精品解析：福建省石狮市中英文实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年八年级数学下学期期中测试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 若是分式，则□可以是（ ） A. B. 2025 C. 0 D. 2. 我国知名企业华为技术有限公司最新上市的系列搭载了麒麟9000s芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 甲、乙两地之间高速公路全长，比原来国道的长度减少了．假设高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，根据题意，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 9. 已知关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 10. 如图，若直线经过点，与直线交于点，且点横坐标是，那么不等式组的解集为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 请写出一个的值，使得反比例函数的图象位于第一、第三象限：________． 13. 已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为___________．（写出一个即可） 14. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为_____； 15. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 三、解答题：（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知甲、乙两人从地出发，到距离千米地，甲步行先走，过了一段时间乙骑车追赶，两人行进的路程与时间的关系如图所示，根据图中信息解答： （1）乙出发___________小时后追上甲； （2）当两人相距千米时，求的值． 21. 已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴相交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 23. 某学校为了全面落实劳动教育，开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳 动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少元，且用元购买甲种工具的数量与用元购买乙种工具的数量相等． （1）求甲、乙两种工具的单价各是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙这两种工具共件，且乙种工具的数量不少于甲种工具数量的一半．求购买这批劳动工具所需的费用最少要多少元？ 24. 定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）点的坐标是__________，的长为__________； （2）求直线的解析式； （3）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中测试卷 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 若是分式，则□可以是（ ） A. B. 2025 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了分式，根据形如，都是整式，其中中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：∵是分式， 则观察四个选项，满足条件的□是， 故选：D 2. 我国知名企业华为技术有限公司最新上市的系列搭载了麒麟9000s芯片，这个被华为称之为全球首个5纳米工艺的芯片，拥有8个全球第一，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此进行判断即可． 【详解】解：； 故选A． 3. 在平面直角坐标系中，点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点P坐标为，即横坐标为正数，纵坐标为正数，则它位于第一象限， 故选：A． 4. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了函数定义，对于一个自变量，只有唯一一个因变量与之相对应，是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：存在自变量取一个值的时候，有个值与自变量相对应，故不是的函数，故A选项不符合题意； B选项：存在自变量取一个值的时候，有个值与自变量相对应，故不是的函数，故B选项不符合题意； C选项：对于每一个自变量的值，都有个值与自变量相对应，故是的函数，故C选项符合题意； D选项：存在自变量取一个值的时候，有个值与自变量相对应，故不是的函数，故D选项不符合题意． 故选：C ． 5. 函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数自变量的大小．正确计算反比例函数自变量的值是解题的关键．分别计算、、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：A． 7. 甲、乙两地之间的高速公路全长，比原来国道的长度减少了．假设高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，根据题意，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为， 由题意得：， 故选：． 8. 已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图像获取信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差； ②乙到达地时对应的值减去乙出发时对应的值即乙追上甲所用的时间； ③根据速度路程时间求出甲的速度，由时间路程速度求出甲到达地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间路程速度求出乙到达地所用时间，从而求出乙到达地时对应的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点； ④由③可知点的横坐标，根据路程速度时间求出点时甲距地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即的纵坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：乙每分钟比甲多走（米， ①正确，符合题意； 乙用（分钟）追上了甲， ②不正确，不符合题意； 甲的速度为（米分钟），则甲到达地所用时间为（分钟）， 乙的速度为（米分钟），则乙到达地所用时间为（分钟）， 当时乙到达地， 乙比甲早（分钟）到达终点， ③正确，符合题意； 由③可知，点的横坐标为23， 甲出发后23分钟距地（米，则当时，甲、乙两人之间的距离为（米， 点的坐标为， ④正确，符合题意． 综上，①③④正确． 故选：C． 9. 已知关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， ∴当，即时，方程无解； 当时，由分式方程无解，可得 ，即， 把代入， 解得：， 综上，m的值为1或4． 故选：D． 10. 如图，若直线经过点，与直线交于点，且点的横坐标是，那么不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的关系，根据一次函数的图象即可求解，即在点之间的函数图象满足题意，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：根据图象可知，不等式组的解集为：， 故选：． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分式有意义，得出，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴当时分式有意义， 即． 故答案为：． 12. 请写出一个的值，使得反比例函数的图象位于第一、第三象限：________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 故答案为：． 13. 已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为___________．（写出一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 和 是最简分式， 故答案为：或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据点A的坐标得到，，再结合旋转的性质求解即可． 【详解】解：在x轴上，，点A的坐标为， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，即， 故答案为：． 15. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得点，设，求出，然后通过题意当时，，从而得出整个冷却塔高度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴点， 设， ∴， ∴， ∵上口宽， ∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 三、解答题：（本题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算，先计算算术平方根、负整数指数幂、零指数幂，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】分式方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式的加减，再计算分式的乘除，即可化简，最后将代入化简结果并计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 当时，原式． 20. 已知甲、乙两人从地出发，到距离千米的地，甲步行先走，过了一段时间乙骑车追赶，两人行进的路程与时间的关系如图所示，根据图中信息解答： （1）乙出发___________小时后追上甲； （2）当两人相距千米时，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为或或或． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象即可求解； （）先求出，，则甲到达地时，，得；乙到达地时，，得；然后分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知，乙出发小时后追上甲， 故答案为：； 小问2详解】 解：设，， 根据图象可得，， 解得：，， ∴，， 当甲到达地时，，得；当乙到达地时，，得； 则当时， ， 解得：，符合题意； 当时， ， 解得：，符合题意； 当时， ， 解得：，符合题意； 当时， ， 解得：，符合题意； 综上可得：的值为或或或． 21. 已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 【答案】与之间的函数表达式为． 【解析】 【分析】本题考查了求函数的解析式，设，，则，然后当时，；当时，代入得出方程组可得，最后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴与之间的函数表达式为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴相交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由（）得，一次函数的表达式为，求出，故有，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一比例函数的图象过，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 由（）得，一次函数的表达式为， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴ ． 23. 某学校为了全面落实劳动教育，开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳 动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少元，且用元购买甲种工具的数量与用元购买乙种工具的数量相等． （1）求甲、乙两种工具的单价各是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙这两种工具共件，且乙种工具的数量不少于甲种工具数量的一半．求购买这批劳动工具所需的费用最少要多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种劳动工具的单价分别是元和元 （2）购买这批劳动工具所需的费用最少要元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是()元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可； （2）设该校计划购买甲种工具件，则购买乙种工具()件，所需总费用为元，依题意得，，依题意得：，可求，由，可知随的增大而减小，则当时，有最小值，最小值为元． 【小问1详解】 解：设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是()元， 依题意得，， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解， 当时，， 答：甲、乙两种劳动工具的单价分别是元和元； 【小问2详解】 解：设该校计划购买甲种工具件，则购买乙种工具()件，所需总费用为元， 依题意得，， 依题意得：， 解得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为元， ∴购买这批劳动工具所需的费用最少要元． 24. 定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】（1）A与B互为“和整分式”，“和整数值”. （2）①，②1 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； 【小问2详解】 解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）点的坐标是__________，的长为__________； （2）求直线的解析式； （3）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）直线的解析式为； （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）直接利用直线求得点和点坐标，则可得到，的长，然后依据勾股定理可求得的长； （）由折叠的性质可得到，，利用可得的坐标，然后依据勾股定理可得的坐标，再利用待定系数法即可求解； （）分三种情况：若，，若，，若，，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【小问1详解】 解： 令得：， ∴， ∴， 令得，解得：， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，； 小问2详解】 解：由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 若，， 如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴此时点的坐标为； 若，， 如图，过点作轴于点， 同理可得，此时点的坐标为； 若，， 如图，过点作轴于点，轴于点，则 则 ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴，， 设点的坐标为，则 ∵， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$