专题06 有理数章末48道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题06 有理数章末48道压轴题型专训（6大题型） 题型一 绝对值化简问题综合 题型二 数轴上的动点问题综合 题型三 绝对值的几何意义综合 题型四 正负数的实际应用 题型五 有理数大小比较的实际应用 题型六 数轴上的规律探究 【经典例题一 绝对值化简问题综合】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 3．（24-25七年级上·全国·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴化简：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； (2)若，求的值． 4．（24-25七年级上·四川达州·期中）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a 0，b 0，c 0； (2)根据数轴化简：①= ；②= ；③= ；④= ；⑤= ；⑥= ； (3)若，求a，b，c的值． 5．（24-25七年级上·四川成都·期中）化简与计算 (1)将下列各数填入相应的大括号内（无需化简，原式填入）： ，，0，，，，， 整数集合：{             …}； 正有理数集合：{             …}； 非负整数集合：{             …}； 负分数集合：{             …}． (2)比较下列各对数的大小（用“”或“”填空）． ①________  ②________ 6．（24-25七年级上·江西赣州·期中）已知有理数、满足，请解答下列问题： (1)______，______； (2)如图，数、、在数轴上对应的点分别是、、，点是点右侧一动点，请化简式子：； (3)在（1）（2）的条件下，当时，、、三点开始在数轴上运动．点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动时间为秒，请问：的值是否随时间的变化而变化？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 7．（2025七年级上·全国·模拟预测）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 8．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“”与“”，规定：，例如，． (1)计算的值． (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． (3)若，求x的值． (4)对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“”，使得，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 【经典例题二 数轴上的动点问题综合】 9．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、5，点P为数轴上一动点 ； (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)若点P到点A的距离为6，求点P对应的数； (3)若点P到点A、点B的距离之和为10，请求出点P对应的数． 10．（24-25七年级上·全国·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 11．（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足 (1)点A表示的数为　　；点B表示的数为　　； (2)若数轴上有两动点M、N，点M以2个单位/秒从A向右运动，同时点N以3个单位/秒从点B向左运动，问经过几秒M，N相遇？ (3)在（2）的条件下，动点M、N出发经过多少秒，能使？ 12．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足； (1)点A表示的数为__________；点B表示的数为__________； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数__________； (3)动点P，Q分别从B，A两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 14．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）已知点，，，在数轴上，（点在点的左侧），（点在点的左侧）．点，分别是线段，上的动点，记，两点之间的最小距离为，最大距离为． (1)如图1，若点表示的数为，点表示的数为1，求，的值． (2)如图2，若点表示的数为1，，求出此时点所表示的数． (3)若，请直接写出的值（可用含的代数式表示）． 16．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【问题背景】表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离． 【构建联系】（1）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，则数轴上点表示的数______； （2）若，则______． 【深入探究】 （3）在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2． 【经典例题三 绝对值的几何意义综合】 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上，如果点分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是5，那么这两个点所表示的数分别是多少？ 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）画一条数轴，并在数轴上表示：2.5和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于4的数，最大的负整数．并把这些数按由小到大的顺序用“<”连接起来． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 20．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，请回答下列问题： (1)比大小：___________ ； (2)用“”把a，b，， 连接起来． 21．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）某一出租车一天下午以岳阳楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离岳阳楼出发点多远？在岳阳楼的什么方向？ (2)若出租车每千米耗油升，求行驶过程总共消耗多少升油？ 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料：我们知道，若点在数轴上分别表示有理数（如下图所示），两点间的距离表示为，则，所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若点表示，点表示1，则________． (2)若点表示，则点表示的数是________． (3)若，求的值． 23．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 24．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【经典例题四 正负数的实际应用】 25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）每袋大米的标准质量为50千克，5袋大米称重记录（超过标准质量记为正，不足记为负，单位：千克）如下：，则这5袋大米的总质量是多少千克？ 26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下面是几个家庭五月份用电支出与上月用电支出相比的变化情况： 赵力家减少      肖刚家增加 王辉家减少      李玉家增加 田红家增加       陈佳家减少 分别用带“”或“”的数写出这六家五月份用电支出比上月用电支出的增长率． 27．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）一只蚂蚁从某点P出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为主，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程一次为（单位：厘米）：，，，，，， (1)蚂蚁共爬行了多少厘米？ (2)若蚂蚁共用了9分钟完成上面的路程，蚂蚁的速度是多少？ 28．（24-25七年级上·全国·期中）某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知零件的标准直径是，某次抽查了6件样品，抽查时以标准直径为基准，用正负数表示每件样品测得的数值与标准直径的差（单位：），抽查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 差 (1)哪件样品的大小最符合要求？你认为的最符合是根据什么判断的？ (2)如果规定差的绝对值在0.18之内是正品，那么哪几件样品是正品？ 30．（24-25七年级上·广东汕尾·期中）今抽查10袋精盐，每袋精盐的标准质量是，超过部分记为正，统计数据如下表： 每袋超过或不足标准的克数 0 精盐袋数 2 3 3 1 1 (1)这10袋精盐的平均质量比标准质量多或少多少克？ (2)这10袋精盐一共有多少克？ 31．（24-25七年级上·全国·期末）2024年国庆节期间，各地风景区游人如织，某风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的游客人数为 万人； (2)10月1日至7日，游客人数最多的是10月 日，达到 万人；游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该景区在10月1日至10月7日这7天内一共接待了多少游客？ 32．（24-25七年级上·河南商丘·期末）扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为，从点B到点A记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． (1)从点D到点C记为______； (2)若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为，请在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； (3)在（2）的条件下，若每小格的边长表示1米，则扫地机器人在此次运动过程中共走了多少米？ 【经典例题五 有理数大小比较的实际应用】 33．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，数轴，求大于且小于4的所有整数的和． 34．（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知A市今天温度为3.8℃，B市今天温度为℃，C市今天温度为3℃． (1)哪个地方温度最高?哪个地方温度最低? (2)最高的地方比最低的地方温度高多少? 35．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）在一次班会上，主持人小宇和小莉进行小游戏，游戏规则如下：每人每次抽4张卡片，如果抽到的形状为“”，那么加上卡片上的数字；如果抽到的形状为“”，那么减去卡片上的数字．最终计算结果小的为大家表演节目．小宇和小莉抽取的卡片如图所示，本次游戏结束后由谁给大家表演节目？    36．（24-25七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 37．（24-25七年级上·全国·单元测试）下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温． 城市 长春 南京 武汉 西安 宁波 最高气温/℃ －5 2 －3 －1 4 (1)在数轴上表示出这些城市的最高气温； (2)用“<”连接这些城市的最高气温． 38．（24-25七年级上·甘肃嘉峪关·期中）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果每套儿童服装以56元的价格作为标准卖出，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下： ，，，，，0，，． (1)儿童服装售价最高为多少元？ (2)当他卖完这种8套儿童服装后是盈利还是亏损？ 39．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期 　 　； (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 40．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）在学习完有理数的加减后，婷婷和晓晨玩抽卡片游戏，她们规定：每人抽5张卡片，抽到白色卡片就加上卡片上的数，抽到灰色卡片就减去卡片上的数，将各自抽到的卡片分别计算后，结果大的为胜者．下面是她俩分别抽到的卡片，算一算，谁获胜了？ 【经典例题六 数轴上的规律探究】 41．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； （3）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ； （4）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离= ． 42． （24-25七年级上·山东菏泽·期中）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60，求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 43．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 44．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则a的值为　　　； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则　　　； (3)若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则的最小值为　　　． 45．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______    ②_______；    ③_______ (2)用合理的方法计算：有理数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． (3)用简单的方法计算：． 46．（24-25七年级上·河南漯河·期中）已知数轴上三点A、O、B对应的数分别为、0、1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x．请解决下列问题： (1)填空： ①A、B两点间的距离是 ； ②如果点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是 ； ③如果点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动了2023次时，那么x的值是 ； (2)当x为何值时，点M到点A、点B的距离之和是8？ 47．（24-25七年级上·河北承德·期中）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A、B、C，其中．以这条直线为基础建立数轴，设点A、B、C所表示数的和是p．    (1)如果规定向右为正方向，以为单位长度建立数轴： ①若以B为原点O，则点C表示的数是______，点A表示的数为______；若以C为原点O，则点B表示的数是______，此时______； ②若改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且，求p的值； ③发现：观察p值的变化规律发现原点每向右移动，p值______（增大或减小）______； (2)如果规定向右为正方向，若点A表示的数是，则点C表示的数是______，若折叠数轴，使点A与点C重合，则折点表示的数是______． 48．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是____． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示_____，B点表示_____． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为______．（用含有a，b的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数章末48道压轴题型专训（6大题型） 题型一 绝对值化简问题综合 题型二 数轴上的动点问题综合 题型三 绝对值的几何意义综合 题型四 正负数的实际应用 题型五 有理数大小比较的实际应用 题型六 数轴上的规律探究 【经典例题一 绝对值化简问题综合】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的比较大小，有理数的除法运算． （1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的减法法则判断即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴； （2）解：∵， ∴； 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知数轴上点P表示的数为x，且． (1)当时，化简，并求x的值； (2)结合数轴（如图）分析，满足条件的点P共有几个？分别求出这些点表示的数． 【答案】(1)，的值为3 (2)满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与分类讨论思想（根据绝对值内式子的符号分段化简），要求对绝对值的性质深度理解，且能严谨分类求解． 根据绝对值的几何意义与分类讨论思想展开，由x的取值范围化简绝对值求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ， 解得，即的值为3． （2）解：当时，， 则，解得， 点表示的数为； 当时，，故不符合题意； 当时，由（1）可知，点表示的数为3． 综上所述，满足条件的点共有2个，这些点表示的数分别是和3． 3．（24-25七年级上·全国·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴化简：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，解题的关键是熟记数轴及绝对值的定义． （1）由绝对值的几何意义，参考数轴信息判定的正负，数形结合，去绝对值即可得到答案； （2）根据的正负性，由绝对值的代数意义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ， 则①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ， ，，． 4．（24-25七年级上·四川达州·期中）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a 0，b 0，c 0； (2)根据数轴化简：①= ；②= ；③= ；④= ；⑤= ；⑥= ； (3)若，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)，，，，， (3) 【分析】本题主要考查绝对值的性质，正负数，数轴上的对应点的位置； （1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据绝对值的性质再结合正负数即可得出结论． 【详解】（1）结合数轴得： 故答案为： （2），， ，， 故答案为：，，，，， （3）， 且 5．（24-25七年级上·四川成都·期中）化简与计算 (1)将下列各数填入相应的大括号内（无需化简，原式填入）： ，，0，，，，， 整数集合：{             …}； 正有理数集合：{             …}； 非负整数集合：{             …}； 负分数集合：{             …}． (2)比较下列各对数的大小（用“”或“”填空）． ①________  ②________ 【答案】(1)，0，；，， ，；0，； (2)①；② 【分析】本题主要考查了有理数分类，有理数大小的比较，有理数乘方运算，熟练掌握相关的定义和运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的分类方法进行解答即可； （2）①先计算绝对值，然后再进行有理数大小比较即可；②先计算乘方，然后再进行有理数大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{，0，…}； 正有理数集合：{，， ，…}； 非负整数集合：{ 0，…}； 负分数集合：{…}． （2）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴． 6．（24-25七年级上·江西赣州·期中）已知有理数、满足，请解答下列问题： (1)______，______； (2)如图，数、、在数轴上对应的点分别是、、，点是点右侧一动点，请化简式子：； (3)在（1）（2）的条件下，当时，、、三点开始在数轴上运动．点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动时间为秒，请问：的值是否随时间的变化而变化？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 【答案】(1)；30 (2)40 (3)不变，定值为10 【分析】本题考查绝对值的非负性，利用数轴化简绝对值，数轴上的动点问题，整式的加减等知识，掌握相关运算法则和知识点是解题的关键． （1）利用绝对值的非负性求解即可； （2）先判定绝对值内式子的正负，再化简并代入求值即可； （3）先把各点表示的数用代数式表示，从而求出、，从而求出，所得结果含t则与t有关，否则无关，即不随着t的变化而变化． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知：， ∴， ∴， 又∵， ； （3）解：依题意得：点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ， ， 的值是定值10，不随时间的变化而变化． 7．（2025七年级上·全国·模拟预测）已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，1，5 (2) 【分析】此题考查相反数和绝对值的应用，数轴上两点的距离等知识，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）根据平方具有非负性可得，根据最小的正整数可得，根据相反数可得； （2）根据，得，，，然后再利用绝对值的性质去绝对值合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∵a与b互为相反数， ∴， 故答案为：；1；5． （2）解：由题意可知：， ∴，，， ∴ ． 8．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“”与“”，规定：，例如，． (1)计算的值． (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． (3)若，求x的值． (4)对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“”，使得，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）原式利用题中的新定义化简； （4）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 【详解】（1）解：（1）根据题中的新定义得： ； （2）解：由在数轴上位置，可得， 则； （3）解：∵， ∴ 解得：； （4）解：∵， 故答案为：(答案不唯一)． 【经典例题二 数轴上的动点问题综合】 9．（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、5，点P为数轴上一动点 ； (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)若点P到点A的距离为6，求点P对应的数； (3)若点P到点A、点B的距离之和为10，请求出点P对应的数． 【答案】(1) (2)或5 (3)或7 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，有理数的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据题意可得点P为的中点，据此根据两点中点计算公式求解即可； （2）分点P在点A左边和点P在点A右边两种情况，根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）可求出，再分点P在上，点P在点A左边和点P在点B右边三种情况，根据点P到点A、点B的距离之和为10建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P到点A，点B的距离相等， ∴点P为的中点， ∵数轴上两点A、B对应的数分别为、5， ∴点P表示的数为； （2）解：当点P在点A左边时， ∵点P到点A的距离为6， ∴点P对应的数为； 当点P在点A右边时， ∵点P到点A的距离为6， ∴点P对应的数为； 综上所述，点P对应的数为或5； （3）解：∵数轴上两点A、B对应的数分别为、5， ∴， 当点P在上时，，不符合题意； 当点P在点A左边时，， ∴， ∴点P表示的数为； 当点P在点B右边时，， ∴， ∴点P表示的数为； 综上所述，点P表示的数为或7． 10．（24-25七年级上·全国·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 11．（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足 (1)点A表示的数为　　；点B表示的数为　　； (2)若数轴上有两动点M、N，点M以2个单位/秒从A向右运动，同时点N以3个单位/秒从点B向左运动，问经过几秒M，N相遇？ (3)在（2）的条件下，动点M、N出发经过多少秒，能使？ 【答案】(1)；8 (2)2秒 (3)或秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，偶次方及绝对值的非负性，理解题意是解题关键． （1）根据偶次方及绝对值的非负数可求解a、b的值，即可求得A、B表示的数； （2）由（1）可求解A、B之间的距离，再设经过x秒M、N相遇，列方程计算可求解； （3）由题意可知，，，设动点M、N出发经过y秒，能使，分两种情况讨论：①、相遇前；②、相遇后，分别列方程计算即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点A表示的数为；点B表示的数为8， 故答案为：，8； （2）解：点A表示的数为；点B表示的数为8， ， 设经过x秒M、N相遇， 则， 解得：， 故经过2秒M、N相遇； （3）解：由题意可知，，， 设动点M、N出发经过y秒，能使， ①、相遇前，此时， 则， 解得：； ②、相遇后，此时 则， 解得：， 综上可知，动点M、N出发经过或秒，能使． 12．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 【答案】(1)； (2)或； (3)秒或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、解一元一次方程．解决本题的关键是用含的代数式表示出点的位置，再根据两点之间的距离公式列方程． 根据绝对值的非负性和平方的非负性可得：，，解方程即可求出、的值； 点到点的距离是点到点的距离的倍，列方程求解，本题分为当点在点与点之间时，当点在点的右侧时两种情况． 根据点和之间的距离和点运动的速度可以求出点运动到点的时间，根据点与点相距个单位，可以列方程求解，本题分为当点在点右侧时和当点在点左侧时，两种情况． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离为； （2）解：设点所表示的数为， 当点在点与点之间时， 根据题意可得：， 解得：； 当点在点的右侧时， 根据题意可得：， 解得：； 点表示的数是或； （3）解：点运动到点的时间是（秒）． 经过秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当点在点右侧时，，解得； 当点在点左侧时，，解得； 所以当为秒或秒时，点与点相距1个单位长度． 13．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足； (1)点A表示的数为__________；点B表示的数为__________； (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数__________； (3)动点P，Q分别从B，A两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 【答案】(1)；6 (2)或14 (3)当或时，P，Q之间的距离为4． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，非负数的性质，一元一次方程的应用： （1）根据非负数的性质得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案； （2）设点C表示的数为x，则，再由建立方程求解即可； （3）由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P和点Q之间的距离为4，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为6， 故答案为：；6； （2）解：设点C表示的数为x，则， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴点C表示的数为或14， 故答案为：或14； （3）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P和点Q之间的距离为4， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴当或时，P，Q之间的距离为4． 14．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或-4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 15．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）已知点，，，在数轴上，（点在点的左侧），（点在点的左侧）．点，分别是线段，上的动点，记，两点之间的最小距离为，最大距离为． (1)如图1，若点表示的数为，点表示的数为1，求，的值． (2)如图2，若点表示的数为1，，求出此时点所表示的数． (3)若，请直接写出的值（可用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)表示的数为或7 (3)或0 【分析】本题考查了一元一次方程应用以及数轴上动点问题．根据题意得出相等关系是解答本题的关键． （1）根据数轴直接计算结果即可． （2）分情况讨论，在的左侧，与线段有重合部分，在的右侧，列出方程计算结果即可． （3）分情况讨论，线段与无重合部分和线段与有重合部分两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：①如图1，在的左侧，设表示的数为，则表示的数为， 由题意可得：，解得，此时表示的数为． ②如图2， 当线段与线段有重合部分则，不符合题意． ③如图3， 在的右侧，设表示的数为，则表示的数为， 由题意可得：，解得，此时表示的数为7． 表示的数为或7． （3）解：线段与无重合部分时； 线段与有重合部分时， 或0． 16．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【问题背景】表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离． 【构建联系】（1）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，则数轴上点表示的数______； （2）若，则______． 【深入探究】 （3）在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2． 【答案】（1）；（2）6或10；（3）秒或2秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴动点问题以及绝对值， （1）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出点表示的数； （2）利用绝对值的性质求解即可； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上点表示的数为：； （2）， 或， 或； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为， 依题意得：， 即或， 解得：或． ∴当为秒或2秒时，，两点之间的距离为2． 【经典例题三 绝对值的几何意义综合】 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上，如果点分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是5，那么这两个点所表示的数分别是多少？ 【答案】这两个点所表示的数分别是和 【分析】本题考查相反数，绝对值，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． 设点表示的数为a，则表示的数为，根据这两个点的距离是5，得到，解得或，则这两个点所表示的数分别是和，即可解答． 【详解】解：设点表示的数为a，由分别表示互为相反数的两个数，则表示的数为， ∵这两个点的距离是5， ∴ 即， ∴或， 解得或． ∴表示的数为，表示的数为；或者表示的数为，表示的数为． 答：这两个点所表示的数分别是和． 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）画一条数轴，并在数轴上表示：2.5和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于4的数，最大的负整数．并把这些数按由小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查的是相反数，倒数，绝对值，在数轴上表示有理数，有理数的大小比较，先求解相反数，倒数，绝对值，再表示各数，最后利用数轴比较大小即可． 【详解】解：∵2.5的相反数为，的倒数为，绝对值等于4的数为，最大的负整数为． 如图所示． ∴ 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 20．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，请回答下列问题： (1)比大小：___________ ； (2)用“”把a，b，， 连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的大小．绝对值的意义等知识，准确识图，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴可知，进而可得出答案． （2）根据数轴可知，进而可得出答案． 【详解】（1）解：根据数轴可知：， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可知：， ∴． 21．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）某一出租车一天下午以岳阳楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离岳阳楼出发点多远？在岳阳楼的什么方向？ (2)若出租车每千米耗油升，求行驶过程总共消耗多少升油？ 【答案】(1)出租车离鼓楼出发点1千米，在鼓楼的西边 (2)升 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法应用，绝对值的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据向东走为正，向西走为负，列式，即可作答． （2）根据绝对值的意义，得出，则（升），即可作答． 【详解】（1）解：（千米）， 那么将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点1千米，在鼓楼的西边； （2）解： （千米）， 则（升）， ∴共消耗33.5升油． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料：我们知道，若点在数轴上分别表示有理数（如下图所示），两点间的距离表示为，则，所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若点表示，点表示1，则________． (2)若点表示，则点表示的数是________． (3)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)2或 (3)或 【分析】本题考查数轴与有理数，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离为4，分两种情况进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的意义，得到数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离为4，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：3 （2）由题意，点表示的数是或； 故答案为：2或； （3）表示数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离为4， ∴或    ； 故或． 23．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图一部分，某天，小王参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)A站是西单站 (2)小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是48千米 【分析】本题考查了正负数的应用，绝对值的意义，有理数的乘法运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正负数的意义，进行列式计算，即可作答． （2）先算出这次小王志愿服务期间乘坐地铁的行进的站数，再与相乘，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ A站是西单站； （2）解：依题意． ∴（千米）， ∴ 小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是48千米． 24．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【经典例题四 正负数的实际应用】 25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）每袋大米的标准质量为50千克，5袋大米称重记录（超过标准质量记为正，不足记为负，单位：千克）如下：，则这5袋大米的总质量是多少千克？ 【答案】250.2千克 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，掌握正负数相加减的计算方法是解答此题的关键．由题意可知每袋大米的标准重量为50千克，超过标准重量的记为正数，不足的记为负数，然后相加计算即可． 【详解】解：（千克）． （千克）． 答：这5袋大米的总质量是250.2千克． 26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下面是几个家庭五月份用电支出与上月用电支出相比的变化情况： 赵力家减少      肖刚家增加 王辉家减少      李玉家增加 田红家增加       陈佳家减少 分别用带“”或“”的数写出这六家五月份用电支出比上月用电支出的增长率． 【答案】赵力家，肖刚家，王辉家，李玉家，田红家，陈佳家 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数表示增加，负数表示减小即可，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：这六家五月份用电支出比上月用电支出的增长率分别为：赵力家，肖刚家，王辉家，李玉家，田红家，陈佳家． 27．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）一只蚂蚁从某点P出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为主，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程一次为（单位：厘米）：，，，，，， (1)蚂蚁共爬行了多少厘米？ (2)若蚂蚁共用了9分钟完成上面的路程，蚂蚁的速度是多少？ 【答案】(1)蚂蚁共爬行了54厘米 (2)蚂蚁每分钟走 6 厘米 【分析】本题主要考查绝对值的性质以及有理数的加法和除法． （1） 把所有的路程数值取绝对值相加即是蚂蚁爬行的总路程； （2） 根据“速度路程时间”，即可求解． 【详解】（1）解： ， 故蚂蚁共爬行了54厘米． （2）解：因为蚂蚁共用了 9 分钟走完 54 厘米， 所以蚂蚁的速度为， 答：蚂蚁每分钟走 6 厘米． 28．（24-25七年级上·全国·期中）某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【答案】(1)见解析 (2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知零件的标准直径是，某次抽查了6件样品，抽查时以标准直径为基准，用正负数表示每件样品测得的数值与标准直径的差（单位：），抽查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 6 差 (1)哪件样品的大小最符合要求？你认为的最符合是根据什么判断的？ (2)如果规定差的绝对值在0.18之内是正品，那么哪几件样品是正品？ 【答案】(1)第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的 (2)第1，2，4，6件样品是正品 【分析】本题考查了正数与负数的绝对值，掌握绝对值的求法，理解题意是解决本题的关键. （1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果不大于0.18的样品为正品. 【详解】（1）由表格可知，的绝对值最小，所以第4件样品的大小最符合要求．是根据绝对值越小越接近标准直径而判断的． （2）因为； ； ； ； ； ， 所以第1，2，4，6件样品是正品． 30．（24-25七年级上·广东汕尾·期中）今抽查10袋精盐，每袋精盐的标准质量是，超过部分记为正，统计数据如下表： 每袋超过或不足标准的克数 0 精盐袋数 2 3 3 1 1 (1)这10袋精盐的平均质量比标准质量多或少多少克？ (2)这10袋精盐一共有多少克？ 【答案】(1)这10袋精盐的平均质量与标准质量相等； (2)． 【分析】本题考查了正数与负数，解题的关键是熟练的掌握正数与负数相关知识点； （1）根据正数表示超出100克的重量，负数表示比100克差的重量，计算出10袋盐一共超出标准重量的重量； （2）根据（1）可得10袋盐一共超出标准重量的重量，然后用加上这个数即可． 【详解】（1）解：． 答：这10袋精盐的平均质量与标准质量相等； （2）解：． 答：这10袋精盐一共有． 31．（24-25七年级上·全国·期末）2024年国庆节期间，各地风景区游人如织，某风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的游客人数为 万人； (2)10月1日至7日，游客人数最多的是10月 日，达到 万人；游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该景区在10月1日至10月7日这7天内一共接待了多少游客？ 【答案】(1) (2)2，；7，； (3)万 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义求得每天游客的实际人数后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得（万人）， 即10月3日的游客人数为万人， 故答案为：； （2）解：10月1日的游客人数：（万人）； 10月2日的游客人数：（万人）； 10月3日的游客人数；（万人）； 10月4日的游客人数：（万人）； 10月5日的游客人数：（万人）； 10月6日的游客人数：（万人）； 10月7日的游客人数：（万人）； 10月1日至7日，游客人数最多的是10月2日，达到万人；游客人数最少的是10月7日，达到万人， 故答案为：2，；7，； （3）解：由题意得（万人）， 一共接待了万名游客． 32．（24-25七年级上·河南商丘·期末）扫地机器人是能自动完成地板清洁工作的智能家电，它碰到墙壁或者其他障碍物会自动转弯，并依据设定而走不同的路线，有规划的清扫区域．如图，用点在网格上的运动来模拟扫地机器人的工作路径．它从点A出发，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负，例如：从点A到点B记为，从点B到点A记为，其中第一个数表示左右方向的移动情况，第二个数表示上下方向的移动情况． (1)从点D到点C记为______； (2)若扫地机器人从点A出发，行走路线依次为，请在图中标出扫地机器人停止运动时的位置点E； (3)在（2）的条件下，若每小格的边长表示1米，则扫地机器人在此次运动过程中共走了多少米？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)16米 【分析】本题考查了正负数在生活中的应用，有理数的混合运算的应用； （1）根据题干向右为正，向上为正，则点D到点C为先向左格再向上格； （2）按照正为向右，负为向左，正为向上，负为向下，计算出最终在左右方向上和上下方向上移动的格数，即可解答； （3）把所有的绝对值相加就是总路线． 【详解】（1）解：根据题意：从点D到点C记为； （2）解：，， 则扫地机器人最终向右移动2格，向上移动2格， 如图，点即为所求． （3）解：（米）． 答：扫地机器人在此次运动过程中共走了16米． 【经典例题五 有理数大小比较的实际应用】 33．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如图，数轴，求大于且小于4的所有整数的和． 【答案】3 【分析】根据题意找出大于且小于的所有整数为-2、-1、0、1、2、3，然后根据有理数加法进行求和即可． 【详解】解：由题意得：大于且小于的所有整数为-2、-1、0、1、2、3， 它们的和为：． 【点睛】本题主要考查根据有理数的范围选出整数，有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则，根据有理数范围准确选出整数是解题的关键． 34．（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知A市今天温度为3.8℃，B市今天温度为℃，C市今天温度为3℃． (1)哪个地方温度最高?哪个地方温度最低? (2)最高的地方比最低的地方温度高多少? 【答案】(1)A市温度最高，B市温度最低 (2)5.8℃ 【分析】（1）正数大于0，负数小于0，进而可作判断； （2）利用有理数的减法列式计算即可． 【详解】（1）因为， 所以A市温度最高，B市温度最低； （2）； 即最高的地方比最低的地方温度高5.8℃． 【点睛】本题考查了有理数减法的应用，正确理解题意、列出算式是关键． 35．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）在一次班会上，主持人小宇和小莉进行小游戏，游戏规则如下：每人每次抽4张卡片，如果抽到的形状为“”，那么加上卡片上的数字；如果抽到的形状为“”，那么减去卡片上的数字．最终计算结果小的为大家表演节目．小宇和小莉抽取的卡片如图所示，本次游戏结束后由谁给大家表演节目？    【答案】小宇给大家表演节目 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的实际应用，有理数比较大小，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 小宇： ； 小莉： ； 因为， 所以由小宇给大家表演节目． 36．（24-25七年级上·陕西西安·期中）希望小学要买60个足球，现有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球单价都是30元，但各个商店的优惠办法不同： 甲店：全部打八折销售； 乙店：当购买足球不超过20个时，不打折；购买超过20个时，超过部分打六折； 丙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送； 为了节省费用，希望小学应到哪个商店购买合算？为什么？ 【答案】为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算，理由见解析 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出三家商店需要花费的情况，然后比较大小即可． 【详解】解：为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 理由：由题意可得， 在甲店购买需要花费为：30×60×0.8＝1440（元）， 在乙店购买需要花费为：30×20+30×（60﹣20）×0.6＝1320（元）， 在丙店购买需要花费为：30×50＝1500（元）， ∵1320＜1440＜1500， ∴为了节省费用，希望小学应到乙商店购买合算． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，解答本题的关键是明确题意，求出三个商店的花费情况． 37．（24-25七年级上·全国·单元测试）下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温． 城市 长春 南京 武汉 西安 宁波 最高气温/℃ －5 2 －3 －1 4 (1)在数轴上表示出这些城市的最高气温； (2)用“<”连接这些城市的最高气温． 【答案】(1)如图见解析；(2)－5<－3<－1<2<4. 【详解】分析：（1）画出数轴，然后根据数轴表示数的方法画出-5、2、-3、-1、4所表示的点； （2）根据数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小即可得到它们的大小关系． 详解：（1）如图， （2）-5＜-3＜-1＜2＜4． 点睛：本题考查了数轴：数轴三要素（正方向、原点和单位长度）；数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小． 38．（24-25七年级上·甘肃嘉峪关·期中）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果每套儿童服装以56元的价格作为标准卖出，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下： ，，，，，0，，． (1)儿童服装售价最高为多少元？ (2)当他卖完这种8套儿童服装后是盈利还是亏损？ 【答案】(1)元 (2)当他卖完这种8套儿童服装后是盈利 【分析】（1）用服装价格记录中最大的数加上56即可得到答案； （2）先把8件服装价格记录相加，再加上8件服装标准价格的总和，最后与400进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：儿童服装售价最高为元； （2）解： 元， ∵， ∴当他卖完这种8套儿童服装后是盈利． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数比较大小的实际应用，正确理解正负数的意义是解题的关键． 39．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期 　 　； (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)四 (2)该厂工人这一周的工资总额是14225元 【分析】（1）根据正负数的大小比较方法比较出记录中最大数即可判断； （2）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴该厂生产风筝最多的一天是星期四． 故答案为：四； （2）解：（元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是14225元． 【点睛】此题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． 40．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）在学习完有理数的加减后，婷婷和晓晨玩抽卡片游戏，她们规定：每人抽5张卡片，抽到白色卡片就加上卡片上的数，抽到灰色卡片就减去卡片上的数，将各自抽到的卡片分别计算后，结果大的为胜者．下面是她俩分别抽到的卡片，算一算，谁获胜了？ 【答案】晓晨获胜 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数比较大小，根据题意可得婷婷的计算式子为，晓晨的计算式子为，据此根据有理数的加减计算法则求出两人计算的结果，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：婷婷的计算结果为， 晓晨的计算结果为， ∵， ∴晓晨获胜． 【经典例题六 数轴上的规律探究】 41．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； （3）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ； （4）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离= ． 【答案】（1）3，3；（2）3，3；（3）4，4；（4） 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （2）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （3）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可． （4）根据上面计算的结果，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：（1）由题知， 数轴上表示2和5的两点之间的距离是：， 故答案为：3，3 （2）由题知， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：3，3 （3）由题知， 数轴上表示1和的两点之间的距离是：，． 故答案为：4，4 （4）根据以上规律可知， 数轴上表示a和b的两点之间的距离 故答案为： 42．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60，求电子跳蚤的初始位置点所表示的数． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，数轴上两点的距离计算，根据题意知每跳两次完毕后向右进1个单位，按此规律跳了100步后距出发地的距离是50个单位，且在的右侧，根据所表示的数恰是60，即可求得初始位置点所表示的数． 【详解】解：第一步从向左跳一个单位到， 第二步由向右跳2个单位到， 第三步由向左跳3个单位到， 第四步由向右跳4个单位到…， 以此类推可知，每相邻的两个跳跃过后，跳蚤向右移动1个单位， ∵， ∴当电子跳蚤落在数轴上的点位置时，一共跳跃100次，即相当于从点向右移动50个单位后到达的位置， ∵电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是60， ∴初始位置点所表示的数为． 43．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了数轴，运用数形结合和方程思想是解题的关键． （1）根据路程，速度和时间的关系求解即可； （2）根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）由表格可知，点初始时在数字处， 点A的移动速度为， 秒时的数字为， 秒时的数字为， 点B的移动速度为， 点向左移动，秒时数字为， 秒时数字为， 秒时的数字为， （2）点A的移动速度为，点B的移动速度为， 当运动时间为时，点A表示的数为，点B表示的数为， 所以之间的距离为． 44．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则a的值为　　　； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则　　　； (3)若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则的最小值为　　　． 【答案】(1)1或 (2)7 (3)14 【分析】此题考查了数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：∵点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：1或； （2）解：∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴表示点P到2和的距离和， ∵， ∴， 故答案为：7； （3）解：∵数轴上比a小2的数用b表示， ∴， ∵比a大5的数用c表示， ∴， ∴， ∵表示数轴上表示数a的点到表示数与4的点的距离之和， 当时，有最小值14， 故答案为：14． 45．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①______    ②_______；    ③_______ (2)用合理的方法计算：有理数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． (3)用简单的方法计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的加减混合运算．从题干给定的等式中得到得到小数减大数的绝对值等于大数减小数，是解题的关键． （1）根据题干给出的等式，得到小数减大数的绝对值等于大数减小数，进行化简即可； （2）首先根据a在数轴上的位置得到，得到，然后化简绝对值即可； （3）先化简，再进行计算． 【详解】（1）解：①； ②； ③； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解： ． 46．（24-25七年级上·河南漯河·期中）已知数轴上三点A、O、B对应的数分别为、0、1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x．请解决下列问题： (1)填空： ①A、B两点间的距离是 ； ②如果点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是 ； ③如果点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动了2023次时，那么x的值是 ； (2)当x为何值时，点M到点A、点B的距离之和是8？ 【答案】(1)①6；②；③ (2)或 【分析】（1）此题主要考查了数轴上两点之间的距离和一元一次方程的应用， ①根据点A和点B对应的数，即可求得两点的距离； ②根据点之间的距离列出等式，求解即可； ③根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可； （2）根据题意列出等式，因为，即M在点A、点B的左右两侧，解方程即可． 【详解】（1）解：①A、B两点间的距离， ②∵点M到点A、点B的距离相等， ∴，则，解得， ③根据题意 ． （2）根据题意得， 因为，即M在点B的右侧，，有，解得， M在点A左侧，，有，解得， 故答案为：或． 47．（24-25七年级上·河北承德·期中）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A、B、C，其中．以这条直线为基础建立数轴，设点A、B、C所表示数的和是p．    (1)如果规定向右为正方向，以为单位长度建立数轴： ①若以B为原点O，则点C表示的数是______，点A表示的数为______；若以C为原点O，则点B表示的数是______，此时______； ②若改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且，求p的值； ③发现：观察p值的变化规律发现原点每向右移动，p值______（增大或减小）______； (2)如果规定向右为正方向，若点A表示的数是，则点C表示的数是______，若折叠数轴，使点A与点C重合，则折点表示的数是______． 【答案】(1)①2，，，；②；③减小，3； (2)5；2． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，有理数的加减除法运算．根据数轴上两点之间的距离正确求出数轴上的点是解题的关键． （1）①由题意知，，若以为原点，根据点表示的数是，点表示的数为，计算求解即可；若以为原点，根据点表示的数是，点表示的数为，此时，计算求解即可； ②由题意，根据点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为，，计算求解即可； ③发现：当原点每向右移动1时，，则点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为，即，由，进行作答即可； （2）若点表示的数是，则点表示的数是，若折叠数轴，使点与点重合，则折点表示的数是，计算求解即可． 【详解】（1）解：①若以B为原点O，则点C表示的数是 2，点A表示的数为； 若以C为原点O，则点B表示的数是，此时； ②∵原点O在点C的右边，且， ∴点C表示的数是， 点B表示的数是， 点A表示的数是， ∴ ． ③当原点向右移动1时，， ∴点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为， ∴， ∵， ∴原点每向右移动1，值减小3， ∴p值的变化规律：原点每向右移动，每个数减少1，则p值减小． （2）解：∵点A表示的数是， ∴点C表示的数是． 若折叠数轴，使点A与点C重合， ∴． ∴折点表示的数是 2． 48．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_____． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是____． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示_____，B点表示_____． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为______．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)①D；②1012 (2)①；②，1013；③ 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数轴，熟练掌握折叠的性质和数轴的特征是解题的关键． （1）①利用正负数的意义和数轴的特征列出算式解答即可； ②利用正负数的意义和数轴的特征列出算式解答即可； （2）①利用折叠的性质得到折叠中间点表示的数为1，再利用数轴的特征解答即可； ②利用①中的方法解答即可； ③利用①的方法解答即可． 【详解】（1）解：①． 故答案为：D． ② ． 故答案为：1012； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合， ∴折叠中间点表示的数为， ∵， ∴． ∴若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示的点重合． 故答案为：； ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同）， ∴折叠中间点表示的数为1． ∵A、B两点经折叠后重合， ∴A点表示的数为：，B点表示的数为：． 则A点表示，B点表示1013． 故答案为：，1013； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$