专题02 三角形的中线、角平分线、高重难点题型专训（3个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024

专题02 三角形的中线、角平分线、高重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 重心的概念 题型二 根据三角形中线求长度 题型三 根据三角形中线求面积 题型四 三角形角平分线的定义 题型五 画三角形的高 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 利用网格求三角形面积 拓展训练一 判断线段是三角形的中线、角平分线还是高？ 拓展训练二 与三角形高、角平分线相关做图问题 拓展训练三 利用三角形的高计算面积问题 拓展训练四 与三角形有关的线段综合应用 知识点一： 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的定义，线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量．根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线， ∴三角形的角平分线是线段． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 ． 【答案】角平分线 【分析】根据三角形角平分线的定义解答即可. 【详解】画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 故答案是：角平分线． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 知识点二： 三角形中的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形有三条角平分线。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，要注意区分。 重要性质： 三条交于一点： 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心 (Incenter)。 内心的性质： 内心到三角形三边的距离都相等（根据角平分线性质定理）。因此，内心是三角形内切圆的圆心。 基本应用： 利用角平分线性质定理和逆定理，可以在三角形中证明线段相等、角相等，或者确定某个点是否在角平分线上。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可． 【详解】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义是解题关键． 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的 ． 【答案】角平分线 【解析】略 知识点三： 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，将折叠，使点和点重合，展开后得到点，连接，则是（   ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．任意一条线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠，三角形的中线．熟练掌握折叠的性质，三角形的中线的定义是解题的关键．在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线． 根据翻折的性质可得E是边的中点，根据三角形的中线的定义即可判断． 【详解】解：由折叠知，， ∴E是边的中点， ∴是的中线， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义． 根据三角形的高的定义，求解即可． 【详解】解：可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，，共条； 综上，可以作为三角形“高”的线段有：，，，，共条． 故答案为：． 【经典例题一 重心的概念】 【例1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的三条边中线的交点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】画出三角形三条中线相交于一点D，据此解答即可． 【详解】解：根据图形可知，的三条边中线的交点是：点． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为M， 若点M在线段AD上，则下列结论正确的是（  ） A．∠BAD＝∠CAD B．AM＝DM C．△ABD的周长等于△ACD的周长 D．△ABD的面积等于△ACD的面积 【答案】D 【分析】由点M是重心得AD是中线，依次判断选项即可. 【详解】∵点M是△ABC的重心，点M在线段AD上， ∴AD是BC边的中线， ∴BD=CD, ∴A. ∠BAD＝∠CAD错误； B. AM＝2DM,故该选项错误； C.AB+AD+BD＞AC+AD+CD,故选项C错误； D. △ABD与△ACD是等底同高的两个三角形，故△ABD的面积等于△ACD的面积，此选项正确. 故选：D. 【点睛】此题考查三角形的重心，确定三角形重心的构成是三条中线的交点是解题的关键. 2．（2025·福建泉州·模拟预测）等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是 ． 【答案】2． 【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可. 【详解】如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求. ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴CD＝AB＝6， ∵I是△ABC的重心， ∴DI＝CD＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键. 3．（24-25九年级·四川绵阳·阶段练习）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5，GC=4，GB=3，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，则△EBC的面积= ． 【答案】12 【分析】根据点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5，GC=4，GB=3，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，得出DG=DE=2，以及BE=5，即可得出△EBG的面积，进而得出答案． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GC=4， ∴DE=2， ∵将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE， ∴DG=DE=2，AG=BE=5，∵BG=3， ∴△BGE是直角三角形， ∴△BGE的面积为：×3×4=6， ∵∠BGE=90°， ∴∠BGC=90°， ∴△BGC的面积为：×3×4=6， ∴△EBC的面积为：12． 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了重心的性质以及勾股定理的应用，根据已知得出△BGE是直角三角形是解题关键． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【详解】（1）解：点即为所作； ； （2）解：线段即为所作； ． 【经典例题二 根据三角形中线求长度】 【例2】（24-25八年级上·重庆黔江·期中）在中，为边的中线．