专题04 等腰三角形重难点题型专训（3个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题04 等腰三角形重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角 题型三 三线合一 题型四 找出图中的等腰三角形 题型五 根据等角对等边求边长 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 题型七 根据等角对等边证明边相等 题型八 格点图中画等腰三角形 题型九 含30度角的直角三角形 题型十 等腰三角形的性质和判定 拓展训练一 根据30度角直角三角形的性质求长度 拓展训练二 根据30度角直角三角形的性质求角度 拓展训练三 根据30度角直角三角形的性质求面积 拓展训练四 等腰三角形旋转问题 拓展训练五 等腰三角形翻折问题 知识点一：含30°的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）中，，则的长度是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．根据已知条件，是角（）的对边，利用该性质可直接求出斜边的长度． 【详解】解：在中，， 为的对边，且根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半， 得：， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据度所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 知识点二：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·开学考试）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【详解】解：①若是顶角的外角，则顶角； ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知为等腰三角形，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据的度数判断是顶角，然后根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵等腰中，， ∴为顶角， ∴， 故答案为：． 知识点三：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）在中，平分交于点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，根据等腰三角形的三线合一可得是中线，由此即可求解，掌握三线合一是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：5 ． 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长度求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若为腰长，为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 1．（25-26八年级上·福建宁德·开学考试）把一根细木条按箭头所指的位置剪成3段（细木条中的每一份长度相等），剪后得到的3根细木条能围成等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设细木条中的每一份长度为，根据题意得到各选项中剪后得到的3根细木条的长度，分别利用三角形三边关系结合等腰三角形的定义解答即可． 【详解】解：设细木条中的每一份长度为， A、剪后得到3根细木条的长度为，则，不能构成三角形，不符合题意； B、剪后得到3根细木条的长度为，则，能构成等腰三角形，符合题意； C、剪后得到3根细木条的长度为，则，不能构成三角形，不符合题意； D、剪后得到3根细木条的长度为，则，能构成三角形，但不是等腰三角形，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南信阳·开学考试）一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰与底边长之比是，这个三角形的底边长是 厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了比的应用，设三边长度分别为厘米、厘米、厘米，再根据等腰三角形的周长建立方程求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一条腰与底边长之比是， ∴设这个等腰三角形的三边长度分别为厘米、厘米、厘米， 则， 解得， 则这个等腰三角形的底边长是（厘米）， 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题意画图即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，连接，则为等腰三角形，，，直线符合题意； 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则为等腰三角形，，直线符合题意； 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，，则为等腰三角形，，为等腰三角形，，直线，符合题意． ∴符合题意的直线最多可画条． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 【答案】腰长是10，底边长是1 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，已知给出的15和6两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论． 【详解】解：设，则， 上的中线将这个三角形的周长分成15和6两部分， 有两种情况： ①当，且时， 解得， 三边长分别为 ②当且时， 解得，此时腰长为4， 三角形任意两边之和大于第三边，而， 故这种情况不存在． 腰长是10，底边长是1． 【经典例题二 等边对等角】 【例2】（2025·四川攀枝花·模拟预测）如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故选B． 1．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明，可得，即可解答． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ． 【答案】50 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，逐步推导得出角度．此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用． 【详解】解：，，，， ，，，， ， ， ， ． 故答案为：50． 3．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，，相交于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合等腰三角形的性质进行角度推导． 根据全等三角形的性质得出，再利用等腰三角形的性质求出和的度数，进而求出的度数，最后通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 【经典例题三 三线合一】 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，掌握这些性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质去判断即可． 【详解】解：在中，，D是中点， 则，，平分，， 而不一定成立， 即选项A、B、C都正确，不符合题意，选项D不正确，符合题意． 故选：D． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质． 根据等腰三角形三线合一可得，，证明，，可知阴影部分的面积是面积的一半，进而计算即可． 【详解】解：，是的角平分线， ，，， ∵，， ∴，， ∴阴影部分的面积是面积的一半 ，， 阴影部分的面积． 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图方式摆放，取的中点，连接，则为的平分线，小珍这样做的依据是 ． 【答案】等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合 【分析】本题考查的是等腰三角形性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题关键，根据等腰三角形三线合一性质解决即可． 【详解】解：在中，，点是的中点， 平分，即为的平分线， ∴小珍这样做的依据是等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合， 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：在中，，D为的中点， ，即， ，， ， ； 故答案为：． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直平分线的性质．通过证明两个三角形全等，进而利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质来证明线段相等，需要用到的概念有全等三角形的判定条件和垂直平分线的性质． 【详解】证明：如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题四 找出图中的等腰三角形】 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 1．（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，，是边长为的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中恰好能形成，则使得是等腰三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的公式，将所有情况都列举出来是解决此题的关键． 在的网格中共有个格点，找到能使得是等腰三角形的格点即可利用概率公式求解． 【详解】解：在的网格中共有个格点，除开和共线的2个点与自身两个点，构成三角形的有个， 如图，使得是等腰三角形的格点有个， 故使得三角形面积为的概率为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）5 【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论． （2）根据等腰三角形的定义，判断即可． 【详解】（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△EBC和△DCB中， ， ∴△EBC≌△DCB（SAS）， ∴BE＝CD． （2）图中共有5个等腰三角形． ∵∠BAC＝108°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝36°， ∵∠D＝∠E＝36°， ∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE， ∴∠DAB＝∠EAC＝72°， ∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找． 【经典例题五 根据等角对等边求边长】 【例5】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选C． 1．（24-25八年级上·江西南昌·开学考试）如图，在中，，，点为上一点，连接，沿折叠，点恰好落在点处，交于点，当时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质及三角形外角的性质得，，根据平行线的性质得，推出，继而得到，，证明得，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好落在点处，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的长为． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠的性质、相似三角形的判定和性质． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，延长到点，使，连接，而，，可根据“”证明，得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵点是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明，再根据全等三角形的性质证明，最后由求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， 设，则由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点C到的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析  ② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）只需证明，即可求解； （2）①过点C作交于点E，过点C作交于点F，通过证明，即可求解； ②证明，可得，再由已知得到，则点C到的距离是． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：过点C作交于点E，过点C作交于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由①可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C到的距离是． 【经典例题六 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例6】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，若某个三角形能与拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质作图即可解题． 【详解】如图所示，这样的三角形共有7种， 故选：C． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定， 根据题意设，则，，然后根据等边三角形的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的形状是等腰三角形． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查轴对称-最短问题，垂线段最短，三角形的面积，三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出，再利用三角形的外角的性质求解； （2）如图，在上截取线段，使得，过点B作于点H．利用三角形面积公式求出，再根据垂线段最短求解． 【详解】解：（1）平分，， ． ． （2）如图，过点B作于点G，交于点，则． 平分， ． ，即点与点B关于对称． 过点作于点N，交于点M， 由轴对称的性质可知，点M即为使最小的点，． 过点B作于点E． ，解得． ， 是等腰三角形， ，即的最小值是3 4．（2025八年级上·陕西西安·专题练习）已知：如图，，点E、F在线段上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【经典例题七 根据等角对等边证明边相等】 【例7】（2025·广东·模拟预测）如图，思思不小心将墨水滴在了书上一个三角形的一角，她测得剩余两角的度数分别为，那么这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，正确求出三角形第三个内角的度数是解题的关键． 先通过三角形内角和定理求出第三个内角度数，再根据等腰三角形的判定求解即可． 【详解】解：由题意得第三个内角度数为：， ∴此时这个三角形有两个角的度数均为， ∴根据等角对等边得到这个三角形是等腰三角形． 故选：B． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一艘轮船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，2小时后到达处，此时灯塔在处的北偏西方向上，从灯塔望点的视角，则处到灯塔的距离为 海里． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等角对等边． 先求出海里，根据三角形外角的性质求出，可知，根据等角对等边即可求出海里． 【详解】∵一艘轮船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，2小时后到达处， ∴（海里）， ∵灯塔在处的北偏西方向上， ∴， ∵， ∴， 即， ∴海里． 故答案为：30． 3．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，根据、分别是、的平分线，且，推出可得出，，进而得到，，则可得的周长为，据此即可求得答案． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ，， ∵， ，， ，， ，， ∵，， 的周长为： 故答案为：11． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图，在中，，．求证：（用两种不同的方法来证明） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等角对等边，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． 方法一：在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到，，则可证明，得到，据此可证明； 方法二：如图所示，延长到D使得，连接，证明，得到，再证明是等边三角形，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：方法一：如图，在上截取，连接， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 方法二：如图所示，延长到D使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【经典例题八 格点图中画等腰三角形】 【例8】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】分别寻找以为腰，以为底的等腰即可得到答案． 【详解】解；如图所示，一共有8个点C符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的判定是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的运算，等腰三角形的判定，熟悉掌握概率的运算方法是解题的关键． 根据等腰三角形的判定方法找出所有的点位置，即可运算概率． 【详解】解：由题意可得：点的位置如图标注数字所示： ∵不包含，两点的网格点的总数为， 恰好能使构成等腰三角形的概率是：； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图是由8个全等的长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接AP，BP，那么使为等腰直角三角形的点P有 个． 【答案】3 【分析】根据等腰直角三角形的欧弟即可得到结论； 【详解】如图所示，是△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3， 故答案是3． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，准确分析判断是解题的关键． 4．（24-25八年级上·吉林四平·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (2)在图②中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (3)在图③中以线段为边画一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】题考查了格点作图，等腰三角形的性质，三角形的面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）取格点，连接，则底为，高为的面积为6； （2）取格点，连接，则底为，高为的面积为6； （3）取格点，连接，根据网格知识可得为等腰直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，即为所求， 【经典例题九 含30度角的直角三角形】 【例9】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用角的和差关系可得，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，交于点，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据角的直角三角形的性质得到，再由即可求解． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，，，是的角平分线，则与的数量关系为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定 ．根据题意可得，从而得到，然后在中，根据直角三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为 【答案】5 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键； 利用含角的直角三角形的性质，可得，求得，利用含角的直角三角形的性质，可得，求得，所以． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ，， 由题知，， 又，， ，， ． 故答案为：5． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，已知中，，是高，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答． 【详解】解：，，， ，， 是高， ， ， ． 【经典例题十 等腰三角形的性质和判定】 【例10】（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直的定义，连接，根据垂直的定义及，得到，根据等腰三角形的定义得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在的两侧分别交于点M，N，直线分别交于点D，E，连接，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题． 根据题意可知是的垂直平分线，证明是等腰三角形，由此即可一一判断． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，故A正确， ∴，是等腰三角形，故B正确， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故C正确， 无法证明，故选项D错误， 故选D． 2．（24-25八年级上·安徽·期末）等腰的底边上高与底角平分线交于点为垂足，则线段与线段的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定及平行线的性质的应用，延长交于点Q，利用，且平分，可得，所以，结合等腰三角形的性质可得，且，可得出结论． 【详解】解：延长交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且为等腰三角形， ， ∴为等腰三角形 ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，小军与小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，．已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，，，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即路灯的高为， 故答案为：． 4．（2025八年级上·宁夏·专题练习）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点E． 【发现结论】 结论1： ； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点F，过点E作的垂线交于点G，交的延长线于点H，则与的数量关系是 ． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点N，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】；；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析 【分析】发现结论：结论1：根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质即可得到结论； 结论2：由结论1得到，求得，根据全等三角形的性质得到； 应用结论：（1）根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，求得，由，得到． 【详解】发现结论：解：结论1：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 结论2：由结论1知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴； 故答案为：； 应用结论：证明：（1）在中，， 在中，， ∴， 在和中， ∴； ∴； （2）证明：补全图形如图所示， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【拓展训练一 根据30度角直角三角形的性质求长度】 1．（25-26八年级上·江西南昌·开学考试）如图，在中，，过点A作于点D，过点B作于点E，交于点F．若，，则长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，先求出，连用两次30度角的性质即可求出长． 【详解】解：在中，，于点D，于点E，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，为上一点，过点作．若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由等腰三角形的判定及三角形外角的性质可得，，进而可求解，再利用含角的直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 3．（2025·广西·模拟预测）如图，在中，． (1)作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)图象见解析 (2)4 【分析】本题考查作图—线段垂直平分线的做法、等腰三角形的性质、含有30°角直角三角形的性质： （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，再根据在直角三角形中30°所对边是斜边一半即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示： 作法：以A、C为圆心，大于长为半径画圆弧，两圆弧交于两点，过这两点作直线，交于E，交于D，连接． （2）解： ， ． 为线段AC的垂直平分线， ， ． 在Rt中， ． 【拓展训练二 根据30度角直角三角形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，点为内部一点，点到的距离为3，连接，过点作于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于点，结合含30度角的直角三角形的性质以及点到直线的距离定义，可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵点到OA的距离为3， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，中，，点在外，且，垂直平分交线段、于、，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/76度 【分析】连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，，，根据等边对等角得出，根据证明，得出，进而求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，已知． (1)求的度数； (2)若，求证：是等腰三角形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了三角形外角的性质、等腰三角形的判定,含度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由三角形外角的性质得到．由得到，由三角形的外角的性质即可得到答案； （2）由得到，即可得到．则，得到，，即可证明结论； （3）根据（2）可得，，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）由（2）可得，， ∴． 【拓展训练三 根据30度角直角三角形的性质求面积】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据直角三角形的性质得出，根据即可解答． 【详解】解：过点作于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广西桂林·期末）在等边中，点P是上一点，过点P作，分别交于点D，E，连接，若的面积是，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理，利用转化思想是解题的关键． 根据勾股定理和角直角三角形的性质将转化为，即问题转化为求最小值，那么当时，取最小值，再由面积法求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∴ ∴， ∴有最小值时，即取最小值， ∴当时，取最小值， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）由含角的直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，，设，分别表示出，即可证明； （2）根据含角的直角三角形的性质，，，由勾股定理求得，进一步求得面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵E为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵中，，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴（舍负）． ∴的面积． 【拓展训练四 等腰三角形旋转问题】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件解答即可． 本题考查了等腰直角三角形性质，三角形全等的判定和性质，三角形的存在条件，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，点为的中点，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， 故③正确； ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故①正确； ∴， ∴， 故②正确； ∵ ∴， 故④错误． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】设的交点为点D，证明，利用勾股定理，三角形面积公式解答即可． 【详解】解：设的交点为点D， ∵，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·期中）根据所给的图形解答下列问题： (1)如图1，中，于D，把绕点A旋转，并拼接成一个与面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图； (2)如图2，中，，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形； (3)设计一种方法把图3中的矩形拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形的面积的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)画图见解析，证明见解析 【分析】题目主要考查作图，正方形及矩形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质作图即可； （2）利用全等三角形的判定和性质及正方形的性质求解即可； （3）设，①以点B为圆心，以为半径画弧，交于H；②过C点作交的延长线于E，过点C作于点G；③过E点作于E，交的延长线于F，则正方形为所求．根据矩形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质证明即可 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）如图2，M、N分别是的中点，四边形即为所求； （3）如图3，设 ①以点B为圆心，以为半径画弧，交于H； ②过C点作交的延长线于E，过点C作于点G； ③过E点作于E，交的延长线于F，则正方形为所求． 证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴ ∴四边形是正方形． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形为所求． 【拓展训练五 等腰三角形翻折问题】 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，点D，E分别在边，上，将沿直线翻折，使点A落在点F处．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：如图，当点F落在边上，且时，； 结论Ⅱ：若是以为腰的等腰三角形，则或． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理； 由折叠可得，， 根据垂直得， 则， 即可得到， 可判断结论Ⅰ错误；分两种情况：若， 则， 根据三角形的内角和求出的度数； 若， 则， 根据三角形的内角和求出的度数，可判断结论Ⅱ正确，解答即可． 【详解】解：∵，，将沿直线翻折，点A落在点F处， ∴，，， ∵点F落在边上，且， ∴， ∴， ∴， 故结论Ⅰ错误； 若是以为腰的等腰三角形，且，则， ∴， ∴； 若是以为腰的等腰三角形，且，则， ∴， ∴， ∴或， 故结论Ⅱ正确， 故B符合题意，而A、C、D都不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点E是边上的一点，将沿翻折，点A落在对角线上的点G处，连接并延长交射线于点F，连接，若是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查四边形中的翻折问题，涉及相似三角形判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质和相似三角形判定定理． 分两种情况：当时，由翻折得，，故，而，即得，得，，由∽，得，从而；当时，可求出，同理可得 【详解】解：当时，如图： 将沿翻折，点A落在对角线上的点G处， ，， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， 即， 解得； 当时，如图： 将沿翻折，点A落在对角线上的点G处， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得； 综上所述，是等腰三角形，AD的长为或 故答案为：或 3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）折纸艺术起源于中国，它不仅具有艺术审美价值，还蕴含着丰富的数学知识．我校数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．在中，，，点D在边上，连接．将沿CD翻折后得到． (1)如图1，当时，，求AE的长； (2)如图2，点F是边与边的交点． ①当时，兴趣小组的小邕同学认为是等边三角形，小邕的说法对吗？请判断并证明你的结论； ②在折叠过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①对，理由见解析；②或 【分析】先求出，，，当时，，在中可求出，由翻折的性质得，，则点A，D，E在同一条直线上，由此可得的长； 设，，由翻折的性质得，，则，，进而得，当时，则，进而得，则，由此可对小邕的说法进行判断； ②设，由①得，，，进而得，，则为，再求出，则，因此当是等腰三角形时，有以下两种情况：ⅰ时，则，即，由此解出，进而可得的度数；ⅱ当时，则，即，由此解得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， 由勾股定理得：， 当时， ， 是直角三角形， 在中，，， ， 由勾股定理得：， 由翻折的性质得：，， ， 点A，D，E在同一条直线上， ； （2）①小邕的说法对，证明如下： 设，， 由翻折的性质得：，， ， 在中，， ， 在中，由翻折得， 当时，则， 在中，， ， 又， ， 是等边三角形； ②设， 由①可知：，，， 在中，， 是的外角，， ， ， 是的外角， ， ， ， 当是等腰三角形时，有以下两种情况： ⅰ当时，则， ， 解得：， ； ⅱ当时，则， ， 解得：， ， 综上所述：当是等腰三角形时，的度数是或 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是易错点． 1．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）等腰三角形一个角等于，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，分角是顶角和底角两种情况，分别计算即可． 【详解】解：已知角是顶角时，底角的度数为：； 已知角是底角时，底角的度数为：， 综上可知，它的底角是或， 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，根据等腰三角形的判定定理对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、通过尺规作图，可得，可判断是等腰三角形； B、通过尺规作图，可得，可判断是等腰三角形； C、无法判断是等腰三角形； D、通过尺规作图，可知是作得的垂直平分线，所以，可判断是等腰三角形； 故选：C． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，点E在上，下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，再根据垂直平分，得到，等腰三角形两底角相等，但不一定是，据此判断即可． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴，， ∴垂直平分， ∵点 E 在 上， ∴，A、B、C 选项正确； 等腰三角形两底角相等，但不一定是，D 选项错误， 故选：D． 4．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半，根据，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴这棵树在折断前的高度为（米）． 故选：A． 5．（2025八年级上·河北邢台·模拟预测）如图，和关于直线对称，连接，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线l垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上 【答案】D 【分析】本题主要考查对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质依次进行判断即可． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角是解题关键． 根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 7．（2025八年级上·浙江宁波·模拟预测）如图，D为内一点，平分，则 （用a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 延长交于点，先证明，则，，而，则，再由即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 由题意可得，推出，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，继而推导出是等腰直角三角形，且，则，得到，即可解答． 【详解】解：在等腰直角中，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴． 故答案为：10． 10．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，点C在线段上，，且，则 ． 【答案】/39度 【分析】题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的应用．连接，证明，，可得，从而得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 同理，， 又∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，求腰的长度． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形性质、中线性质及分类讨论思想．利用等腰三角形两腰相等，中线将一边等分，分腰比底边长和腰比底边短两种情况，结合两部分周长差求出腰长为或． 【详解】解：是边的中点， ． 第一种情况：如答图①， 当时， 即当时， ； 第二种情况：如答图②， 当， 即时， ． 综上所述，腰长为或． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，，且，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关运算法则和等腰三角形的性质是解题关键． 先根据平行线的性质，得到，再利用等边对等角的性质，得出， 然后根据三角形内角和定理，求得，即可求出的度数． 【详解】， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 13．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，的延长线交于点若，，求的面积． 【答案】12.8 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的面积公式等知识，证明是解答该题的关键． 【详解】解：和都是等腰直角三角形，，  ，，  在和中，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，  ． 14．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． (1)求证：； (2)如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，再证明，即可由证明全等； （2）由已知与都是等腰直角三角形，及全等得到，再结合等腰三角形的“三线合一”性质证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由已知与都是等腰直角三角形， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25八年级上·广西河池·期中）已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)不成立，应为，见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的概念得到，，证明，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论． 【详解】（1）证明：和是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）结论不成立，猜想， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角 题型三 三线合一 题型四 找出图中的等腰三角形 题型五 根据等角对等边求边长 题型六 根据等角对等边证明等腰三角形 题型七 根据等角对等边证明边相等 题型八 格点图中画等腰三角形 题型九 含30度角的直角三角形 题型十 等腰三角形的性质和判定 拓展训练一 根据30度角直角三角形的性质求长度 拓展训练二 根据30度角直角三角形的性质求角度 拓展训练三 根据30度角直角三角形的性质求面积 拓展训练四 等腰三角形旋转问题 拓展训练五 等腰三角形翻折问题 知识点一：含30°的直角三角形的性质 在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）中，，则的长度是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（24-25八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，，，，则 ． 知识点二：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·开学考试）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知为等腰三角形，且，则 ． 知识点三：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）在中，平分交于点，则 ． 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（    ） A．17 B．20 C．22 D．17或22 1．（25-26八年级上·福建宁德·开学考试）把一根细木条按箭头所指的位置剪成3段（细木条中的每一份长度相等），剪后得到的3根细木条能围成等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南信阳·开学考试）一个等腰三角形的周长是36厘米，一条腰与底边长之比是，这个三角形的底边长是 厘米． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 4．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 【经典例题二 等边对等角】 【例2】（2025·四川攀枝花·模拟预测）如图，在正五边形中，的大小为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 ． 3．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，，相交于点，若，，则 ． 4．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，若，，，求的长． 【经典例题三 三线合一】 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图方式摆放，取的中点，连接，则为的平分线，小珍这样做的依据是 ． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，，，，．求证：． 【经典例题四 找出图中的等腰三角形】 【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 1．（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，，是边长为的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中恰好能形成，则使得是等腰三角形的概率是 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形． 【经典例题五 根据等角对等边求边长】 【例5】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 1．（24-25八年级上·江西南昌·开学考试）如图，在中，，，点为上一点，连接，沿折叠，点恰好落在点处，交于点，当时，的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点C到的距离是______． 【经典例题六 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例6】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，若某个三角形能与拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的三角形有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是等边三角形，点D、E、F在内部，点D在上，点E在上，点F在上，且，则的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，平分交于点D，点M，N分别是和上的动点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的最小值为 ． 4．（2025八年级上·陕西西安·专题练习）已知：如图，，点E、F在线段上，且，．求证：是等腰三角形． 【经典例题七 根据等角对等边证明边相等】 【例7】（2025·广东·模拟预测）如图，思思不小心将墨水滴在了书上一个三角形的一角，她测得剩余两角的度数分别为，那么这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一艘轮船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，2小时后到达处，此时灯塔在处的北偏西方向上，从灯塔望点的视角，则处到灯塔的距离为 海里． 3．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图，在中，，．求证：（用两种不同的方法来证明） 【经典例题八 格点图中画等腰三角形】 【例8】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是 ． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图是由8个全等的长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连接AP，BP，那么使为等腰直角三角形的点P有 个． 4．（24-25八年级上·吉林四平·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (2)在图②中以线段为边画一个三角形，使其面积为6． (3)在图③中以线段为边画一个等腰直角三角形． 【经典例题九 含30度角的直角三角形】 【例9】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，交于点，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，，，是的角平分线，则与的数量关系为： ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为 4．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，已知中，，是高，，若，求的长． 【经典例题十 等腰三角形的性质和判定】 【例10】（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在的两侧分别交于点M，N，直线分别交于点D，E，连接，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽·期末）等腰的底边上高与底角平分线交于点为垂足，则线段与线段的数量关系为 ． 3．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，小军与小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，．已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 ． 4．（2025八年级上·宁夏·专题练习）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点E． 【发现结论】 结论1： ； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点F，过点E作的垂线交于点G，交的延长线于点H，则与的数量关系是 ． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点N，补全图形，求证：． 【拓展训练一 根据30度角直角三角形的性质求长度】 1．（25-26八年级上·江西南昌·开学考试）如图，在中，，过点A作于点D，过点B作于点E，交于点F．若，，则长为（　　） A． B． C．5 D．4 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，为上一点，过点作．若，，则的长为 ． 3．（2025·广西·模拟预测）如图，在中，． (1)作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)若，且，求的长． 【拓展训练二 根据30度角直角三角形的性质求角度】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，点为内部一点，点到的距离为3，连接，过点作于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，中，，点在外，且，垂直平分交线段、于、，连接，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，已知． (1)求的度数； (2)若，求证：是等腰三角形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【拓展训练三 根据30度角直角三角形的性质求面积】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分，交于点D．若的面积为2，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25八年级上·广西桂林·期末）在等边中，点P是上一点，过点P作，分别交于点D，E，连接，若的面积是，，则的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 【拓展训练四 等腰三角形旋转问题】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）根据所给的图形解答下列问题： (1)如图1，中，于D，把绕点A旋转，并拼接成一个与面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图； (2)如图2，中，，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形； (3)设计一种方法把图3中的矩形拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形的面积的结论． 【拓展训练五 等腰三角形翻折问题】 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，点D，E分别在边，上，将沿直线翻折，使点A落在点F处．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：如图，当点F落在边上，且时，； 结论Ⅱ：若是以为腰的等腰三角形，则或． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点E是边上的一点，将沿翻折，点A落在对角线上的点G处，连接并延长交射线于点F，连接，若是等腰三角形，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）折纸艺术起源于中国，它不仅具有艺术审美价值，还蕴含着丰富的数学知识．我校数学兴趣小组以“直角三角形的折叠”为主题开展数学探究活动．在中，，，点D在边上，连接．将沿CD翻折后得到． (1)如图1，当时，，求AE的长； (2)如图2，点F是边与边的交点． ①当时，兴趣小组的小邕同学认为是等边三角形，小邕的说法对吗？请判断并证明你的结论； ②在折叠过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 1．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）等腰三角形一个角等于，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 2．（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，点E在上，下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（    ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 5．（2025八年级上·河北邢台·模拟预测）如图，和关于直线对称，连接，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线l垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）在中，，，则的度数为 ． 7．（2025八年级上·浙江宁波·模拟预测）如图，D为内一点，平分，则 （用a，b的代数式表示）． 8．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为 ． 9．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ． 10．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，点C在线段上，，且，则 ． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，求腰的长度． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，，且，，求的度数． 13．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，的延长线交于点若，，求的面积． 14．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）数学活动课上，滨滨将含角的三角板放在一条直线上，如图①：过三角板的两个锐角顶点A、B作直线的垂线，垂足分别为C、D．将三角板放在直线的上侧且无论怎么转动三角板，滨滨都发现． (1)求证：； (2)如图②，若两个相同的三角板（或）如图摆放，直角顶点为点，过点作于点，交于点，判断与的数量关系，并说明理由． 15．（24-25八年级上·广西河池·期中）已知和都是等腰直角三角形，点D是直线上的一动点（点D不与重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，并说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $