精品解析：2025年陕西省西安工业大学附属中学丘成桐少年班数学选拔试题

2025年西工大附中丘成桐少年班数学选拔试题 一、选择题 1. 下列计算结果最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分数的加减和乘除运算．根据分数的加减和乘除运算法则计算即可判断． 【详解】解：∵，； ， ， ∴计算结果最大的只能D选项， 故选：D． 2. 下列四个相同的玻璃量杯都装了一些水，其中有一个量杯中的水与其他量杯中的水体积不一样，那么这个不一样的量杯是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆柱容积问题，设量杯底面积为S，相邻刻度间距为1，先逐项计算出量杯平放时液面的高度，再计算出水的体积，找出与另外三个不一样的选项即可． 【详解】解：设量杯底面积为S，相邻刻度间距为1， A．液面左侧高度为8，右侧高度为8，则体积为； B．液面左侧高度为7，右侧高度为8，则量杯平放时液面高度为，体积为； C．液面左侧高度为9，右侧高度为7，则量杯平放时液面高度为，体积为； D．液面左侧高度为5，右侧高度为11，则量杯平放时液面高度为，体积为； 综上可知，不一样的量杯是选项B中的量杯， 故选B． 3. 某校举办中华传统文化国学知识竞赛，如果六（1）班每个男生都多得3分，那么全班的平均分就会增加分，六（1）班女生的人数占全班的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 由六（1）班学生总数为单位“1”，设女生为，则男生为，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设女生为，则男生为， 由题意可得：， 解得：， 所以六（1）班女生的人数占全班的． 故选C． 4. 天干地支纪年法是中华传统文化的瑰宝，有十个天干与十二个地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 将天干和地支依次组合，各自循环，如甲子，乙丑，丙寅……以此来表示不同的年份．2025年为乙巳年，那么中华人民共和国成立的年份为（ ） A. 辛亥 B. 辛酉 C. 丁卯 D. 己丑 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据天干10年一循环，地支12年一循环，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：天干10年一循环，地支12年一循环， ∵中华人民共和国成立的年份为1949年，今年为2025年， ∴，， 从乙巳分别向前倒推6位和4位， ∴1949对应的天干为己，对应的地支为丑， ∴中华人民共和国成立的年份为己丑年； 故选D． 5. 贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，具备空间想象能力是解决问题的关键．根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置解答即可． 【详解】解：根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置，B选项符合题意． 故选：B． 二、填空题 6. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查混合运算，掌握算理是解决问题的关键．先算括号里的，然后按照先乘除后加减计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：10． 7. 有一张三角形纸片，其中．按如图所示的两种方式折叠，记不重叠部分的面积分别为，若，则三角形纸片的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积与底和高的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由折叠可知，则与的面积比可求，同理与的面积比可求，再由可求得的面积． 【详解】解：由第一种折叠方式可知，， ， ， ， 同理，由第二种折叠方式可知， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8. 小凡买了m瓶矿泉水，小美买了n瓶饮料，两人花的钱一样，且．若买m瓶饮料需要75元，买n瓶矿泉水需要27元，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查方程的应用，理解题意找到等量关系是解决问题的关键．先设出矿泉水和饮料的单价，利用已知条件两人花的钱数一样，买m瓶饮料需要75元，买n瓶矿泉水需要27元，找到未知数之间的关系进行消元，再利用解方程，进而可求解题目． 【详解】解：设矿泉水和饮料的单价分别为x元，y元， ∵买了m瓶矿泉水，小美买了n瓶饮料，两人花的钱一样， ∴ ，① ∵买m瓶饮料需要75元， ∴ ，② ∵买n瓶矿泉水需要27元， ∴，③ 将①代入③得，再将②代入得， 化简得，即， 又∵， ∴， ∴． 9. 如图①是一种多位数乘法的运算方式，由此可计算．按这种方式进行一个两位数与三位数的乘法得到图②（不完整），那么图②中的两位数与三位数的和最大为________． 【答案】930 【解析】 【分析】本题主要考查了表示一个多位数，先确定三位数中最大的百位数字，再结合数字乘积等于对应数字得出其它数字，然后比较得出答案． 【详解】解：当三位数的百位数字是8，两位数的十位数字是3， 当三位数的十位数字是9，两位数的个位数字是4， 三位数的个位数字是6符合题意， 此时三位数是896，两位数是34， 两位数与三位数的和为． 三位数中百位数字最大只能是8，符合题意的百位数字还可以是6，其结果都不如上述结果大，所以其它情况不符合题意． 故答案为：930． 10. 如图，小华做了一个圆锥模型，他想由A点出发沿侧面缠绕一圈红丝带回到A点．若底面直径，母线，则所需丝带最短为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面展开图，圆锥的相关计算，掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：圆锥的侧面展开成一个扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，半径等于圆锥的母线长度． ∵圆锥底面直径， ∴底面半径， ∴底面周长 ， 则扇形弧长等于圆锥底面周长为， 设扇形的圆心角为，且扇形半径为圆锥母线长 则 得， ，且， 为等边三角形， ， ∵要由A点出发沿侧面缠绕一圈红丝带回到A点， ∴最短路径为． 故答案为：． 11. 小明从共个数字中选择6个不同的数分别填入下面的方框中，使其计算的结果恰好为，则共有________种不同的填法． 【答案】144 【解析】 【详解】解：， 根据题目要求，1和7必须作为单独的数字，需由四个不同数字(不含1和7)的和构成， 0，2，3， 8或0，2，5，6或0，3，4，6， 每组的四个数有24种不同的排列方式，且 1和7可交换位置， ∴每种数对应填法数为种， 三组数共有种填法． 故答案为：144． 12. 长方体容器中已按如图方式置放了一些棱长为的正方体，如果再用若干个棱长为或棱长为的正方体恰好填满整个长方体容器，那么还需要这样的正方体至少____个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查长方体，立方体体积，具备空间想象能力是解决问题的关键．先计算出空余的体积，然后计算最多放几个棱长为的正方体，剩余用棱长为的小正方体补全即可． 【详解】解：长方体长、宽、高分别为，，， 空余体积为：， 棱长为的正方体最多放：个， 棱长为的小正方体需：个， ∴最少共需：个． 故答案为：． 13. 若．其中为自然数，且，那么满足条件的一共有____组． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分数的通分，根据的因数有：，，，，拆分计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵的因数有：，，，，，且， ∴，则； ，则； ，则； ，则； 满足条件的一共有4组， 故答案为4． 14. 一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”．一个“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为________． 【答案】8474 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式表示数， 先设千位数是a，十位数是b，则百位数是，个位数是，则，根据题意，得，再根据能被7整除，设，可得，接下来结合题意讨论k只能取奇数，且要保证a是正整数，则是的正因数，即可得出k的取值范围，最后结合定义得出答案. 【详解】解：设千位数是a，十位数是b，则百位数是，个位数是，则，根据题意，得， 由能被7整除，设， 则， ∴. ∵，且是奇数， ∴最小只能取7，最大只能取19，一共有7个奇数. 当k取偶数时，为偶数，而不可能是整数，从而a不是整数， 所以k只能取奇数； 要保证a是正整数，则是的正因数，因而最大是19，最小是1， 即， 解得. 由k为正整数，且不是偶数，只能或3， 当时，， 当时，，此时M为6241； 当时，，此时M为8474； 当时，， 则，得， 此时，M为4085， ∴满足条件的M的最大值为8474. 故答案为：8474. 15. 七年级（1）班要从五个候选人中选一名班长，全班50人每人写一张选票，要求每张选票最少写一个候选人，最多写三个不同的候选人．选要收齐后，开始唱票统计，下表为统计过程中的一个结果（未统计完），继续统计完剩余选票．若候选人A能被选为班长，则他至少还需得票_____张． 候选人 结果 A 28 B 17 C 24 D 23 E 21 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的应用， 先求出统计票数，即可得出最多的总票数，再根据最不利情况列出不等式，求出解集可得答案. 【详解】解：已统计的票数为（张）， 当每人写三个不同的候选人时，最多的票数为（张）， 此时剩余（张）， 与A最接近的是C，设A需要x张票，从最不利情况，得 ， 解得， x取整数17， 所以他至少需得票17张. 综合题（二） 16. 阅读材料，回答后面的问题． 我们知道，等边三角形是一个轴对称图形，且每一个角都是，于是，将如图所示的等边三角形纸片沿对折，可得两个直角三角形．由上，所对的直角边与斜边存在一个数量关系． （1）如下图，在直角三角形中，，斜边，则三角形的面积为________． （2）窗棂是中国传统建筑中重要的构成要素，成为建筑的审美中心．在如图①的窗棂中，取出其中一部分如图②所示．图②为一个正方形，阴影部分为四个完全相同的等边三角形，若等边三角形的边长为16厘米，则图②中空白部分的面积为________平方厘米． 【答案】（1）2 （2）512 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，直角三角形中所对直角边是斜边的一半，等腰直角三角形，掌握相关知识进行图形构造是解决问题的关键． （1）将沿AC翻折，构造顶角为的等腰三角形，将的角构造在直角三角形中，即可求解． （2）将空白图形分割成8个含的直角三角形和4个等腰直角三角形，利用（1）的结论求出含的直角三角形面积，再求出等腰直角三角形面积，相加即可． 【小问1详解】 解：将沿AC翻折，过D做交于E， ，斜边， ，， 在直角三角形中，， ， ， 故答案为：2； 【小问2详解】 如图，空白部分分为8个含的直角三角形和4个等腰直角三角形， 由（1）得含的直角三角形面积平方厘米， 8个面积为：平方厘米， 等腰直角三角形面积为：平方厘米， 4个面积为：平方厘米， 则空白部分总面积为：平方厘米． 故答案为：512． 综合题（三） 17. 阅读材料，回答后面的问题． 年1月，发布新一代推理大模型，以极致的性价比在全球竞技场投下“技术普惠”的深水炸弹．2月，宇树科技的人形机器人登上了蛇年春晚，出圈并引发轰动．算法创新再次成为新的突破点．某校信息兴趣小组利用信息技术以《设计自己的运算程序》开展有关算法的实践活动： 对于关于的方程．其中．对x的系数k作如下变化：取得到方程式，称为对方程A进行了一次“和倒变化”；取得到方程，称为对方程A进行了二次“和倒变化”．……在变化过程中，，其中n为正整数． （1）若方程A进行三次“和倒变化”后得到方程等的一组解为，则k的值为________； （2）若为整数，则的值为________． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组，设参法，新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由规律写出，再把代入求解即可； （2）找到规律表示出，令其为，则，由为整数，求出值，进而题目可解． 【小问1详解】 解：， ， 则， 三次“和倒变化”后，系数， 将代入，得： ， 解得：． 故答案为： 【小问2详解】 ， ， ， …… 则， ， ， ， ， ， 若为整数， 则为整数，令其为， 则， 则， ， 即， 则， ∵为整数， ， 则． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年西工大附中丘成桐少年班数学选拔试题 一、选择题 1. 下列计算结果最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个相同的玻璃量杯都装了一些水，其中有一个量杯中的水与其他量杯中的水体积不一样，那么这个不一样的量杯是（ ） A. B. C. D. 3. 某校举办中华传统文化国学知识竞赛，如果六（1）班每个男生都多得3分，那么全班的平均分就会增加分，六（1）班女生的人数占全班的（ ） A. B. C. D. 4. 天干地支纪年法是中华传统文化的瑰宝，有十个天干与十二个地支，如下表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 将天干和地支依次组合，各自循环，如甲子，乙丑，丙寅……以此来表示不同的年份．2025年为乙巳年，那么中华人民共和国成立的年份为（ ） A. 辛亥 B. 辛酉 C. 丁卯 D. 己丑 5. 贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 6. 计算：________． 7. 有一张三角形纸片，其中．按如图所示的两种方式折叠，记不重叠部分的面积分别为，若，则三角形纸片的面积为________． 8. 小凡买了m瓶矿泉水，小美买了n瓶饮料，两人花的钱一样，且．若买m瓶饮料需要75元，买n瓶矿泉水需要27元，则的值为________． 9. 如图①是一种多位数乘法的运算方式，由此可计算．按这种方式进行一个两位数与三位数的乘法得到图②（不完整），那么图②中的两位数与三位数的和最大为________． 10. 如图，小华做了一个圆锥模型，他想由A点出发沿侧面缠绕一圈红丝带回到A点．若底面直径，母线，则所需丝带最短为________． 11. 小明从共个数字中选择6个不同的数分别填入下面的方框中，使其计算的结果恰好为，则共有________种不同的填法． 12. 长方体容器中已按如图方式置放了一些棱长为的正方体，如果再用若干个棱长为或棱长为的正方体恰好填满整个长方体容器，那么还需要这样的正方体至少____个． 13. 若．其中为自然数，且，那么满足条件的一共有____组． 14. 一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”．一个“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为________． 15. 七年级（1）班要从五个候选人中选一名班长，全班50人每人写一张选票，要求每张选票最少写一个候选人，最多写三个不同的候选人．选要收齐后，开始唱票统计，下表为统计过程中的一个结果（未统计完），继续统计完剩余选票．若候选人A能被选为班长，则他至少还需得票_____张． 候选人 结果 A 28 B 17 C 24 D 23 E 21 综合题（二） 16. 阅读材料，回答后面的问题． 我们知道，等边三角形是一个轴对称图形，且每一个角都是，于是，将如图所示的等边三角形纸片沿对折，可得两个直角三角形．由上，所对的直角边与斜边存在一个数量关系． （1）如下图，在直角三角形中，，斜边，则三角形的面积为________． （2）窗棂是中国传统建筑中重要的构成要素，成为建筑的审美中心．在如图①的窗棂中，取出其中一部分如图②所示．图②为一个正方形，阴影部分为四个完全相同的等边三角形，若等边三角形的边长为16厘米，则图②中空白部分的面积为________平方厘米． 综合题（三） 17. 阅读材料，回答后面的问题． 年1月，发布新一代推理大模型，以极致的性价比在全球竞技场投下“技术普惠”的深水炸弹．2月，宇树科技的人形机器人登上了蛇年春晚，出圈并引发轰动．算法创新再次成为新的突破点．某校信息兴趣小组利用信息技术以《设计自己的运算程序》开展有关算法的实践活动： 对于关于的方程．其中．对x的系数k作如下变化：取得到方程式，称为对方程A进行了一次“和倒变化”；取得到方程，称为对方程A进行了二次“和倒变化”．……在变化过程中，，其中n为正整数． （1）若方程A进行三次“和倒变化”后得到方程等的一组解为，则k的值为________； （2）若为整数，则的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $