键．利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，可得出，，再结合一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数的图象经过第一、二、三象限． 【详解】解：∵如果，是一次函数图象上不同的两点，对于任意的A、B两点都有， ∴与同号， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故答案为：一、二、三． 题型5 一次函数的图象的交点问题 求两直线交点：联立解析式解方程组，解即为交点坐标。判断直线与坐标轴交点：令x=0求y轴交点，令y=0求x轴交点．理解交点即对应方程的解． 35．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）一次函数的图像和轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像与轴的交点问题，把代入一次函数解析式求出的值即可求解，掌握一次函数图像上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴一次函数的图像和轴的交点坐标为， 故选：B． 36．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（　　） A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与一元一次不等式及一次函数与二元一次方程组是解题的关键．依据题意，根据一次函数与一元一次不等式的关系及一次函数与二元一次方程组及一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由题意，直线的图象在第二、三、四象限， ， 故A正确，不合题意； 直线与直线的交点的横坐标为， 方程的解是， 故B正确，不合题意； 直线的图象与y轴交于正半轴， ， 故C正确，不合题意； 结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方， 不等式的解集为， 故D错误，符合题意． 故选：D． 37．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特征，解题的关键是理解x轴上点的纵坐标为利用待定系数法求出点A的坐标即可判断． 【详解】解：对于一次函数，令，可得， ， 点A的坐标是， 故选：． 38．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）函数的图象与轴的交点坐标是 ，将该函数图象向上平移3个单位长度得到的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的平移，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 令求出x的值，从而可得与x轴的交点坐标，再结合平移的规律可得平移后的解析式． 【详解】解：∵函数为， ∴令，则，即． ∴函数的图象与x轴的交点坐标是． 又∵该函数图象向上平移3个单位长度， ∴，即． 故答案为：，． 39．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一次函数． x 0 _______ y _______ 0 (1)请完成下列表格，并在如图所示平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)，2，见解析 (2) 【分析】（1）根据解析式，确定函数值，自变量的值即可； （2）根据函数的性质解答即可． 本题考查了求函数值，自变量的值，函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，得时，；当时，，解得，填表如下： ， 故答案为：，2． 画图象如下： （2）解：由， 当时，， 解得． 40．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）解：点在轴上，若的面积为6， ， ， ， ∵当点在点上方时， ∴． 41．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； (2)观察图象，当时，的取值范围是______________； (3)将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为点， 画出函数图象，如图， 此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4 （2）解：观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为： （3）解：将直线沿轴平移3个单位长度后的直线的函数解析式为， ∴平移后的直线的函数解析式为或． 题型6 一次函数与几何的综合问题 核心是“坐标化”：①用点坐标表示线段长（水平线段=|横坐标差|，垂直线段=|纵坐标差|）；②用距离公式求长度；③用中点公式求中点坐标。常结合面积（割补法）和特殊三角形（勾股定理逆定理）考查． 42．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，为半径画弧．交x轴正半轴于点C．则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与两坐标轴的交点、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 先求得直线与轴交于点与 轴交于点的坐标，再利用勾股定理，解得的长，即可得到的长，继而解得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴令解得 ∴令，解得 的横坐标为， 故选：D． 43．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，射线于点，若点是射线上一动点，点是轴上的一动点，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 　                  　 【答案】或 【分析】此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，熟练掌握求一次函数与坐标轴交点的方法，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 首先求出点，点，则，，当以，，为顶点的三角形与全等时，有以下两种情况：①当时，先证，当，则，，则，据此可得点的坐标；②时，过点作于，由于，因此当时，，，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出，进而再求出，据此可得点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，，当时，， 点，点， ，， 当以，，为顶点的三角形与全等时， 则以，，为顶点的三角形是直角三角形， 因此有以下两种情况： ①当时，如图所示： ，， ，， ， 当时，，， ， 点的坐标为； ②时，如图所示：过点作于， 由①知， 当时，，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 故答案为：或． 44．（24-25七年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴交于A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当移动到与全等时，移动的时间t是（   ） A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质；由直线的函数解析式，令求A点坐标，求 B点坐标，根据题意可知，，分为两种情况：①当M在上时，②当M在的延长线上时，再结合全等三角形性质计算即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴交于A，B两点， ∴当时，； 当时，， ∴， ∴， ∴必有， 分为两种情况： ①当M在上时，， ∴， 动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ∴， ②当M在的延长线上时，， 则， 此时所需要的时间秒， 故选：D． 45．（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 46．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 47．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别是，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点． (1)请按要求作点，并直接写出点的坐标； (2)顺次连接三点，得到，求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小，请在图中标出点，并求出点的坐标． 【答案】(1)见解析，的坐标为，点的坐标为 (2)2 (3)见解析，点的坐标为 【分析】本题主要考查的是轴对称图形的性质、轴对称--路径最短问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等； （2）按要求作出，用割补法求出面积即可； （3）连接，当点在与轴的交点处时，取得最小值，求出所在直线的函数表达式为，进而求出结论． 【详解】（1）解：作点如图所示． 由作图可知，点的坐标为，点的坐标为． （2）如图所示， ． （3）因为点与点关于轴对称，点在轴上， 所以点到点的距离和到点的距离相等，即， 所以． 如图，连接，当点在与轴的交点处时，取得最小值． 设所在直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 则所在直线的函数表达式为． 将代入， 得， 所以点的坐标为． 题型7 一次函数的平移问题 牢记“左加右减（只对x），上加下减（只对y）” ．例如，直线y=kx+b向上平移m个单位得y=kx+b+m。所有平移可转化为先左右后上下。平移后kk不变，仅b变． 48．（24-25八年级下·吉林长春·期末）将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．根据函数图象上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为．即． 故选：D． 49．（24-25八年级下·陕西安康·期末）将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象平移的规律和解析式中参数的求解方法，解题关键是掌握平移规则．将直线向下平移个单位后，解析式变为，代入点即可求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到， 平移后的图象经过点， ， 解得， 故选：C． 50．（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移，正比例函数，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再结合正比例函数的定义求出的值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移2个单位长度后， 所得函数的解析式为． 因为此函数为正比例函数， 所以， 解得． 故选：B． 51．（25-26八年级上·全国·课前预习）函数与的图象在同一直角坐标系中，位置关系是（   ） A．相交 B．互相垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质．根据一次函数的k值相同，得出函数与的图象在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行． 【详解】解：函数与中k值相同， ∴函数与的图象在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行． 故选：C． 52．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为，再结合正比例函数图像过原点可得答案． 【详解】解：将一次函数的图像向左平移个单位长度后， 得到， 把代入， 得， 解得， 故选C． 53．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知直线：平移之后的直线为：，则下面平移方式正确的是（    ） A．向上平移4个单位 B．向下平移2个单位 C．向右平移单位 D．向左平移单位 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可． 【详解】解：∵直线：平移之后的直线为：， ∴设直线平移a个单位后得到直线， ∴， 解得． ∴向右平移单位， ∴C符合题意． 故选：C． 54．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）已知，直线与直线平行，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，解题关键是掌握一次函数图象的平移． 根据互相平行的直线相等求解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 故答案为：． 55．（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，则，根据点，关于轴对称，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 题型8 一次函数的规律探究问题 观察点坐标 (n,yn​)与序号n的关系：①先求前几个点的坐标；②分析横、纵坐标与n的数量关系（如n,2n+1）；③用归纳法写出第nn个点的坐标，并验证。常与图象上的点、面积等结合． 56．（24-25八年级下·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用勾股定理求出，，的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【详解】解：如图， 当时，； 当时，； 可得，， ； ； ； 即，，； ， 可得． 故选：D． 57．（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 【详解】解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 58．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 59．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，分别过轴上的点，作垂直于轴的直线交于点，将，四边形、四边形的面积依次记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数解析式与坐标轴的几何规律题，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 根据梯形的面积公式求解出的函数解析式即可． 【详解】解：当时，；当时，； 当时，； 当时，； 则， 由题意知得， 根据梯形的面积公式得，， ， 故我们可以得出， ∵当均成立， ∴成立， 故答案为：． 60．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点、，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 故答案为：． 61．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，的长为半径画弧交x轴正半轴于点；再过点作x轴的垂线交直线l于点，以原点O为圆心，以的长为半径画弧交x轴正半轴于点；…，按此作法进行下去，则的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正比例函数的图象，点的坐标规律，先求得，，的横坐标，由特殊情况得到一般规律，得到的横坐标是，再得出的横坐标，即可作答． 【详解】解：点的坐标为， ， 依题意，当时，， 的坐标是， 即的横坐标为； 依题意，； 同理，当时，， 的坐标是， 即的横坐标为； 依题意，； 同理，当时，， 的坐标是， 即的横坐标为， …… 以此类推，得的横坐标是， 的横坐标是 故答案为： 62．（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、规律型：点的坐标及坐标与图形变化平移，能根据题意得出点的坐标可表示为是解题的关键．根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：令，则， 在中，， 解得舍负， 则， 所以点坐标为， 因为由沿射线方向平移个单位长度得到， 即向上平移个单位长度，再向右平移一个单位长度， 所以点的坐标为， 同理可得，点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标可表示为， 当时，点的坐标为 故答案为： 63．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，构成形如“”的一个个的图形构成的阴影部分面积分别表示为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找出规律，得到． 根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：根据题意， ∵ ∴， ， ， …… ∴； ∴． 故答案为：． 64．（22-23九年级下·山东泰安·阶段练习）如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与轴交于点，可求出，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，，，┈， ∴，， ∴点的横坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数图形与几何的变换规律的综合，理解等边三角形的性质，一次函数图像的性质和特点，点的变换规律是解题的关键． 题型9 待定系数法求一次函数解析式 核心四步法：①设：设出含待定系数k,b的一般式y=kx+b；②代：将图象上已知的两点坐标 (x1​,y1​),(x2​,y2​)分别代入所设解析式；③解：解关于k,b的二元一次方程组；④写：将求出的k,b值代回所设解析式；关键：若题中已隐含b=0b=0（如正比例函数），则直接设y=kx更简捷． 65．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求一次函数的关系式； (2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形的面积，掌握数形结合思想解题是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）根据（）所得函数解析式，求出点坐标，进而求出的长度，最后根据三角形面积公式计算即可； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 66．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式． (2)现有另一个一次函数，若点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）把点，代入，即可求解； （2）把点代入可得，，从而得到，再整理即可求解 【详解】（1）解：把点，代入得： ，解得：，     ∴的表达式为； （2）解：把点代入得： ，即， ∴， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 67．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为，点的坐标为． (1)求过A，两点直线的函数表达式； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 【答案】(1) (2)2或6 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何的应用等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由点A、B的坐标，可得出的长，结合，可求出的长，然后再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设过A，B两点直线的函数表达式为， 将，代入得： ，解得：， ∴过A，B两点直线的函数表达式为． （2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 综上，的面积为2或6． 68．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，且与成正比例；与成正比例，当时，，当时，． (1)求出与之间的函数关系式； (2)计算时，的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查求一次函数解析式，求函数值，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设，，进而得到，待定系数法求出的值，即可； （2）把代入（1）中的结果，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得：， ∴； （2）当时，． 69．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像经过点． (1)求这个函数的表达式，并判断点是否在此函数图像上； (2)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． (3)把该函数图像向下平移6个单位长度所得图像对应的函数表达式是_____． 【答案】(1) ； 点B不在图像上； (2)面积为4； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变化，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的平移规律； （1）把代入一次函数解析式中，根据待定系数法即可得到函数的表达式，将代入函数表达式，求出对应的y值，再与3进行比较，即可得到结论； （2）求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式即可解答； （3）根据一次函数的平移规律：上加下减即可解答． 【详解】（1）解：把点代入中，得 ， 解得， ∴这个函数的表达式是； 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． （2）令，代入得： ， 令，代入得： ， ∴此函数此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积：； （3）解：把这条直线向下平移6个单位长度后函数表达式为； 故答案为：． 70．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据函数图象直接得出的解集即可； （3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）解：当时，，解得， ∴， 根据函数图象可知，不等式的解集是：． 故答案为：； （3）解：联立， 解得：， ∴点D的坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时点P的坐标为； 当时，，此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． 71．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：______，______，______； (2)求的面积； (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)6 (3)的值为或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）分别求出和的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算，即可作答． （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：直线经过定点， ， ， 直线， 直线经过点， ， ， 把代入，得：， 解得：， 故答案为：；4；2； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴的面积为； （3）解：存在， 动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线， ， ， ， 点的运动时间为秒， ， 分两种情况：点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； 点在线段的延长线上， 和的面积比为， ， ， ， ， 综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或． 十、培优 72．（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式得出：，，，从而得出规律，再计算的长度即可． 【详解】解：∵， ∴将代入得：， ∴， ∴ ∴将代入得：， ∴， ∴, ∴将代入得：， ， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键． 73．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 74．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）定义新运算：，则下列关于函数的说法错误的是(   ) A．图象位于第一、三、四象限 B．图象经过点 C．y随x的增大而减小 D．当时，函数值满足 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质；先根据定义计算出的值，从而得到，再根据一次函数图像的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴图象位于第一、三、四象限，故A正确，不符合题意， 当时，，图象过点，故B正确，不符合题意， ∵， ∴y随x的增大而增大，故C错误，符合题意， 当时，，当时，， ∴当时，函数值满足，故D正确，不符合题意， 故选：C． 75．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，直线解析式为，当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足，解答即可． 本题考查了一次函数的图象，交点问题，图象翻折问题，熟练掌握翻折问题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，直线解析式为， 当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足， 故当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 综上所述，当时，， 故答案为：． 76．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是 ． 【答案】 【分析】先用待定系数法求直线的解析式，则，且；设点N的坐标为，则，消去m，得，再求得，即知点N的运动路径，即可求得答案． 【详解】解：直线与直线平行， 可设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 点在线段上运动， ，且， 设点N的坐标为， N为线段的中点， ， 消去m，得， ，， ， 解得， 令，则， 令，则， 设，， 则点N运动的轨迹长度为线段的长，且． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，两点间的距离公式，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，两点间的距离公式，中点坐标公式是解题的关键． 77．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）直线（k、b是常数且）经过两点，其中，下列五个结论：①；②方程的解在和2之间；③；④；⑤不等式的解集为时，，其中正确的结论有 （只需填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键. ①把代入可判断①正确；②数形结合可判断②正确；把代入消去b，结合可判断③错误；④把代入，结合可判断④正确；⑤结合和的图象，可判断⑤正确． 【详解】解：①把代入，得 ，即，故①正确； ②∵直线经过两点，其中，如图， ∴方程的解在和2之间，故②正确； ③把代入，得 ， 消去b得， ， ∵， ∴，故③错误； ④由，得 ，代入，得 ， ∵， ∴，即，故④正确； ⑤如图， ∵不等式的解集为， ∴，的图象在图象的下方， ∴当时，， ∴，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 78．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．平移1次后，可能到达的点的坐标是，这些点在函数的图象上；平移2次后，可能到达的点的坐标是、、，这些点在函数的图象上；平移3次后，可能到达的点的坐标是，这些点在函数 的图象上． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据平移1次后点P在函数的图象上；平移2次后点P在函数的图象上；那么平移3次后点P在函数的图象上． 【详解】解：由题意可知， 平移1次后，可能到达的点的坐标是，设这些点所在直线的表达式为，把代入，解得， 所以函数表达式为，其中， 平移2次后，可能到达的点的坐标是、、，设函数表达式为，把、代入，解得， 所以函数表达式为，其中， 推导平移 3 次的函数表达式通过前面的规律可以发现，每次平移后得到的点所在直线的k都为，与轴交点b等于平移次数乘以2， 平移3次，则，那么这些点所在函数的表达式为， 这些点在函数的图象上． 故答案为：． 79．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知点到直线的距离公式为，例如：点到直线的距离为，请根据该公式解决以下问题：①若点和点到直线的距离相等，则k的值为 ；②在直线上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质．①根据公式代入数据建立关于k的方程，求出k值即可；②利用配方法将转化为，利用点在直线的距离公式求出点到直线的距离，再代入代数式计算即可． 【详解】解：①根据点到直线的距离公式得：，， ∵点和点到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或， ∴； 故答案为：； ② ， 点到直线的距离为：， ∵点到点的距离为：， 故 ． 故答案为：． 80．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系：图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_____________；②_____________；③_____________；④_____________． (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你帮他写出该函数图象的两条几何特征，及相应函数的数量特征． 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    【答案】(1)①原点（或）；②一、三；③；④增大 (2)见解析 【分析】本题主要考查正比例一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图象即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质和特征即可． 【详解】（1）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第一、三象限 ∵，且， ∴当时，，当时，， 即当时，，同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中）， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值随值的增大而增大． …… …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； （2）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第三、四象限 ∵，当，， 当时，， 即当时，始终为负数． 在第三象限，图象从左往右是上升趋势 设点，是该函数图象上的两点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的值随值的增大而增大． 在第四象限，图象从左往右是下降趋势 设点，是该函数图象上的两点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 即， ∴， ∴的值随值的增大而减小． 图象关于轴对称 设点，是该函数图象上的两点，其中， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴，即． 81．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N． (1)求点A，B的坐标： (2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值； (3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3)长方形周长的最大值为22 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识，注意分类讨论思想的运用． （1）在中，分别令，相应地可求得的值，从而得到A、B的坐标； （2）求出直线的解析式，由题意知，则，由为定值，即可求得t的值； （3）分与两种情况考虑，利用一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，则；令，即，得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ∴， 即直线的解析式为； 设，则； ∵轴， ∴， ∴， ∴； 由题意得：， ∴； （3）解：当时， 由（2）知，，，此时， 则长方形周长为； 当时， ∵， 设直线解析式为， 把B、C两个坐标代入得， 解得：， 即直线解析式为， 则； ∴长方形周长为，其中， ∵， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴当时，长方形周长有最大值22； 综上，长方形周长的最大值为22． 82．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图1，在矩形中，．动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交矩形一边于点Q．设点P运动时间为x秒，线段的长度为，请回答下列问题： (1)请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； (3)当时，与x的函数图象与直线有两个交点． 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质等知识，掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例，进而得出一次函数的解析式即可； （2）根据一次函数的解析式画出图象，然后根据图像分析性质即可； （3）先根据函数图象确定临界点，最后根据临界点即可解答．． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：当点P在之间，即时， 设点P运动时间为x秒，线段的长度为，则； ∵， ∴， ∴， 当点P在之间，即时， 设点P运动时间为x秒，线段的长度为，则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，； （2）解：绘制函数图象如下： 函数y的性质有：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； （3）解：如图：当直线过点时， ∴，解得：， 当直线过点时， ∴，解得：， ∴当时，与x的函数图象与直线有两个交点． 故答案为：． 83．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是线上的动点，且横坐标为． (1)若时，求点的坐标． (2)当点与点重合时，求直线的解析式． (3)当点与点不重合时，过点作轴和直线的垂线，分别交直线于点、，过点作轴交直线于点，连结． ________． 以和为边作，若时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)；或． 【分析】（）由题意得，联立，即可求解； （）由题意得点的坐标为，将代入即可求解； （）根据题意作法可求得点，，则，，由勾股定理得得，再求出，则有，然后根据正切的定义即可求解； 由得，，根据和为边作，， 然后通过平行四边形面积公式得出，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 联立，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点的横坐标为，且点与点重合， ∴点的坐标为； 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：如图， ∵点是线上的动点，且横坐标为，轴， ∴点横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∵点纵坐标相同， ∴， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 由得，， ∵和为边作，， ∴， ∴，整理得：， ∴或， 解得：或， 【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，解直角三角形，两点间的距离，解二元一次方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 84．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点C，B点在x轴上且A、B关于y轴对称，的面积为48，． (1)如图1，求直线的解析式． (2)如图2，点D在线段上（不与点A、C重合），连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围． (3)如图3，在（2）的条件下，过点D做轴，垂足为E，点K为的中点，连接，延长交x轴于N，F为上一点，连接，若，，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查运用待定系数法求一次函数解析式，中点坐标公式以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）根据对称的性质求出点B的坐标，运用三角形面积公式求出点C的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据“”求解即可； （3）根据中点坐标公式求出点的坐标，再求出点的坐标，过点作于点，交轴于点，证明，得，由此列方程，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵且点在轴的负半轴上， ∴， 又点A与点B关于y轴对称， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴即 解得， ∵点C在轴的轴上， ∴ 设直线的解析式为 把代入得： ， 解得，， 所以，直线的解析式为； （2）解：∵点D在线段上，且点D横坐标为， ∴， ∵ ∴ ； 即 （3）解：∵，且为的中点， ∴，即， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， 而 ∴ 过点作于点，交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴， ∴． 85．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，直线的图像分别与轴、轴交于、两点，且点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)直线分别与直线、交于点和点，当时，求的值； (4)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)或 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）将点坐标代入求出，即可得到解析式； （2）根据解析式分别求出点、坐标和两直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，则，当，即，即可求解． （4）根据解析式分别求出线段和线段长，根据题意可得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：在中， 当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 联立方程组， 解得， ∴的交点坐标为， ∴与轴所围成的三角形的面积为； （3）解：∵与交于点， 则， 当， 即， ， 则或， 解得或． 即的值为或； （4）解：∵和， ， 设直线与和分别交于点和， 在函数中，当时，， 在函数中，当时，， ， ， ∵，即线段向左平移2个单位开始有2个交点， ， ∴的范围为． 故将线段向左平移个单位，若与直线同时有公共点，的取值范围为． 试卷第2页，共86页 2 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $$