第1章 一元二次方程 单元过关测试 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C A B D C D A 一．选择题（共10小题） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y＝x2 B．x+2＝x2 C． D．2x+1＝5 【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是一元二次方程，故此选项符合题意； C．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．一元二次方程x2﹣6x+6＝0配方可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝3 【解答】解：x2﹣6x+6＝0， 移项，得x2﹣6x＝﹣6， 配方，得x2﹣6x+32＝9﹣6， 即（x﹣3）2＝3． 故选：A． 3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）＝0， 解得m＝3． 故选：C． 4．一元二次方程x2﹣5x+7＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【解答】解：∵x2﹣5x+7＝0， a＝1，b＝﹣5，c＝7， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0， ∴方程没有实数根， 故选：C． 5．一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的根，则该三角形的面积是（　　） A．10 B．4或10 C．8或10 D．4 【解答】解：解方程x2﹣3x﹣10＝0得：x1＝5，x2＝﹣2（舍）， ∴该直角三角形的另一条直角边长是5， 故该三角形的面积， 故选：A． 6．已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【解答】解：∵m、n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m2﹣5m﹣2025＝0，m+n＝5， ∴m2﹣5m＝2025， 即m2﹣4m＝2025+m， 则m2﹣4m+n﹣2＝2025+m+n﹣2＝2025+5﹣2＝2028， 故选：B． 7．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【解答】解：由题意可知： Δ＝b2﹣4ac＝4﹣12（k+1）＞0且k+1≠0， 解得：且k≠﹣1， ∴k的值可以是； 故选：D． 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A． B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 【解答】解：由题意可知，宽为（60﹣x）步， 则可列方程为x（60﹣x）＝864， 故选：C． 9．已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1 【解答】解：已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣m＝0， 那么x＝1或x＝m， ∵关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解， ∴a（x﹣n）2＝b的解为x＝1或x＝m， ∴a（1﹣n）2＝b，a（m﹣n）2＝b， 则（1﹣n）2＝（m﹣n）2， 那么m﹣n＝n﹣1或m﹣n＝1﹣n， 则m﹣2n＝﹣1或m＝1， 当m＝1时，n＝1，满足m﹣2n＝﹣1， 综上，m﹣2n＝﹣1， 故选：D． 10．已知α，β是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　） A．3 B．3或﹣1 C．1 D．﹣3或1 【解答】解：∵α，β是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根， ∴α+β＝﹣2m﹣3，αβ＝m2． ∵，即1． ∴1，即m2﹣2m﹣3＝0． ∴（m﹣3）（m+1）＝0， ∴m＝3，m＝﹣1． Δ＝（2m+3）2﹣4•m2 ＝（2m+3+2m）（2m+3﹣2m） ＝3（4m+3） ＝12m+9． ∵方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根， ∴12m+9＞0． ∴m． ∴m＝3． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 12．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的一个根为1，则m为　﹣1　 ． 【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+2m＝0得1﹣m+2m＝0， 解得m＝﹣1． 故答案为﹣1． 13．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m且m≠0　 ． 【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝32﹣4m×（﹣1）＞0， 解得m且m≠0， 即实数m的取值范围为m且m≠0． 故答案为：m且m≠0． 14．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 　20%　 ． 【解答】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：500（1+x）2＝720， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 即该品牌头盔销售量的月增长率为20%． 故答案为：20%． 15．已知x＝2是一元二次方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则4a2+b2﹣4ab﹣3＝ 　13　 ． 【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+ax﹣b＝0的一个根， ∴22+2a﹣b＝0， ∴2a﹣b＝﹣4， ∴4a2+b2﹣4ab﹣3＝（2a﹣b）2﹣3＝16﹣3＝13． 故答案为：13． 16．对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 x1＝2，x2＝﹣1　 ． 【解答】解：1☆x＝2， x2﹣x＝2， x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　14　 ． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 18．已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为 　﹣5＜k＜﹣1　 ． 【解答】解：∵m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1． ∴m2+4m﹣k﹣1＝0，（﹣n）2+4（﹣n）﹣k﹣1＝0， ∴m、﹣n可看作方程x2+4x﹣k﹣1＝0的两根， ∵Δ＝42﹣4（﹣k﹣1）＞0， 解得k＞﹣5， 根据根与系数的关系得m•（﹣n）＝﹣k﹣1， 即mn＝k+1， ∵m，n异号， ∴k+1＜0， 解得k＜﹣1， ∴k的取值范围为﹣5＜k＜﹣1． 故答案为：﹣5＜k＜﹣1． 三．解答题（共6小题） 19．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4） ＝k2+8k+16﹣8k﹣16 ＝k2， ∵k2≥0， ∴Δ≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+4﹣2（k+4）+4 ＝2k+4﹣2k﹣8+4 ＝0． 20．解下列方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2＝2x﹣6； （3）2x2﹣3x﹣2＝0． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16+4＝20， ∴， ∴； （2）（x﹣3）2＝2x﹣6， （x﹣3）2＝2（x﹣3）， （x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝3，x2＝5； （3）2x2﹣3x﹣2＝0， （2x+1）（x﹣2）＝0， ∴2x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1，x2＝2． 21．习题课上，老师给了一道方程：x2﹣5x＝x﹣5． 嘉嘉的解法是：原方程可化为x2﹣5x+x＝﹣5，…第一步 所以x2﹣4x+4＝﹣5+4，即（x+2）2＝﹣1，…第二步 所以方程没有实数根．…第三步 琪琪的解法是：原方程可化为x（x﹣5）＝x﹣5，…第一步 两边都除以（x﹣5），得x＝1．…第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 【解答】解：（1）嘉嘉第一步开始错误；琪琪第二步错误； （2）原方程可化为x（x﹣5）＝x﹣5， 所以x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0， 所以x﹣1＝0 或 x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝5． 22．2025年6月26日﹣28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数．（请用方程知识解答）． 【解答】解：设这个最小数为x，则最大数为（x+8）， 根据题意列一元二次方程可得：x（x+8）＝65， 整理得：x2+8x﹣65＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣13（不合题意，舍去）． 即这个最小数为5， 答：这个最小数为5． 23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例：求代数式y2+4y+4的最小值． 解：∵y2+4y+4＝（y+2）2≥0， ∴当y＝﹣2时，代数式y2+4y+4的最小值是0． （1）求代数式m2+2m+3的最小值； （2）如图所示，第一个长方形的两邻边长分别是2a+5，3a+2，面积为S1；第二个长方形的两邻边长分别是5a，a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）仿照题干，利用完全平方公式可得： m2+2m+3＝（m2+2m+1）+2＝（m+1）2+2≥2， ∴当m＝﹣1时，m2+2m+3的最小值是2． （2）S1＞S2．理由如下： ∵，， ∴， ∴S1＞S2． 24．根据以下素材，探索完成任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材1 经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长量相同． 素材2 根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件． 问题解决 任务1 分析数量关系 根据素材1中的信息，请确定“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率． 任务2 分析变量关系 根据素材2中的信息，若设该系列手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请确定y（件）关于x（元/件）的函数关系式． 任务3 探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，在考虑到与其他文创公司之间的竞争的前提下，为使月销售利润达到100000元，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？ 【解答】解：（任务1）设“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率为a， 根据题意得：1500（1+a）2＝2160， 解得：a1＝0.2＝20%，a2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率为20%； （任务2）根据题意得：y＝6000﹣100（x﹣40）＝10000﹣100x， ∴y（件）关于x（元/件）的函数关系式为y＝﹣100x+10000（x≥40）； （任务3）根据题意得：（x﹣30）（﹣100x+10000）＝100000， 整理得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80． 答：该文创公司应将手办的实际售价定为50元/件或80元/件． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页（共 4页） 第 1章 一元二次方程(提升卷） 单元过关测试 时间：100 分钟 满分：100 分 试卷得分： 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A．y＝x2 B．x+2＝x2 C． 1 �2 + � = 2 D．2x+1＝5 2．一元二次方程 x2﹣6x+6＝0配方可变形为（ ） A．（x﹣3）2＝3 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝3 3．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m+1＝0有两个相等的实数根，则实数 m 的值为（ ） A．5 B．2 C．3 D．4 4．一元二次方程 x2﹣5x+7＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．一个直角三角形的一条直角边长是 4，另一直角边的长是一元二次方程 x2﹣3x﹣10＝0的根，则该三角 形的面积是（ ） A．10 B．4或 10 C．8或 10 D．4 6．已知 m，n 是方程 x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则 m2﹣4m+n﹣2的值是（ ） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 7．关于 x 的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则 k 的取值可以是（ ） A．﹣1 B．0 C．− 23 D．− 3 2 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔 与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是 864平步，其中宽与长的和为 60步，问宽和 长各几步？若设长为 x 步，则下列符合题意的方程是（ ） A．� ⋅ 60−�2 = 864 B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 9．已知关于 x 的方程 a（x﹣1）（x﹣m）＝0与 a（x﹣n）2＝b 有相同的解，则 m 与 n 之间的等量关系为 第 2页（共 4页） （ ） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1 10．已知α，β是关于 x 的方程 x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足 1 � + 1 � =− 1，则 m 的 值为（ ） A．3 B．3或﹣1 C．1 D．﹣3或 1 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11．一元二次方程 x2﹣x＝0的解是 ． 12．关于 x 的一元二次方程 x2﹣mx+2m＝0的一个根为 1，则 m 为 ． 13．若关于 x 的一元二次方程 mx2+3x﹣ 1＝ 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围 是 ． 14．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔 4月份到 6 月份的销量，该品牌头盔 4月份销售 500个，6月份销售 720个，且从 4月份到 6月份销售量的月增长 率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 ． 15．已知 x＝2是一元二次方程 x2+ax﹣b＝0的一个根，则 4a2+b2﹣4ab﹣3＝ ． 16．对于实数 a，b 定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如 4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于 x 的 方程 1☆x＝2的根为 ． 17．已知 x1，x2是一元二次方程 x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则(�1 − �2)2 + 3�1�2的值是 ． 18．已知实数 k、m、n（m+n≠0），满足 m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若 m，n 异号，则 k 的取值范围 为 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．(本小题 8分)已知关于 x 的方程 x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论 k 为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为 x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 20．(本小题 10分)解下列方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2＝2x﹣6； （3）2x2﹣3x﹣2＝0． 第 3页（共 4页） 21．(本小题 8分)习题课上，老师给了一道方程：x2﹣5x＝x﹣5． 嘉嘉的解法是：原方程可化为 x2﹣5x+x＝﹣5，…第一步 所以 x2﹣4x+4＝﹣5+4，即（x+2）2＝﹣1，…第二步 所以方程没有实数根．…第三步 琪琪的解法是：原方程可化为 x（x﹣5）＝x﹣5，…第一步 两边都除以（x﹣5），得 x＝1．…第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 22．(本小题 10分)2025年 6月 26日﹣28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出 4 个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为 65，求这个最小数．（请用方程知识 解答）． 23．(本小题 10分)先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例：求代数式 y2+4y+4的最小值． 解：∵y2+4y+4＝（y+2）2≥0，∴当 y＝﹣2时，代数式 y2+4y+4的最小值是 0． （1）求代数式 m2+2m+3的最小值； （2）如图所示，第一个长方形的两邻边长分别是 2a+5，3a+2，面积为 S1；第二个长方形的两邻边长分 别是 5a，a+5，面积为 S2．试比较 S1与 S2的大小，并说明理由． 第 4页（共 4页） 24．(本小题 10分)根据以下素材，探索完成任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人 心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高 燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材 1 经公司销售部统计，该系列手办在 2月份销售 1500件，4月份销售 2160 件，且从 2月份到 4月份销售量的月增长量相同． 素材 2 根据市场部反馈，当每个手办售价为 40元时，月销售量为 6000件， 在此基础上售价每涨 1元，则月销售量将减少 100件． 问题解决 任务 1 分析数量关系 根据素材 1中的信息，请确定“魔童 觉醒”系列手办在 2 月份到 4 月份销 售量的月增长率． 任务 2 分析变量关系 根据素材 2中的信息，若设该系列手 办的售价为 x 元/件，月销售量为 y 件，请确定 y（件）关于 x（元/件） 的函数关系式． 任务 3 探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成 本为每件 30元，在考虑到与其他文 创公司之间的竞争的前提下，为使月 销售利润达到 100000元，则该文创 公司应将手办的实际售价定为多少 元/件？ 第1章 一元二次方程(提升卷） 单元过关测试 时间：100分钟 满分：100分 试卷得分： 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y＝x2 B．x+2＝x2 C． D．2x+1＝5 2．一元二次方程x2﹣6x+6＝0配方可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝3 3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 4．一元二次方程x2﹣5x+7＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的根，则该三角形的面积是（　　） A．10 B．4或10 C．8或10 D．4 6．已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 7．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（　　） A． B．x（60+x）＝864 C．x（60﹣x）＝864 D．x（30﹣x）＝864 9．已知关于x的方程a（x﹣1）（x﹣m）＝0与a（x﹣n）2＝b有相同的解，则m与n之间的等量关系为（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m+2n＝﹣1 D．m﹣2n＝﹣1 10．已知α，β是关于x的方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　） A．3 B．3或﹣1 C．1 D．﹣3或1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　 　 ． 12．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的一个根为1，则m为　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　 ． 14．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 　 　 ． 15．已知x＝2是一元二次方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则4a2+b2﹣4ab﹣3＝ 　 　 ． 16．对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　 　 ． 17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 　 　 ． 18．已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为 　 　 ． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题分已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值． 20．本小题分解下列方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2＝2x﹣6； （3）2x2﹣3x﹣2＝0． 21．本小题分习题课上，老师给了一道方程：x2﹣5x＝x﹣5． 嘉嘉的解法是：原方程可化为x2﹣5x+x＝﹣5，…第一步 所以x2﹣4x+4＝﹣5+4，即（x+2）2＝﹣1，…第二步 所以方程没有实数根．…第三步 琪琪的解法是：原方程可化为x（x﹣5）＝x﹣5，…第一步 两边都除以（x﹣5），得x＝1．…第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 22．本小题分2025年6月26日﹣28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数．（请用方程知识解答）． 23．本小题分先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．例：求代数式y2+4y+4的最小值． 解：∵y2+4y+4＝（y+2）2≥0，∴当y＝﹣2时，代数式y2+4y+4的最小值是0． （1）求代数式m2+2m+3的最小值； （2）如图所示，第一个长方形的两邻边长分别是2a+5，3a+2，面积为S1；第二个长方形的两邻边长分别是5a，a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由． 24．本小题分根据以下素材，探索完成任务： 任务背景 2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材1 经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长量相同． 素材2 根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件． 问题解决 任务1 分析数量关系 根据素材1中的信息，请确定“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率． 任务2 分析变量关系 根据素材2中的信息，若设该系列手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请确定y（件）关于x（元/件）的函数关系式． 任务3 探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，在考虑到与其他文创公司之间的竞争的前提下，为使月销售利润达到100000元，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$