专题03 三角形的内角与外角重难点题型专训（3个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题03 三角形的内角与外角重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的外角的定义及性质 题型二 三角形内角和定理的证明 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型五 三角形折叠中的角度问题 题型六 三角形内角和定理的应用 题型七 直角三角形的两个锐角互余 题型八 锐角互余的三角形是直角三角形 拓展训练一 三角形中旋转问题 拓展训练二 与三角形内角和定理的角度计算 拓展训练三 三角形中翻折问题综合 拓展训练四 三角形内角和的综合应用 知识点一： 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）三角形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图是两个直角三角形，则的度数是 ． 知识点二： 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）已知，为直角两锐角，，则 知识点三： 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·阶段练习）如图，的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图， 是的外角，以为外角的三角形有 个，它们是 ． 【经典例题一 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，的度数可能是(    ) A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川巴中·期末）通过下面几个图形说明“锐角，锐角的和是锐角”，其中错误的例证图是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得， ，则直线与所夹锐角的大小为 ． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【经典例题二 三角形内角和定理的证明】 【例2】 （24-25八年级上·广西来宾·期中）已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）在中，，若，则的度数是 ． 3．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 4．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【经典例题三 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例3】（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线AB∥CD，，，则等于（    ） A．70° B．80° C．90° D．100° 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 2．（24-25九年级·河南·阶段练习）如图，，垂足为，，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则度数为 ． 4．（24-25八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，已知，，．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【经典例题四 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例4】（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，、分别是、的平分线，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，平分，若，则 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 【经典例题五 三角形折叠中的角度问题】 【例5】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，将长方形沿折叠，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，将沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）在中，，，点D在边上，将沿翻折后得到，边和边重合时结束，边交边于点F．若折叠过程中，中有两个角相等，则此时的度数为 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 【经典例题六 三角形内角和定理的应用】 【例6】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．若，则 ． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【经典例题七 直角三角形的两个锐角互余】 【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，中，为的高，，，那么 ． 3．（24-25八年级上·天津河西·期中）如图，中，，，平分，于点，，则 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则________； (2)已知 是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________． 【经典例题八 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·福建宁德·模拟预测）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 4．（24-25八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【拓展训练一 三角形中旋转问题】 1．（2025·河北唐山·模拟预测）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，与相交于，将直线绕点按照逆时针方向旋转后，，则的值为（   ） A．60 B．40 C．30 D．20 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，是由ABC旋转而成，连接A、B交点为F，若∠ABC=90°，∠BFA=25°，则∠BAC= ． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，与摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中，，．如图2，固定，将绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）． (1)当时， °； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； ①当时，如图2，，，∴， ②当时，试探究与之间的关系，并说明理由； ③当时，直接写出与之间的关系； (3)当的边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数． 【拓展训练二 与三角形内角和定理的角度计算】 1．（2025·重庆·模拟预测）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C，若∠A=45°．∠B′=110°，则∠ACB的度数是 ． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期末）将一根铁丝AF按如下步骤弯折： 第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF； 第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF． 解答下列问题： (1)如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数； (2)如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E； (3)将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数． 【拓展训练三 三角形中翻折问题综合】 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是 ． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）在中，，点在边上，将沿翻折得到，交直线于点． (1)如图1，当点在边上时， ①若，，，直接写出与的周长的和； ②若，试说明：； (2)如图2，若，将绕点逆时针旋转角度，记旋转中的为，在旋转过程中，直线分别与直线，直线相交于点，，是否存在这样的点，，使得?若存在，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【拓展训练四 三角形内角和的综合应用】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是 A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题： (1)在图中，试说明：． (2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数； (3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 1．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）、和是一个三角形的三个内角．如果，那么这个三角形一定是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 7．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图所示，的外角等于，等于，则的度数是 ． 8．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，，，，则 度． 9．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，点D在AB边上（不与A、B重合），连接CD，将△ACD沿CD所在直线折叠得到△A′CD，A′C交AB于点E． 请从A、B两题中任选一题作答．我选择 题． A．如图1，若A′D∥BC，则∠ACD的度数为 ． B．如图2，若A′E＝A′D，则∠ACD的度数为 ． 10．（24-25八年级上·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，为三角形的角平分线，交于点D，求的度数． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，和的延长线于点，，．求证：． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）数学中，我们把有一个内角大于的四边形称为镖形． （1）如图，在镖形中，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图，__________；（用含的代数式表示） （3）如图，已知直角的直角顶点落在直线上，过点、分别作的垂线段，垂足为、，若、的平分线交于点，则_________； （4）如图，在（）的条件下，、分别为，的角平分线，它们的交点为；、分别为、的角平分线，它们的交点为；以此类推，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形的内角与外角重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的外角的定义及性质 题型二 三角形内角和定理的证明 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型五 三角形折叠中的角度问题 题型六 三角形内角和定理的应用 题型七 直角三角形的两个锐角互余 题型八 锐角互余的三角形是直角三角形 拓展训练一 三角形中旋转问题 拓展训练二 与三角形内角和定理的角度计算 拓展训练三 三角形中翻折问题综合 拓展训练四 三角形内角和的综合应用 知识点一： 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）三角形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查三角形内角和定理，根据三角形的内角和等于，得出答案． 【分析】解：三角形的内角和等于， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图是两个直角三角形，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的知识，先将两个直角三角形分开求解出的度数，再利用四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得：在中，可求得， 在中，可求得， 则在四边形中， ， 所以的度数为． 故答案为． 知识点二： 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）已知，为直角两锐角，，则 【答案】36°或36度 【分析】根据直角三角形中，两个锐角互余计算即可． 【详解】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角， ∴∠A＝90°−∠B＝36°， 故答案为：36° 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 知识点三： 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·阶段练习）如图，的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角可得，，，然后求和解答即可． 【详解】解：如图，设交点为O， 则，，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图， 是的外角，以为外角的三角形有 个，它们是 ． 【答案】 2 和 【分析】本题考查三角形的外角的定义，根据“三角形的一边的延长线与另一边形成的夹角是三角形的外角”求解即可． 【详解】观察图形可得：是的外角， 以为外角的三角形有和，共2个， 故答案为：，2，和． 【经典例题一 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，的度数可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．连接，由三角形的外角性质得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴的度数可能是． 故选：B． 1．（24-25八年级上·四川巴中·期末）通过下面几个图形说明“锐角，锐角的和是锐角”，其中错误的例证图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角和定理，熟练掌握三角形的外角和是解题的关键．根据三角形的外角和定理进行判定即可． 【详解】 解：锐角，锐角的和是钝角；故选项A符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项B不符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项C不符合题意； 锐角，锐角的和是锐角，故选项D不符合题意； 故选A． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得， ，则直线与所夹锐角的大小为 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是关键． 如图：延长交于F，再根据三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：如图：延长交于F， ∵， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 【经典例题二 三角形内角和定理的证明】 【例2】 （24-25八年级上·广西来宾·期中）已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【分析】直接根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60， ∴∠B＝30， 故选：A． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质两锐角互余解答． 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）在中，，若，则的度数是 ． 【答案】25° 【分析】根据三角形的内角和即可求解． 【详解】∵在中，， ， ∴∠A=180°-∠C-∠B=25° 故答案为：25°． 