若与的周长差为，，则的长为（　　） A．5 B．11 C．5或8 D．5或11 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形中线的性质．由为边上的中线，得，根据题意，分类讨论进而即可求解． 【详解】解：①当时，    ∵与的周长差为3， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时，同理可得，则, 综上，的长为5或11． 故选：D． 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【分析】点是边上的中点可得，再由的周长为20可得，从而得到，最后由三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：点是边上的中点， ， 的周长为20， ， ， ， 的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了与三角形的中线有关的计算，求出是解题的关键． 2．（24-25八年级上·重庆垫江·阶段练习）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由为边上的中线，得，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，    ∵与的周长差为3， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴, ②当时，同理可得，则 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长度为 ． 【答案】13 【分析】根据三角形中线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵在中，是边的中线， ∴， ∴在中，，， ∴； 故答案为：13． 【点睛】本题考查三角形中线的性质、勾股定理，解题的关键是能够求出的长． 4．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)60 (2)24 【分析】本题考查三角形的中线和高，熟练掌握高线和中线的定义是解题的关键． （1）利用面积公式进行计算即可； （2）利用面积公式进行求解即可； 【详解】（1）解：∵的边上的高为，中线为，，， ∴， 的面积； （2）解：∵的面积， ∵， ∴． 【经典例题三 根据三角形中线求面积】 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，点、分别在、边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ）    A．9 B．12 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可得，再求出，则． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵，即 ∴， ∴（等高三角形的面积之比等于底边长之比）， 故选：C． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．3 C．4 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．根据等底同高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可求解． 【详解】解：∵的面积为，是的中线 ∴， 同理可得：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，点分别在，，边上，且满足，，，连接，，若的面积为12，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查求四边形面积，涉及三角形面积公式、同高三角形面积比等于底边比等知识，连接，过点作，过点作，如图所示，由题意得到各个三角形的面积，最后数形结合，由四边形的面积为，代值求解即可得到答案．数形结合，通过底边比得到各个三角形面积是解决问题的关键． 【详解】解：连接，过点作，过点作，如图所示： ， ， ， 和以上的线段为底的高均为， 则， 即， ， 和以上的线段为底的高均为， 则， 即， 四边形的面积为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，的面积为，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到；第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到；；按此规律，第次操作后，得到，要使的面积超过，则至少需要操作 次． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，图形规律，连接，根据三角形中线的性质得出与的面积相等，根据得出的面积等于的面积的 2 倍，等于 2 ，同理可得的面积为的面积为 2 ，得出第一次操作后的，的面积等于7，同理的面积为 49 ，根据规律得出第四次操作后的面积为 2401 ，结合题意即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵面积为 1 ， ∴与的面积相等，等于 1 ， ∵， ∴的面积等于的面积的 2 倍，等于 2 ， 同理可得的面积为的面积为 2 ， ∴的面积等于， 同理可证，第二次操作后的面积为的面积的7倍，等于； 第三次操作后的面积为的面积的7倍，等于； 第四次操作后的面积为的面积的7倍，等于； 故按此规律，要使三角形的面积超过2024，至少操作4次， 故答案为：4． 4．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）（面积问题）如图， (1)问题发现：如图1，已知中，点D为的中点，连接，则______（填“>”“<”或“=”）． (2)问题探究：如图2，已知四边形，E，F分别为的中点，连接，四边形与四边形的面积之比是多少？ (3)实践应用：如图3，已知有一块六边形花圃，其中G，H，M，N分别为上的点，且．连接，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为，，，观赏区的总面积为多少？ 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】本题考查三角形的面积与底与高的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析题意，连结后，与是等底同高的三角形，所以它们的面积相等；   （2）如图连接，根据E、F是的中点，得出=， =，由此得出四边形的面积正好是原四边形面积的一半； （3）如图连结，得出，分别求出相应三角形面积的大小，然后再求出它们的和即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， （等底同高）； （2）如图，连接， ∵点为的中点， ∴，, ∴点为的中点， ∴，, ∴． ∴四边形与四边形的面积之比是； （3）如图，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ∴观赏区的总面积是：, ∴观赏区的总面积为． 【经典例题四 三角形角平分线的定】 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【详解】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得的周长，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示， ∵平分平分， ∴平分， ∴， 由平移得， ， ， ， 同理可得； ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为 8 ； 故答案为：8． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【答案】(1)高 (2)角平分线 (3)中线 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形高线、角平分线、中线的定义． （1）根据三角形高的定义即可判定； （2）根据三角形角平分线的定义即可判定； （3）根据三角形中线的定义即可判定． 【详解】（1）解：图甲中，由折叠可知，， ， ， ， 故甲折出的是的边上的高； （2）图乙中，由折叠可知，， 故乙折出的是的角平分线； （3）图丙中，由折叠可知，， D点是边的中点， 故丙折出的是的边上的中线． 【经典例题五 画三角形的高】 【例5】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中作边上的高，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的概念，解题的关键是正确作三角形一边上的高；作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：过点作边的垂线段，即画边上的高， 所以画法正确的是C选项； 故选：C． 1．（24-25八年级·全国·阶段练习）如图，已知于点，于点，于点，则中边上的高是(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可． 【详解】A、CF⊥AB，∴线段CF是△ABC中AB边上的高，此选项不符合题意； B、BE⊥AC，∴线段BE是△ABC中AC边上的高，此选项不符合题意； C、CD不是△ABC的高，此选项不符合题意； D、AD⊥BC，∴线段AD是△ABC中BC边上的高，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高．准确识图并熟记三角形高的定义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ． 【答案】AE 【分析】根据三角形的高的概念即可得答案． 【详解】∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点， ∴BE⊥AC，即AE⊥BH， ∴△BHA中边BH上的高是AE， 故答案为：AE 【点睛】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是 cm． 【答案】4cm 【分析】从三角形的一个顶点向它对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段）,叫做三角形的高．这条边叫做底． 【详解】因为AC⊥BC， 所以三角形ABD中，BD边上的高是：AC=4cm 故答案为：4cm 【点睛】考核知识点：三角形的高．理解三角形的高的定义是关键． 4．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）做出三角形的三条高． 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了画三角形的高，利用基本作图，分别过三个顶点作对边的垂线即可，熟练掌握三角形的高的概念是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点； 过作，交于点； 过作，交延长线于点； ∴即为所求． 【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角的平分线性质，过点作于点，证明，再利用三角形的面积公式即可得出结论，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，掌握同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比是解题的关键； 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可 【详解】解：如图，连接、、； ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ； 故选：B 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，中，为的高，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高的定义，由，设，则，，进而利用直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解． 【详解】解：由 ，设，则， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点作于点，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 当点与重合，点与 重合时，的最小值． 三角形的面积为，， ， ． 即的最小值为． 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，解题关键是看到垂直条件及一些边长，可利用等面积法求解． 根据题意，利用等面积法，用两种方法表示的面积，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题七 利用网格求三角形面积】 【例7】（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，每个小正方形的边长为1．若阴影部分是正方形，则它的边长是（   ） A．5 B．6 C． D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了割补法求三角形面积，求一个数的算术平方根，利用割补法求出阴影部分面积为17，再根据正方形面积等于其边长的平方即可得到答案． 【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为， ∵阴影部分是正方形， ∴它的边长是， 故选：C． 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则点C的个数为（点C在格点上）（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查借助网格求面积，根据题意，画出点的位置，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：共有8个； 故选D． 2．（24-25八年级上·广西防城港·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为： 4．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，每个小正方形边长都为1，的三个顶点都在格点上． (1)求的周长； (2)求边上的高以及的面积． 【答案】(1) (2)9.5，高为 【分析】本题考查了网格与勾股定理，分母有理化，二次根式的运算，利用网格求三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理算出每个边长，再加起来，即可作答． （2）运用割补法求面积，再由面积公式求解边上的高． 【详解】（1）解： ∴的周长； （2）解：的面积， 设边上的高为， 则， ∴． 【拓展训练一 判断线段是三角形的中线、角平分线还是高？】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 ． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义．由三角形的角平分线、中线、高的定义，即可判断． 【详解】解：①，是的角平分线，故①错误，不符合题意； ②是中点，是边上的中线，故②错误，不符合题意； ③，是边上的高，故③正确，符合题意； ③，，是的角子分线和高，故④正确，符合题意． ∴以上判断正确的有③④． 故答案为：③④． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了写逆命题，判断命题的真假及举反例等知识，理解这些知识是关键； （1）交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断是真命题即可； （2）先改写成：“如果……，那么……”的形式，再交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断真假，若是假命题，则举出符合命题条件，但不符合命题结论的例子即可． 【详解】（1）解：逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题； （2）解：原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角有公共顶点且相等； 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角； 是假命题． 反例如下：如图：，且共顶点O，但这两个角不是对顶角； 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？ 【答案】分别是的角平分线．分别是的中线．是的高． 【分析】此题考查三角形的角平分线、高和中线的定义，关键是理解三角形的高、角平分线和中线的定义解答．利用三角形的高、角平分线和中线的定义解答即可． 【详解】解：由可知， 分别是的角平分线； 由可知， 分别是的中线； 由可知， 是的高． 【拓展训练二 与三角形高、角平分线相关做图问题】 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，过的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的三条特殊线段，理解三角形中线、高线和角平分线的定义，是解题的关键．过点C作于点D，则为的高线；作的平分线，交于点E，则为的角平分线，找出的中点F，连接，则为的中线． 【详解】解：如图，为所求作的高线，为所求作的角平分线，为所求作的中线． 2．（24-25八年级上·吉林·期末） [感知]如图①，是的平分线，点P是上任一点，作，，垂足分别为D和E．易知(不需要证明)； [探究]如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； [应用]如图③．的周长是8．、分别平分和．于点D．若，则的面积为______． 【答案】[探究] ；[应用]8 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解．各小问主要关键步骤： [探究]根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； [应用]确定O为的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】[探究] 解：∵是的角平分线， ∴点D到和的距离相等（角平分线性质）． 设点D到、的距离为h， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； [应用] 解：∵、分别平分和， ∴点O是的内心，内心到三边的距离相等． ∵，， ∴点O到、的距离也为2． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是8，即， ∴． 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．请根据以上的基本事实，解决下面的问题． 如图，钝角三角形中，，分别为，边上的高． (1)请用无刻度直尺画出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求高与的比是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长DA交BE的延长线于点G，连接CG交BA延长线于F，即可得出AB边上的高CF ； （2）利用三角形A BC的面积公式即可得出CF和BE的比例关系． 【详解】（1）解： 如图，线段即为所求作的高． （2）解：解：∵，分别是的边，上的高， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的三角形中的特殊线段，熟练根据三角形的面积公式得出线段的比例关系是解题的关键． 【拓展训练三 利用三角形的高计算面积问题】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题考查了三角形的中线性质与面积公式（）的应用，解题关键是灵活运用中线对面积的分割作用及周长差的化简逻辑． （1）先利用三角形面积公式结合为高求出的面积，再根据F是中点，由中线分三角形面积的性质得到的面积； （2）先通过为高结合面积求出的长度，再根据F是中点得到，进而分析和的周长差． 【详解】（1）解：是的高， F为的中点，是的中线， ； （2）解： 是的高， ，即， 解得． F是的中点， ， 又是公共边，的周长为，的周长为， 和的周长差为． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，分别是的边上的高和中线，． (1)求和的面积． (2)通过做题，你能发现什么结论？请说明理由． (3)根据（2）中的结论，解决问题：如图②，是的中线，是的中线，是的中线．若的面积为，求的面积． 【答案】(1)， (2)三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积公式，即底高，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． （1）根据三角形中线的定义得到，然后根据三角形的面积公式计算和的面积． （2）根据计算的结果得到等底等高的三角形的面积相等． （3）根据等底等高的三角形的面积相等先得到，再得到，则，然后根据结论得到，所以． 【详解】（1）解： 是的边上的中线， ， ， ． （2）结论：三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形． 理由：等底同高的两个三角形的面积相等． （3）是的中线，的面积为， ， ． 是的中线， ， ． 是的中线， ， ． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）如图，过点A作， 则， ∵， ∴．                （2）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴．                   （3）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【拓展训练四 与三角形有关的线段综合应用】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知：如图．求作： (1)线段，D在上，将分成两个面积相等的和； (2)作出中边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线，熟知线段垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． （1）三角形中线平分三角形面积，据此可得是的中线，据此作图即可； （2）根据垂线的作法作于E即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 2（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【分析】本题考查三角形的重心，四边形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，是解题的关键： 问题1：分两种情况画出图形，根据重心的定义，画图即可； 问题2：延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 【详解】解：问题1：①如答图①所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点F．由题意可得，这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，而这个长方形也可由和拼成，易知这两个三角形的重心都在上，则线段与的交点G就是长方形的重心． ②如答图②所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点N，连接．易知和的重心都在上，所以四边形的重心是线段与的交点G． 问题2：（所作直线不唯一）如答图③，延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分． 3．（24-25八年级上·河北承德·期末）已知为的中线，E为线段上一点．   　　  　　 (1)如图1，若，周长为10，求周长； (2)若面积为20，，请在图2中作的边上的高，并求出点E到直线的距离； (3)如图3，若，，射线平分，点P射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数． 【答案】(1)13 (2)5，图见解析 (3)或或 【分析】（1）根据三角形的中线的定义得到， 根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形的高的概念作出，根据三角形的面积公式求出EF，得到点E到直线BC的距离； （3）分、、三种情况，根据垂直的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴． ∵， ∴，即的周长的周长 ∵的周长为10， ∴的周长为13； （2）解：如图，过点E作于F，则即为所求的的边上的高．    ∵的面积为20， ∴ ∵， ∴，即点E到直线的距离为5； （3）解：∵射线平分，， ∴． 如图，当时，；    当时，； 当时，． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查的是三角形的周长和面积的计算、三角形的中线和高的概念、垂直的定义，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，根据，则是的高，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是的高， 故选：A 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，D为边的中点，E为边上靠近点A的三等分点，已知，则与的面积差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的中线，等分点比例关系,根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．首先根据已知的线段比例关系，利用三角形面积公式与等底同高或等高不同底的三角形面积关系，分别求出和的面积，然后通过面积的转化得出与的面积差． 【详解】解：由题意可知，． ， ，． ，， 故选：C． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在直角三角形中，，，点P是边上一动点（点P可以与点A，B重合），且．若点M，N分别是，的中点，则的长度为（   ） A．6.3 B．6.5 C．6.6 D．6.8 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，直角三角形的性质，由，得到当P和B重合时，，当时，，由三角形面积公式求出，由线段的中点定义得到． 【详解】解：∵， ∴当P和B重合时，，当时，， ∴边上的高为 ∴， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·河南商丘·期中）已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．证明，进一步计算周长差即可. 【详解】解：如图：   是的中线， ， ∵与的周长分别为，， ①， ②， 得：， 故答案为：9． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是 ．（把正确的序号填在横线上） 【答案】② 【分析】分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 8．（24-25八年级上·全国·课前预习）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 ． 【答案】 中线， 三角形的重心 【解析】略 9．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线平分三角形的面积，掌握这一性质是解题的关键．连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解∶连接， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴， ， ， ， ，得 ， ∴ ． 故答案为；16． 11．（25-26八年级上·全国·周测）已知分别是的高和中线．若，求的长． 【答案】的长为或 【分析】本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键． 分为在的内部和外部两种情况进行分析，先分别求出的值，再结合三角形的中线定义，即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①当在内部，如图： ． 是的中线， ， ； ②当在内部，如图： ． 是的中线， ， ． 综上所述，的长为或． 12．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，四边形是一个梯形，点E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是．求上底与下底的长度之比． 【答案】 【分析】本题主要考查了梯形，三角形中线的性质．连接，设，根据点E是的中点，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∴，     ∵的高相同， ∴． 13．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°． (1)①若∠ABC=40°，则∠E=________； ②若∠ABC=100°，则∠E=________． (2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由． 【答案】(1)①30°；②30° (2)嘉嘉说得对，理由见解析 【分析】(1)①根据角平分线的定义及三角形外角的性质，即可解答；②同①解答即可； (2) 根据角平分线的定义及三角形外角的性质，可得∠E=∠A，据此即可判定． 【详解】（1）解：①∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线 ∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD ∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E ∴∠DCE=∠ACD=50°， ∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°； ②∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线 ∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD ∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E ∴∠DCE=∠ACD=80°， ∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°； 故答案为：①30°；②30°； （2）解：嘉嘉说得对． 理由如下： ∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线 ∴∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACD ∵∠DCE=∠DBE+∠E ∴∠E=∠DCE－∠DBE=∠ACD－∠ABC=(∠ACD－∠ABC) 又∵∠ACD=∠ABC+∠A ∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC）=∠A ∴∠E的大小与∠B的度数无关． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，结合题意和图形准确找到相关角之间的关系是解决本题的关键． 14．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 【知识应用】（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图2，若，，求的面积； （2）如图2，求证：平分； 【拓展应用】（3）如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，过点P作．若，，，直接写出长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （2）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； （3）过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：根据折叠可知：，，， ； （2）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； （3）如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形的中线、角平分线、高重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 重心的概念 题型二 根据三角形中线求长度 题型三 根据三角形中线求面积 题型四 三角形角平分线的定义 题型五 画三角形的高 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 利用网格求三角形面积 拓展训练一 判断线段是三角形的中线、角平分线还是高？ 拓展训练二 与三角形高、角平分线相关做图问题 拓展训练三 利用三角形的高计算面积问题 拓展训练四 与三角形有关的线段综合应用 知识点一： 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 ． 知识点二： 三角形中的角平分线 定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形有三条角平分线。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，要注意区分。 重要性质： 三条交于一点： 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心 (Incenter)。 内心的性质： 内心到三角形三边的距离都相等（根据角平分线性质定理）。因此，内心是三角形内切圆的圆心。 基本应用： 利用角平分线性质定理和逆定理，可以在三角形中证明线段相等、角相等，或者确定某个点是否在角平分线上。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的 ． 知识点三： 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，将折叠，使点和点重合，展开后得到点，连接，则是（   ） A．角平分线 B．高线 C．中线 D．任意一条线段 2．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 【经典例题一 重心的概念】 【例1】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的三条边中线的交点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为M， 若点M在线段AD上，则下列结论正确的是（  ） A．∠BAD＝∠CAD B．AM＝DM C．△ABD的周长等于△ACD的周长 D．△ABD的面积等于△ACD的面积 2．（2025·福建泉州·模拟预测）等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是 ． 3．（24-25九年级·四川绵阳·阶段练习）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5，GC=4，GB=3，将△ADG绕点D顺时针方向旋转180°得到△BDE，则△EBC的面积= ． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【经典例题二 根据三角形中线求长度】 【例2】（24-25八年级上·重庆黔江·期中）在中，为边的中线．若与的周长差为，，则的长为（　　） A．5 B．11 C．5或8 D．5或11 1．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（    ）    A．16 B．18 C．20 D．22 2．（24-25八年级上·重庆垫江·阶段练习）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 3．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长度为 ． 4．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【经典例题三 根据三角形中线求面积】 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，点、分别在、边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ）    A．9 B．12 C．8 D．10 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．3 C．4 D．1.5 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，点分别在，，边上，且满足，，，连接，，若的面积为12，则四边形的面积为 ． 3．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，的面积为，第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到；第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到；；按此规律，第次操作后，得到，要使的面积超过，则至少需要操作 次． 4．