第一章 勾股定理（基础卷）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 勾股定理（基础卷） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（   ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25 2．在直角三角形中，若一条直角边长是，另一条直角边长是，则斜边长的平方是（   ） A． B． C． D． 3．将直角三角形的三边扩大2倍，得到的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 4．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A．B． C． D． 5．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长是（   ） A．2.5 B．5 C．7 D．13 7．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 8．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 9．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 10．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 12．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若边长为a的正方形的面积等于长为，宽为的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）． 14．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的依据是 ． 15．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 16．如图，在中，，平分，、分别是、上的动点．若，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（8分）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 18．（10分）在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 19．（10分）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 20．（10分）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 21．（12分）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 22．（12分）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 23．（12分）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知． (1)求公路的长度． (2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 24．（12分）如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 25．（12分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第一章 勾股定理（基础卷） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（   ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故不是勾股数，符合题意； B、，故是勾股数，不符合题意； C、，故是勾股数，不符合题意； D、，故是勾股数，不符合题意； 故选：A． 2．在直角三角形中，若一条直角边长是，另一条直角边长是，则斜边长的平方是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长的平方， 故选：． 3．将直角三角形的三边扩大2倍，得到的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键； 设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足，根据勾股定理逆定理可判定将直角三角形的三边扩大2倍后得到的三角形是直角三角形． 【详解】设直角三角形的三边长为a，b，c，且满足， 将该直角三角形的三边扩大2倍，三边长变为，，， ，， ， 将直角三角形的三边扩大2倍后得到的三角形是直角三角形． 故选：B． 4．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 5．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 6．已知，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长是（   ） A．2.5 B．5 C．7 D．13 【答案】D 【分析】两个非负的数相加为零，它们均为零，求出，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】由题意知，， 解得，， 在直角三角形中，由勾股定理知，， ， ∴斜边长为13， 故选：D． 7．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 8．“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（    ） A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想是数形结合思想即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 9．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；在中，利用勾股定理，求出，在中，利用勾股定理求出，再求和即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴在中，， 即， ∵， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∴两个书柜之间的距离为2.2米； 故选：B． 10．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高，广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键． 设门的高为尺，则宽为尺，对角线长为尺，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺， 由题意知，对角线长为尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 12．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理． 根据图形分析出最长、最短时的位置，分别求出的长，从而可得出的取值范围． 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若边长为a的正方形的面积等于长为，宽为的长方形的面积，则以a，b，c为三边长的三角形是 三角形（选填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由面积得，化简后由勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 整理得：， 三角形为直角三角形， 故答案为：直角． 14．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的依据是 ． 【答案】勾股定理的逆定理 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为，则此三角形三边的长分别为、、． ， 根据勾股定理的逆定理：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 以、、为边长的三角形是直角三角形． 故答案为：勾股定理的逆定理． 15．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形的边长为，然后，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，， ，， 同理，可得， 在中，应用勾股定理得到： ． 故答案为：． 16．如图，在中，，平分，、分别是、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上取一点，使，连接，过点B作于点H，可推出的最小值为的长，再根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴点与点E关于直线对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（8分）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 18．（10分）在中，，设，，． (1)已知，，求c； (2)已知，，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 19．（10分）如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 【详解】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 20．（10分）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 21．（10分）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 22．（12分）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 【答案】（1）①12  13  ②24  25  ③40  41  （2） 【分析】本题考查的是勾股数的概念，满足的三个正整数，称为勾股数． （1）根据勾股数的概念解答即可； （2）根据给出的几组勾股数总结规律即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴5，12，13是一组勾股数； ②∵，， ∴7，24，25是一组勾股数； ③∵，， ∴9，40，41是一组勾股数； 故答案为：12，13；24，25；40，41 （2）由（1）可知一般规律的表达方式：n，，(n为奇数，且 )． 证明：； ， ∴，即n，， (n为奇数，且 )是一组勾股数． 23．（12分）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知． (1)求公路的长度． (2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 【答案】(1) (2)（万元） 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及其应用，解题的关键在于利用勾股定理计算直角三角形的边长，通过三角形面积的不同表示方法建立等式求解未知量，最终计算所需费用，体现了数学知识在实际问题中的综合运用． （1）利用直角三角形中勾股定理求； （2）先通过与的长度差得到，再利用三角形面积的两种表示方法建立等式求出，最后计算费用． 【详解】解：（1）由题意，得， 所以由勾股定理，得，所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以修建公路的费用为（万元）． 24．（12分）如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间，线段最短 (3) 【分析】（）根据图形画出侧面展开图即可； （）根据两点之间，线段最短即可求解； （）利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，正确画出木块的侧面展开图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：依据是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：根据题意可知，侧面展开图中，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为． 25．（14分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$