【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°． 3．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 【经典例题三 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例3】（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线AB∥CD，，，则等于（    ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】设CD交BE于点F，根据AB∥CD，可得∠CFE=∠B=60°，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，设CD交BE于点F， ∵AB∥CD，， ∴∠CFE=∠B=60°， ∵∠CFE+∠C+∠E=180°，， ∴∠E=180°-∠C-∠CFE=80°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握两直线平行，同位角相等；三角形的内角和等于180°是解题的关键． 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　） A．76° B．78° C．80° D．82° 【答案】B 【详解】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥RS∥MN， ∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°， ∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK）， ∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°， ∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC， 又∠BKC﹣∠BHC=27°， ∴∠BHC=∠BKC﹣27°， ∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°）， ∴∠BKC=78°， 故选B． 2．（24-25九年级·河南·阶段练习）如图，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠D的度数，由EF⊥BD可得出∠DFE=90°，再利用三角形内角和定理可求出∠2的度数． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠D=∠1=43°． ∵EF⊥BD，垂足为F， ∴∠DFE=90°， ∴∠2=180°-90°-43°=47°． 故答案为：47°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、垂线以及三角形内角和定理，利用平行线的性质及垂线的定义，求出∠D，∠DFE的度数是解题的关键． 3．（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则度数为 ． 【答案】150° 【分析】法一：过B作，运用平行线性质及已知条件，可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出的度数． 法二：延长AB、FC，交于点D，运用平行线性质及已知条件，可得，结合三角形内角和定理，求得，从而求得． 【详解】解：法一，如图，过B作， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 法二，如图，延长AB、FC，交于点D， ∵，， ∴． ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：150°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，构造恰当的辅助线是解题的关键． 4．（24-25八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，已知，，．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）的延长线交于点，可求，从而可求，即可求解； （2）延长交于点，可求，从而可求，即可求证． 【详解】（1）解：如图，的延长线交于点，，    ，， ， ， ， ； （2）证明：，理由如下： 如图，延长交于点，    由（1）知，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，理解定义，掌握性质是解题的关键． 【经典例题四 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例4】（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，、分别是、的平分线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质和三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键； 根据角平分线的定义得出，，然后求出，即可求解； 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∵内角和为，， ∴， ∴， ∵内角和为， ∴； 故选：B； 1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与高和角平分线有关的三角形内角和的运算，先算出，通过角的运算，得出，结合三角形的内角和180度进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则 故答案为：。 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，折叠的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形内角和定理和角平分线的定义，可推出，由折叠的性质可知，，，进而得出，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ，， ， 故答案为： 4．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，的和的平分线相交于点． (1)若，，求度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）利用角平分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理得，再把代入计算即可求证； 本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ． 【经典例题五 三角形折叠中的角度问题】 【例5】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理；由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，将长方形沿折叠，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、平角的性质等知识点，掌握折叠的性质成为解题的关键． 由平角的性质可得,再根据折叠的性质可得,即，据此即可解答． 【详解】解：由平角的定义可得：， 又由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，将沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度． 【答案】50 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、折叠的性质等知识点，灵活运用三角形的内角和是是解答本题的关键．根据折叠的性质可知，利用平角是求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）在中，，，点D在边上，将沿翻折后得到，边和边重合时结束，边交边于点F．若折叠过程中，中有两个角相等，则此时的度数为 ． 【答案】或 【分析】设，根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 当中有两个角相等，分三种情况： 当时，则，（舍去）； 当时，则，； 当时，则，； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质： （1）先由三角形内角和定理求出，进而求出，由折叠的性质可得； （2）分当时，当时，两种情况，画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得； （2）解：如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， 同理可得； 如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【经典例题六 三角形内角和定理的应用】 【例6】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据判定后可得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 则中，． 故选：． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、平行线的性质、垂直的性质以及三角形内角和与外角的性质，解题的关键是利用相关性质推导各角之间的数量关系，进而判断选项的正确性． 根据角平分线定义得到角的倍数关系，结合平行线性质（同位角、同旁内角）、垂直性质（直角）及三角形内角和与外角定理，逐一分析各选项中角的关系是否成立． 【详解】解：已知在中，，故． ∵平分，平分， ， ． 选项∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分， ∴， ∴ ，A正确． 选项∵，， ∴（一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），即． ∴． 在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，B正确． 选项C：在中， ． ∵与是对顶角， ∴，C错误． 选项是的外角，则． ， ，D正确． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于 ． 【答案】/104度 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键． 先利用三角形内角和定理求出，可得平分，平分，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆，点是内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，设，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，，则可证明；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键． 本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题七 直角三角形的两个锐角互余】 【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足为D．下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余写出各角的关系，然后选择答案即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴A、B、D选项结论不一定正确，C选项正确． 故选：C． 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，如图，作利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，中，为的高，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高的定义，由，设，则，，进而利用直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解． 【详解】解：由 ，设，则， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·天津河西·期中）如图，中，，，平分，于点，，则 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．先求出，结合角平分线的定义，得出，根据直角三角形两锐角互余，得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”， ，，则________； (2)已知 是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________． 【答案】(1) (2)①是，见解析；②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角等知识． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答； ②由题意可得，所以分两种情况，，． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 故答案为：或． 【经典例题八 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可． 【详解】解：、，此时只为等腰角三角形，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ，， 不能确定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、， ， 即为直角三角形，故本选项符合题意； 、，， ， 即为锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形． 1．（2025·福建宁德·模拟预测）已知，，点是上一点，要求用尺规在边上确定一点，使得．小明同学的作法如图所示，其说明直线是垂线的推理过程中，没有用到的依据是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等量代换 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角的作图，涉及了直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键． 根据直角三角形的性质与判定推出，作图即可． 【详解】解：∵， ∴（直角三角形的两个锐角互余）， 若， ∴（等量代换）， ∴，（两个锐角互余的三角形是直角三角形）， ∴， 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据长方形的性质可求出，由折叠可得对应角相等可得，，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ， 由折叠的性质知，， ∴在中，， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【拓展训练一 三角形中旋转问题】 1．（2025·河北唐山·模拟预测）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，与相交于，将直线绕点按照逆时针方向旋转后，，则的值为（   ） A．60 B．40 C．30 D．20 【答案】C 【分析】本题考查三角形的相关知识，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题关键.先求出∠O的度数，再根据垂直的定义即可得到旋转的度数. 【详解】解：根据三角形外角的性质可得， 已知将直线绕点按照逆时针方向旋转 ()后，， 故. 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，是由ABC旋转而成，连接A、B交点为F，若∠ABC=90°，∠BFA=25°，则∠BAC= ． 【答案】75° 【分析】根据旋转不变性可知：CA=CA＇，CB=CB＇，∠ACB=∠A＇CB＇，再由外角的性质得∠BFA=∠ACB，最后根据三角形内角和的性质求出答案． 【详解】解：由旋转不变性可知：CA=CA＇，CB=CB＇，∠ACB=∠A＇CB＇ ∴∠CAA＇=∠CA＇A，∠CBB＇=∠CB＇B ∵∠ACB=∠CAA＇+∠CA＇A，∠A＇CB＇=∠CBB＇+∠CB＇B ∴∠CAA＇=∠CA＇A=∠CBB＇=∠CB＇B ∵∠BFA=∠CBB＇+∠CA＇A=25°， ∴∠ACB=∠CAA＇+∠CA＇A=25°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAC= ∠ABC -∠ACB=90°-25°=75° 故答案为：75° 【点睛】本题考查旋转变换，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，与摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中，，．如图2，固定，将绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角（）． (1)当时， °； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； ①当时，如图2，，，∴， ②当时，试探究与之间的关系，并说明理由； ③当时，直接写出与之间的关系； (3)当的边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数． 【答案】(1)35 (2)②；③； (3)或或 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是正确解答的关键． （1）根据旋转角的定义进行教师即可； （2）根据旋转过程中各个角之间的变化关系进行解答即可； （3）在旋转过程中，画出的边与的某一边平行（不共线）的所有可能出现的情况图，再根据各个角之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）如图2，当时，， 即， 故答案为：35； （2）②当时，如图3， ， 即， 故答案为：； ③当时，如图4， ，， ∴， 故答案为：； （3）当时，如图 此时旋转角α，即； 当时，如图 此时旋转角α，即； 当时，如图 此时旋转角α，即； 综上所述，当的边与的某一边平行（不共线）时，旋转角α为或或． 【拓展训练二 与三角形内角和定理的角度计算】 1．（2025·重庆·模拟预测）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再根据三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C，若∠A=45°．∠B′=110°，则∠ACB的度数是 ． 【答案】25° 【分析】由旋转的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C， ∴∠B＝∠B′＝110°， 在△ABC中，∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−45°−110°＝25°， 故答案为：25°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟记旋转变换的对应的角相等是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期末）将一根铁丝AF按如下步骤弯折： 第一步，在点B，C处弯折得到图1的形状，其中AB∥CF； 第二步，将CF绕点C逆时针旋转一定角度，在点D，E处弯折，得到图2的形状，其中AB∥EF． 解答下列问题： (1)如图①，若∠C＝3∠B，求∠B的度数； (2)如图②，求证：∠B+∠C＝∠D+∠E； (3)将另一根铁丝弯折成∠G，如图③摆放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接写出∠G的度数． 【答案】(1)∠B=45°； (2)见解析 (3)102° 【分析】（1）根据AB∥CF，得∠B+∠C=180°，则4∠B=180°即可求出答案； （2）分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB，根据平行线的性质可证得结论； （3）由（2）知：∠ABC+∠C=∠E+∠CDE，则∠ABC-∠CDE=130°-88°=42°，从而∠CBG-∠CDG=14°，从而求出答案． 【详解】（1）解：∵AB∥CF， ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠C=3∠B， ∴4∠B=180°， ∴∠B=45°； （2）证明：分别过点D，C作DN∥AB，CM∥AB， ∵AB∥EF， ∴AB∥DN∥CM∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∵AB∥CM， ∴∠B+∠BCM=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B+∠BCD+∠MCD=180° ∵DN∥EF， ∴∠E+∠NDE=180°， ∴∠E+∠CDE+∠NDC=180° ∵DN∥CM， ∴∠NDC=∠MCD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠BCD=∠E+∠CDE， 即∠B+∠C=∠D+∠E； （3）解：由（2）知：∠ABC+∠C=∠E+∠CDE， ∴∠ABC+88°=130°+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=130°-88°=42°， ∴3∠CBG-3∠CDG=42°， ∴∠CBG-∠CDG=14°， 又∵∠CBG+∠C=∠CDG+∠G， ∴∠CBG-∠CDG=∠G-∠C=14°， ∴∠G=∠C+14°=102°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线研究角之间的关系是解题的关键． 【拓展训练三 三角形中翻折问题综合】 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数． 【详解】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处， ∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°， ∵∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠1+∠2=360°-180°=180°， ∵∠1=40°， ∴∠2=140°， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题关键． 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是 ． 【答案】/59.5 【分析】首先根据翻折的性质和AD⊥ED，求得，然后得到△BCD是等腰直角三角形，然后求出CD的长度，进一步求得AD的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，AD⊥ED， ∴， ∴， 又∵∠C＝90°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵将△ADB沿直线BD翻折后，得到△EDB， ∴，AD=DE， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，三角形翻折问题，三角形面积公式等知识，解题的关键是根据题意求出AD的长度． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）在中，，点在边上，将沿翻折得到，交直线于点． (1)如图1，当点在边上时， ①若，，，直接写出与的周长的和； ②若，试说明：； (2)如图2，若，将绕点逆时针旋转角度，记旋转中的为，在旋转过程中，直线分别与直线，直线相交于点，，是否存在这样的点，，使得?若存在，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①12；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①根据折叠的性质解答即可； ②由折叠的性质，得，．设，求出，，由可得结论； （2）分点在边上和点在边的延长线上两种情况，结合折叠的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：①由折叠得，， ∵，，， ∴与的周长和 ． ②由折叠的性质，得，． 设， ， ． ， ． ． ， ． ． （2）解：分两种情况讨论： （i）当点在边上时，如图1， ， ． 由折叠的性质，得， 由旋转的性质，得． ， ． 是的外角， ， ． ， ． （ii）当点在边的延长线上时，如图2， 同理，可求得， 综上所述，存在这样的点，，使得， 的度数为或． 【拓展训练四 三角形内角和的综合应用】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是 A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从B岛看A，C两岛的视角是多少度？从C岛看A，B两岛的视角呢？ 【答案】，． 【分析】本题考查的是方向角的知识，熟练掌握方向角的定义、灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．根据题意方向角的定义得到有关角的度数，根据三角形内角和定理和平行线的性质解答即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ，， ， ． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题： (1)在图中，试说明：． (2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数； (3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． （1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论； （2）根据角平分线的定义得出，，由（1）得，，两式相加即可得答案， （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：∵线段、相交于点， ∴， ∵，， ∴． （2）解：由（1）可知：，， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 3．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， 即． 1．（25-26八年级上·河南安阳·阶段练习）、和是一个三角形的三个内角．如果，那么这个三角形一定是（    ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．解题的关键是利用三角形内角和为，结合已知角的关系求出最大角的度数，进而判断三角形类型． 根据三角形内角和定理可知；结合已知，通过等量代换求出，从而确定三角形为直角三角形． 【详解】解：∵三角形三个内角的和为， ∴． 又∵， ∴将替换为，得，即． 解得． 有一个角是直角的三角形是直角三角形． A、锐角三角形三个角都小于，此选项不符合题意； B、直角三角形有一个角是，此选项符合题意； C、钝角三角形有一个角大于，此选项不符合题意； D、可确定为直角三角形，此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，把三角形纸片分别沿所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查量角器的使用，直角三角形两锐角互余，先根据量角器得到，再根据直角三角形两锐角互余得到． 【详解】解：由量角器得， ∵， ∴， ∴． 故选B． 4．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再由角平分线的定义求得∠BCD即可求解． 【详解】解：∵∠A=60°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=72°， ∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=36°， ∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=96°， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键． 5．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在四边形中，设，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则的度数为（   ）（用含有和的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，延长、交于点，由三角形内角和定理可得，由题意可得平分，平分，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长、交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得：平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ； 故选：C． 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，   根据直角三角形两锐角之和为，得：   ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图所示，的外角等于，等于，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵是的外角， ∴， ∵，, ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，，，，则 度． 【答案】140 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ，即， 故答案为：140． 9．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，点D在AB边上（不与A、B重合），连接CD，将△ACD沿CD所在直线折叠得到△A′CD，A′C交AB于点E． 请从A、B两题中任选一题作答．我选择 题． A．如图1，若A′D∥BC，则∠ACD的度数为 ． B．如图2，若A′E＝A′D，则∠ACD的度数为 ． 【答案】 A（或B） 25° 15° 【分析】任意选择A或B解答． A．由平行线的性质得到∠A′CB=A′=∠A=40°，求出∠A′CA=90°-40°=50°，即可求出∠ACD=25°； B、根据等边对等角求出∠A′ED＝∠A′DE=70°，得到∠BEC=∠A′ED=70°，利用三角形内角和定理求出∠BCE =60°，即可得到∠ACD=15°． 【详解】解：任意选择A或B解答． A．∵A′D∥BC， ∴∠A′CB=A′=∠A=40°， ∴∠A′CA=90°-40°=50°， ∵∠A′CD=∠ACD， ∴∠ACD=25°， 故答案为：25°； B．∵A′E＝A′D，∠A′＝∠A=40°， ∴∠A′ED＝∠A′DE=70°， ∴∠BEC=∠A′ED=70°， ∵∠B=90°-∠A=50°， ∴∠BCE=180°-∠B-∠BEC=60°， ∴∠A′CA=30°， ∴∠ACD=15°， 故答案为：15°． 【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，对顶角相等的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键． 10．（24-25八年级上·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，为三角形的角平分线，交于点D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，角平分线求出的度数，根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：因为，平分， 所以． 又因为，， 所以， 所以． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，和的延长线于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理结合对顶角相等可得，再由平角的定义得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，D为延长线上一点，E为上一点，连接交于点F，若，求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，互余关系，结合等量代换，得到，进而求出，进而推出，即可得出结果． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）数学中，我们把有一个内角大于的四边形称为镖形． （1）如图，在镖形中，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图，__________；（用含的代数式表示） （3）如图，已知直角的直角顶点落在直线上，过点、分别作的垂线段，垂足为、，若、的平分线交于点，则_________； （4）如图，在（）的条件下，、分别为，的角平分线，它们的交点为；、分别为、的角平分线，它们的交点为；以此类推，则______． 【答案】（），理由见解析；（）；（）；（）． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，找规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形外角性质即可求解； （）利用（）中结论即可求解； （）利用（）中结论可得，又，，则，所以，，从而可得，，由平分，平分，则，然后代入即可求解； （）由（）得，同（）理得，则，，，；故有． 【详解】解：（），理由， 如图，延长交于点， ∵，， ∴； （）由（）得，， ∵， ∴， 故答案为：； （）由（）得， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）解：由（）得， 同（）理得：， ∴， 由（）得， 同（）理得：， ∴， ∴， ； ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$