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）（面积问题）如图， (1)问题发现：如图1，已知中，点D为的中点，连接，则______（填“>”“<”或“=”）． (2)问题探究：如图2，已知四边形，E，F分别为的中点，连接，四边形与四边形的面积之比是多少？ (3)实践应用：如图3，已知有一块六边形花圃，其中G，H，M，N分别为上的点，且．连接，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为，，，观赏区的总面积为多少？ 【经典例题四 三角形角平分线的定】 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【经典例题五 画三角形的高】 【例5】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在中作边上的高，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级·全国·阶段练习）如图，已知于点，于点，于点，则中边上的高是(        ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是 cm． 4．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）做出三角形的三条高． 【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，中，为的高，，，那么 ． 3．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 4．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，在中，，求的值． 【经典例题七 利用网格求三角形面积】 【例7】（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，每个小正方形的边长为1．若阴影部分是正方形，则它的边长是（   ） A．5 B．6 C． D．18 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则点C的个数为（点C在格点上）（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·广西防城港·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 4．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，每个小正方形边长都为1，的三个顶点都在格点上． (1)求的周长； (2)求边上的高以及的面积． 【拓展训练一 判断线段是三角形的中线、角平分线还是高？】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 ． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？ 【拓展训练二 与三角形高、角平分线相关做图问题】 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，过的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 2．（24-25八年级上·吉林·期末） [感知]如图①，是的平分线，点P是上任一点，作，，垂足分别为D和E．易知(不需要证明)； [探究]如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； [应用]如图③．的周长是8．、分别平分和．于点D．若，则的面积为______． 3．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．请根据以上的基本事实，解决下面的问题． 如图，钝角三角形中，，分别为，边上的高． (1)请用无刻度直尺画出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求高与的比是多少？ 【拓展训练三 利用三角形的高计算面积问题】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，分别是的边上的高和中线，． (1)求和的面积． (2)通过做题，你能发现什么结论？请说明理由． (3)根据（2）中的结论，解决问题：如图②，是的中线，是的中线，是的中线．若的面积为，求的面积． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______．                          【拓展训练四 与三角形有关的线段综合应用】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知：如图．求作： (1)线段，D在上，将分成两个面积相等的和； (2)作出中边上的高． 2（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 3．（24-25八年级上·河北承德·期末）已知为的中线，E为线段上一点．   　　  　　 (1)如图1，若，周长为10，求周长； (2)若面积为20，，请在图2中作的边上的高，并求出点E到直线的距离； (3)如图3，若，，射线平分，点P射线上一点，且直线与的一条边所在的直线垂直，请直接写出的度数． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，D为边的中点，E为边上靠近点A的三等分点，已知，则与的面积差为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在直角三角形中，，，点P是边上一动点（点P可以与点A，B重合），且．若点M，N分别是，的中点，则的长度为（   ） A．6.3 B．6.5 C．6.6 D．6.8 6．（24-25八年级上·河南商丘·期中）已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是 ．（把正确的序号填在横线上） 8．（24-25八年级上·全国·课前预习）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 ． 9．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形的面积是32，各边中点分别为与相交于点，图中阴影部分的总面积是 ． 11．（25-26八年级上·全国·周测）已知分别是的高和中线．若，求的长． 12．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，四边形是一个梯形，点E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是．求上底与下底的长度之比． 13．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°． (1)①若∠ABC=40°，则∠E=________； ②若∠ABC=100°，则∠E=________． (2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由． 14．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． 【知识应用】（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图2，若，，求的面积； （2）如图2，求证：平分； 【拓展应用】（3）如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，过点P作．若，，，直接写出长． 学科网（北京）股份有限公司 $$