专题01 三角形的概念与边重难点题型专训（4个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024

专题01 三角形的概念与边重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的识别 题型三 判断是否为三角形 题型三 三角形的个数问题 题型四 三角形的分类 题型五 构成三角形的条件 题型六 确定第三边的取值范围 题型七 四边形的不稳定性 题型八 三角形的稳定性及应用 题型九 三角形三边关系的应用 拓展训练一 与三角形的概念相关问题 拓展训练二 判断三条线段能否组成三角形 拓展训练三 三角形三边关系综合应用 知识点一： 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可． 【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直角三角形共有 个． 【答案】3 【分析】根据直角三角形的定义，可知图中有一个大的直角三角形和两个小的直角三角形．本题考查直角三角形的定义，找到三角形并判断其有直角是解题关键． 【详解】解：如图， 直角三角形有：，共3个． 故答案为：3． 知识点二： 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即时训练】 1．（2025八年级上·河北·模拟预测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的分类和三角形的内角和，现根据三角形的内角和求出另一个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：三角形的另一个角的度数为， ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业） 的三角形叫做直角三角形，记作 ． 【答案】 有一个角是 【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是的三角形叫做直角三角形，记作，进行作答即可． 【详解】解：有一个角是的三角形叫做直角三角形，记作； 故答案为：有一个角是， 【点睛】本题考查直角三角形的定义．熟练掌握有一个角是的三角形叫做直角三角形，是解题的关键． 知识点三： 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）在中，，，则的长不可能为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再比较各个选项即可． 【详解】解：在中，，， ， 2不在此范围内， 故选A． 2．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图， （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的理解．根据题意利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边即可得到本题答案． 【详解】解：∵两边之和大于第三边， ∴， 故答案为：． 知识点四： 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有 的特性． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．固定在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有稳定性的特性． 故答案为：稳定性 ． 【经典例题一 三角形的识别】 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形． 【详解】解：依题意，只有（1）是三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长． ； ； ． （2）用“=”“<”“ >”填入下面的空格． ， ， ． 【答案】（1）3；3；2；（2）=；； 【分析】本题主要考查了三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．根据三角形的性质计算即可； 【详解】解：（1）根据测量可得：，，； 故答案为：3；3；2； （2），，． 故答案是：=；；． 【经典例题二 判断是否为三角形】 【例2】（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 1．（2025八年级上·全国·模拟预测）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是 .（只填序号） 【答案】①②③ 【详解】∵a，b，c是三个正整数，且a+b+c=12，∴所有a，b，c可能出现的情况是：①2，5，5，等腰三角形；②3，4，5，直角三角形；③4，4，4，等边三角形.故正确的结论是①②③. 3．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形 “准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 【答案】是 【分析】根据直角三角形有一个角为，结合有一个内角是，得到，即可得出结论． 【详解】解：∵有一个内角是的直角三角形， ∴三角形有一个角为， ∵， ∴是“准等边三角形”； 故答案为：是． 【点睛】本题考查三角形的分类．理解“准等边三角形”的定义，是解题的关键． 4．（24-25八年级上·山东·课后作业）.下面几个定义是否正确，如果不正确，请你正确的定义： (1)三条线段首尾相接组成的图形叫三角形；（2）多边形所有外角的和叫多边形的外角和 【答案】（1）不正确，见解析；（2）不正确，见解析. 【分析】见解析. 【详解】（1） 不正确，由不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫三角形； （2）不正确，在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫这个多边形的外角和. 【点睛】正确理解题意是解题的关键. 【经典例题三 三角形的个数问题】 【例3】（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）图中，以DE为边的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据三角形的边得出三角形即可． 【详解】解：以DE为边的三角形有△DEC，△AED，△DEF，△BED， 故选：C． 【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的边解答． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，以为边的三角形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，一共有4个． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到 个三角形． 【答案】6 【分析】根据题意画出图形，根据图形回答问题即可． 【详解】解：如图1，有2个三角形； 如图2，有3个三角形； 如图3，有4个三角形； 如图4，有4个三角形； 如图5，有5个三角形； 如图6，有6个三角形； 综上所述，最多有6个三角形， 故答案为6． 【点睛】本题考查了三角形，根据题意画出符合条件的图形，运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键． 4．（2025八年级·全国·模拟预测）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 【经典例题四 三角形的分类】 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】由最小的角及三角形内角和定理，可求出最大的角小于，据此即可解答． 【详解】解：∵最小的角是，， ∴最大的角小于， ∴这个三角形是一个锐角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 1．（24-25八年级上·天津南开·期中）已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形，即锐角三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是 ，钝角三角形有 个． 【答案】 △ACE； 4. 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形（是特殊的等腰三角形），根据三角形按角分类的方法进行逐项分类即可． 【详解】观察图形可知，△ACE是锐角三角形，； △CED、△CDB、△CEB、△ACB是钝角三角形，共4个. 故答案为△ACE，4． 【点睛】本题是考查三角形的分类． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 【经典例题五 构成三角形的条件】 【例5】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，对各选项逐一验证，判断是否满足条件． 【详解】解：A、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 三线段共线，无法构成三角形； C、，，， 最大边为，另两边之和为， ， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D、，，， 最大边为，另两边之和为， ，且，均成立， 满足三边关系，能组成三角形， 故选：D ． 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系即可求解，解题的关键是正确理解三角形形成的条件，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：任取三根，共有，，；，，；，，；，，四种情况， ， ∴，，不能构成三角形， ∴能构成三角形的有，，或，，或，，，共三种， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）有四根细木棒，长度分别为 3cm、5cm、7cm、9cm，以其中任意三条为边可以构成 个三角形． 【答案】3 【详解】从4根木条中任选3根：①3，5，7；②3，5，9；③3，7，9；④5，7，9，共有4种情况，根据三角形的三边关系，其中的3，5，9不能组成三角形．所以从4根木条中任选3根可构成3个三角形.故答案为3． 点睛：本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 4．（24-25八年级上·山东·课后作业）易知：等腰三角形三边分别为4，4，5；5，5，6；6，6，7时，其周长分别为4+4+5=13，5+5+6=16，6+6+7=19，那么，等腰三角形的两条边分别为3和8时，其周长一定是14，这一结论对吗？ 【答案】不对. 【分析】等腰三角形的两条边分别为3和8时，可能是3,3,8组合，也可能是3,8,8组合，但这些组合必须满足三角形三边关系的要求. 【详解】因为3+3<8，所以另一边不能为3，只能为8，此时周长为3+8+8=19； 故其周长一定是14的结论是不对的. 【点睛】本题考查了三角形的三边要满足任意两边之和大于第三边的要求. 【经典例题六 确定第三边的取值范围】 【例6】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形第三边的长为， 这个三角形的两边长分别是，， 则由三角形的三边关系可得，，即， 它的第三边的长可能是． 故选：C． 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，不妨设，，如图所示：    那么，即． 由题意可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 【答案】10（答案不唯一，大于2且小于12之间的数均可） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 则， 故答案为：10（答案不唯一，大于2且小于12之间的数均可）． 3．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．若对角线的长是整数，则的长度可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形一边的长大于另两边的差，且小于另两边的和是解题的关键．根据，，求出的取值范围即可解题 【详解】解：在中，， 即， 解得， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴的长度可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是的中线，与分别交于点，．求证：． 【答案】[问题解决]B；[初步应用] C；[探究发现]见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【探究发现】先得，结合，，则； 【初步应用】同理证明，结合三角形三边关系，则； 【问题解决】 同理证明，则，因为，所以，．结合，即，进行作答即可． 【详解】解：【探究发现】∵延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：B． 【初步应用】如图，延长边上的中线至点，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 故答案为：C． 【问题解决】延长至点，使，连接． ∵是的中线， ∴． 在和中， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【经典例题七 四边形的不稳定性 】 【例7】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性．三角形具有稳定性，根据三角形的性质，四边形的性质可得答案． 【详解】解：选项C中含有四边形，不具有稳定性， 而选项A、B、D含有三角形具有稳定性， 故C符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（　　）    A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性 【答案】D 【分析】根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案． 【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短， ∴利用的是四边形的不稳定性， 故选D． 【点睛】本题考查四边形的性质，熟练掌握四边形的相关知识的解本题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，是边长为25cm的活动四边形衣帽架，它应用了四边形的 ． 【答案】不稳定性 【详解】试题分析：根据四边形具有不稳定性解答． 解：它应用了四边形的不稳定性. 故答案为不稳定性. 3．（2025八年级上·浙江·模拟预测）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 4．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【答案】（1）①④⑥；（2）图见解析 【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【详解】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个． （2）如图所示： 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【经典例题八 三角形的稳定性及应用】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角形稳定性． 【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的稳定性； D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：第一个图形分成两个三角形，具有稳定性， 第二个图形根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性； 第三个图形，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性； 第四个图形，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 所以具有稳定性的有1个． 故选：A． 【分析】根据三角形具有稳定性对各图形分析后解答． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，为了使矩形相框不变形，通常可以相框背后加根木条固定．这种做法体现的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性． 故答案为三角形具有稳定性. 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构， 往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 4．（24-25八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【经典例题九 三角形三边关系的应用】 【例9】（24-25八年级上·江西上饶·期中）若的周长为，则的长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，熟记三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和要大于第三边进行解答即． 【详解】解：∵的周长为，其， ∴， 则四个选项中，只有A选项符合题意． 故选：A． 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，分别是，的中点，的长可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据三角形中位线的判定与性质得到DE＝BC，再根据三角形三遍关系即可得到结论． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵BC＝5， 在中，，，根据三角形三边关系可知，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的中位线判定与性质及三角形三边关系，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）点P在△ABC内部，连接PB，PC．比较大小： （填＞，＝，＜）． 【答案】＜ 【分析】首先需要作辅助线（延长BP交AC于点D），根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC＞PC，两式相加即可得：AB+AC＞PB+PC． 【详解】解：如图，延长BP交AC于点D． 在△ABD中，AB+AD＞PB+PD； 在△PCD中，PD+DC＞PC， ∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC， ∴AB+AC＞PB+PC， 即PB+PC＜AB+AC． 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解此题的关键是作辅助线，将所求线段联系起来． 3．（24-25八年级上·全国·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由． 【答案】AB+BC+AC＞2BD，理由见解析 【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下： 在△ABD中，AB+AD＞BD， 在△BCD中，BC+CD＞BD， ∴AB+AD+BC+CD＞2BD， 即AB+BC+AC＞2BD． 【点睛】本题考查了三角形三边关系．关键是熟悉三角形两边之和大于第三边的知识点． 【拓展训练一 与三角形的概念相关问题】 1．（2025八年级上·江苏·模拟预测）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 【拓展训练二 判断三条线段能否组成三角形】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川达州·期末）从长度分别为的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系，利用概率公式求概率，根据三角形的三边关系，确定能组成三角形的情况，再除以总的情况，即可得出结果． 【详解】解：从的四条线段中随机取出三条，共有：，，，，共4种等可能的情况，其中能组成三角形的有，，共2种情况， ∴能够成三角形的概率为； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川雅安·期末）如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转到数字1是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)转动转盘，转出的数字大于4的概率是_________； (3)现有两张分别写有3和4的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．求这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 【答案】(1)不可能事件 (2) (3) 【分析】本题主要考查概率公式的运用及三角形三边间的关系，解题的关键是： （1）根据确定性事件和不确定性事件的概念判断可得； （2）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于4的结果有3种，由概率公式可得； （3）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，由概率公式可得． 【详解】（1）解∶ 解：转到数字1是不可能事件， 故答案为：不可能事件； （2）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于4的结果有3种， ∴转出的数字大于4的概率是， 故答案为：； （3）解：∵第三边的长，即第三边的长， ∴与3和4能组成三角形的有2，3，4，5，6， ∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种， ∴这三条线段能构成三角形的概率是． 【拓展训练三 三角形三边关系综合应用】 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键. （1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论. 【详解】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D． 在中，． 在中，， 即． （2）（2）． 理由：在中，． 同理可得，． 以上三式左、右两边分别相加，得， 即． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)选路线②，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点M，延长交于点N．分别在，，中，根据三角形的三边关系得出，，，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，， ， ， ∴乌龟的路线更短． （2）选路线②．理由如下： 如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ∴路线②的路程比路线③短， ∴乌龟可选路线②． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系. 故选：B ． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·开学考试）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论． 【详解】 解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合， ∴， ∴线段是的中线， 故选：A． 4．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，则可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是三角形的稳定性． 故选：D 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 6．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下图中共有 个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的认识，分两种情况：由个三角形组成的；由多个三角形组成的，分别确定它们的个数，再相加即可．解题的关键的是掌握直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形． 【详解】解：由个三角形组成的直角三角形的个数：， 由多个三角形组成的直角三角形的个数：， ∴（个） ∴图中共有个直角三角形． 故答案为：． 7．（2025八年级上·全国·模拟预测）的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长 ， ， ． 【答案】 5 4 3 【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公式； 根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可． 【详解】解：的周长为12， ， ，， ， 解得：， ，， 故答案为：5，4，3． 8．（24-25八年级上·河南南阳·期末）妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 【答案】四边形不具有稳定性 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据四边形的不稳定性作答即可． 【详解】解：小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明四边形不具有稳定性． 故答案为：四边形不具有稳定性． 9．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 10．（24-25八年级上·广东云浮·期末）小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握三角形任意两边长之和大于第三边是解题的关键．根据，可得答案. 【详解】解：由题意可知，， ∴小刚能完成这项训练挑战． 故答案为：能． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 【答案】6对．“共角三角形”有与，与，与，与，与，与． 【分析】本题考查了共角三角形的定义，正确理解定义是解题的关键. 根据有一个公共角的两个三角形为一对共角三角形，首先确定三角形的角，然后确定三角形即可. 【详解】解：以为公共角的“共角三角形”有与、与、 与、与、与、和共6对. 故答案为：6 ． 12．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 13．（24-25八年级上·全国·阶段练习）利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类； （1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可； （2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可； （3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【答案】(1)不能 (2)3种，图见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，故4根火柴棒不能搭成三角形； （2）利用三角形三边关系定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， ∴4根火柴棒不能搭成三角形； （2）解：12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：，示意图如下： 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期末）交通安全中的数学问题 【问题缘起】 星期天早晨，轩轩和爸爸骑公共自行车去郊游．一路上看到许多交通安全的宣传标语“戴好安全帽，平安身旁绕”“红绿灯，认真瞧，交通安全很紧要”“人过马路口，斑马线内走”……在经过一个十字路口时，轩轩观察到一些数学问题． 【问题探索一】斑马线的设置 为了提高路口行人过街通行效率，交警大队尝试在一些路口设置对角斑马线（如图）．这是利用了三角形的（    ）． A． 稳定性           B． 任意两边之和大于第三边 C． 内角和      D． 三个顶点不在同一条直线上 `【问题探索二】放行车道的设置 如图，分别是南北方向的直行车道，分别是南北方向的左拐车道．与车道可以同时放行的车道是（    ） ．（填“”“”或“”) 【问题探索三】红绿灯时长的设置 交通部门根据车流量设置不同方向的红绿灯时长．下面是交警赵叔叔日常情况下某一天部分时段的车流量统计表． 南北方向 350 260 170 390 90 东西方向 225 170 110 255 59 根据统计的数据，赵叔叔将南北方向的绿灯时长设置为60秒，他应该把东西方向的绿灯时长设置为多少秒为宜？请你算一算、写一写． 【学习感悟】安全出行你我他 通过以上问题的探索．结合自己出行经历，你对小学生安全出行的建议是（至少写1条）： _____________________________． 【答案】问题探索一：B；问题探索二：；问题探索三：39秒；学习感悟：过马路要看红绿灯，走斑马线（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的性质、统计表，理解题意是解题的关键． 问题探索一：根据三角形的性质，结合题意即可得出答案； 问题探索二：观察图形的车道即可得出答案； 问题探索三：根据统计表可知，东西方向的平均车流量大约是南北方向的平均车流量的，所以东西方向的绿灯时长也应为南北方向的绿灯时长的，据此即可解答； 学习感悟：结合自己出行经历，给出安全出行的建议即可． 【详解】解：问题探索一：为了提高路口行人过街通行效率，交警大队尝试在一些路口设置对角斑马线．这是利用了三角形的任意两边之和大于第三边． 故选：B； 问题探索二：与车道可以同时放行的车道是． 故答案为：； 问题探索三：由统计表可知，东西方向的平均车流量大约是南北方向的平均车流量的，所以东西方向的绿灯时长也应为南北方向的绿灯时长的， （秒）， 答：应该把东西方向的绿灯时长设置为39秒为宜． 学习感悟：对小学生安全出行的建议是：过马路要看红绿灯，走斑马线（答案不唯一）． 故答案为：过马路要看红绿灯，走斑马线（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的概念与边重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的识别 题型三 判断是否为三角形 题型三 三角形的个数问题 题型四 三角形的分类 题型五 构成三角形的条件 题型六 确定第三边的取值范围 题型七 四边形的不稳定性 题型八 三角形的稳定性及应用 题型九 三角形三边关系的应用 拓展训练一 与三角形的概念相关问题 拓展训练二 判断三条线段能否组成三角形 拓展训练三 三角形三边关系综合应用 知识点一： 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直角三角形共有 个． 知识点二： 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 【即时训练】 1．（2025八年级上·河北·模拟预测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 2．（24-25八年级上·全国·课后作业） 的三角形叫做直角三角形，记作 ． 知识点三： 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）在中，，，则的长不可能为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 2．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如图， （填“”，“”或“”）． 知识点四： 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）空调外机安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这利用了三角形具有 的特性． 【经典例题一 三角形的识别】 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·全国·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长． ； ； ． （2）用“=”“<”“ >”填入下面的空格． ， ， ． 【经典例题二 判断是否为三角形】 【例2】（24-25八年级上·浙江舟山·阶段练习）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025八年级上·全国·模拟预测）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是 .（只填序号） 3．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形 “准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 4．（24-25八年级上·山东·课后作业）.下面几个定义是否正确，如果不正确，请你正确的定义： (1)三条线段首尾相接组成的图形叫三角形；（2）多边形所有外角的和叫多边形的外角和 【经典例题三 三角形的个数问题】 【例3】（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）图中，以DE为边的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，以为边的三角形的个数是 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到 个三角形． 4．（2025八年级·全国·模拟预测）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【经典例题四 三角形的分类】 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（  　 ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 1．（24-25八年级上·天津南开·期中）已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是 ，钝角三角形有 个． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【经典例题五 构成三角形的条件】 【例5】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）有长度分别为，，，的四根木条，从中选出三根组成三角形，能组成（    ）个三角形． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）有四根细木棒，长度分别为 3cm、5cm、7cm、9cm，以其中任意三条为边可以构成 个三角形． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是 ． 4．（24-25八年级上·山东·课后作业）易知：等腰三角形三边分别为4，4，5；5，5，6；6，6，7时，其周长分别为4+4+5=13，5+5+6=16，6+6+7=19，那么，等腰三角形的两条边分别为3和8时，其周长一定是14，这一结论对吗？ 【经典例题六 确定第三边的取值范围】 【例6】（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（   ） A． B． C． D． 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图所示，小华测得一个圆规的一条支脚长为，另一只脚长为，则该圆规不可能画出圆的半径为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别是7和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 3．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，．若对角线的长是整数，则的长度可能是 ．（写出一个即可） 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）为探究三角形中线的应用，小丽做了如下操作：如图1，在中，延长边上的中线至点，使，连接． 【探究发现】如图1，的理由是（    ） A．                B．                C．                D． 【初步应用】如图2，在中，，，中线的取值范围是（    ） A．        B．        C．        D． 【方法感悟】解题时，遇到“中点”、“中线”等条件，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把条件和结论整合到同一个三角形中； 【问题解决】如图3，已知是的中线，与分别交于点，．求证：． 【经典例题七 四边形的不稳定性 】 【例7】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（　　）    A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，是边长为25cm的活动四边形衣帽架，它应用了四边形的 ． 3．（2025八年级上·浙江·模拟预测）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ． 4．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【经典例题八 三角形的稳定性及应用】 【例8】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（24-25八年级上·全国·课后作业）用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 3．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，为了使矩形相框不变形，通常可以相框背后加根木条固定．这种做法体现的数学原理是 ． 4．（24-25八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【经典例题九 三角形三边关系的应用】 【例9】（24-25八年级上·江西上饶·期中）若的周长为，则的长可能为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，分别是，的中点，的长可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）点P在△ABC内部，连接PB，PC．比较大小： （填＞，＝，＜）． 3．（24-25八年级上·全国·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由． 【拓展训练一 与三角形的概念相关问题】 1．（2025八年级上·江苏·模拟预测）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【拓展训练二 判断三条线段能否组成三角形】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川达州·期末）从长度分别为的四条线段中随机取出三条，则能够成三角形的概率为 ． 3．（24-25八年级上·四川雅安·期末）如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．    (1)转到数字1是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)转动转盘，转出的数字大于4的概率是_________； (3)现有两张分别写有3和4的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．求这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 【拓展训练三 三角形三边关系综合应用】 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25八年级上·河北石家庄·开学考试）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 4．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下图中共有 个直角三角形． 7．（2025八年级上·全国·模拟预测）的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长 ， ， ． 8．（24-25八年级上·河南南阳·期末）妈妈买来一个木制活动衣帽架，如图，小颖发现这个衣帽架能伸缩，这说明： ． 9．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 10．（24-25八年级上·广东云浮·期末）小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 12．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 13．（24-25八年级上·全国·阶段练习）利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期末）交通安全中的数学问题 【问题缘起】 星期天早晨，轩轩和爸爸骑公共自行车去郊游．一路上看到许多交通安全的宣传标语“戴好安全帽，平安身旁绕”“红绿灯，认真瞧，交通安全很紧要”“人过马路口，斑马线内走”……在经过一个十字路口时，轩轩观察到一些数学问题． 【问题探索一】斑马线的设置 为了提高路口行人过街通行效率，交警大队尝试在一些路口设置对角斑马线（如图）．这是利用了三角形的（    ）． A． 稳定性           B． 任意两边之和大于第三边 C． 内角和      D． 三个顶点不在同一条直线上 `【问题探索二】放行车道的设置 如图，分别是南北方向的直行车道，分别是南北方向的左拐车道．与车道可以同时放行的车道是（    ） ．（填“”“”或“”) 【问题探索三】红绿灯时长的设置 交通部门根据车流量设置不同方向的红绿灯时长．下面是交警赵叔叔日常情况下某一天部分时段的车流量统计表． 南北方向 350 260 170 390 90 东西方向 225 170 110 255 59 根据统计的数据，赵叔叔将南北方向的绿灯时长设置为60秒，他应该把东西方向的绿灯时长设置为多少秒为宜？请你算一算、写一写． 【学习感悟】安全出行你我他 通过以上问题的探索．结合自己出行经历，你对小学生安全出行的建议是（至少写1条）： _____________________________． 学科网（北京）股份有限公司 $$