第二章 实数（拔高卷）2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 实数（拔高卷） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．相传，古希腊有一个叫希伯苏斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线长的平方等于2，这个对角线的长度是以前从来没有见到过的数，它既不循环，又无穷尽，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数中是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 【详解】解：是无理数， 故选：A． 2．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，本选项符合题意； B、不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：A． 3．若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：成立， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 4．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，， ∴， 故选：D． 5．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的性质和运算法则计算即可． 【详解】解：A．，计算正确，故此选项不符合题意； B．，计算正确，故此选项不符合题意； C．，原计算错误，故此选项符合题意； D．，计算正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 7．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 8．下列结论正确的是（  ） A．是3的算术平方根 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0 D．的平方根是 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：A、 是3的算术平方根，因此选项A符合题意； B、的立方根是，因此选项B不符合题意； C、立方根等于本身的数是0或1或，因此选项C不符合题意； D、，的平方根，即8的平方根，8的平方根是，因此选项D不符合题意． 故选：A 9．若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是用表示，用表示，本题属于中等题型．将各数进行化简，然后根据实数的大小比较法则即可求出答案． 【详解】解：， 由，则， ， 由，则， ， 故选：D． 10．在中，，，为三边，则化简结果为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，二次根式化简，绝对值化简等；由三角形三边关系得，，再由二次根式的性质及绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解： ，，为三边， ，， ，， ； 故选：B． 11．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件确定，y的值，代入求值即可． 【详解】由二次根式有意义的条件，得， 解得， 当时，， ∴， 故选：C． 12．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可． 【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确． ②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误． ③：方程，x为整数且． 逐一验证： 当时，左边分别为，满足条件； 其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误． ④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即， 第三次操作时：，则； 第二次操作时：，则，其中； 第一次操作时：，则． 排除提前终止的情况： 若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除； 若，则，对应； 若，则，对应； ∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为， ∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确． 综上，正确说法为①④，共2个． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、平方根，先根据求出x的值，再求的平方根． 【详解】解： ， ， ， 的平方根是， 故答案为：． 14．若与互为相反数，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了相反数的性质，立方根，正确得出的值是解题关键． 直接利用相反数的性质得出的值，进而代入计算得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 则． 故答案为：3． 15．若一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积、二次根式的乘法和化简．根据三角形面积公式列出算式，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则 ． 【答案】3.8 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，，据此代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：3.8 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（1）计算： ①； ②已知：，求的值. （2）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： ①运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______． ②请写出正确运算过程． 【答案】（1）①②4（2）①二，计算时结果错误②见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1） ①利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可； ②将原式因式分解后代入数值计算即可； （2）①根据题干中的解题步骤进行判断即可； ②将错误的地方改正并进行正确地计算即可． 【详解】解：（1）① ； ②∵， ∴ ； （2）①由题干中的解题步骤可得运算从第二步开始出错，出现错误的原因是计算时结果错误， 故答案为：二，计算时结果错误； ②原式 18．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，解方程即可； （2）根据平方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 所以， 解得或． （2）由题意，得， 所以， 所以， 解得或． 20．先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的运算和整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．先去括号合并同类项，然后把所给字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， ． 当时， 原式， ． 21．已知a，b，c分别是的三边长，且a，b满足关系式． (1)求a，b的值． (2)若c是方程的解，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，. (2)等腰三角形，理由见解析. 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，等腰三角形的判定定理的应用，解决本题的关键是掌握二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的判定定理. （1）根据绝对值和算术平方根的非负性可得到答案. （2）根据绝对值的定义可得到c的值，进而判断出三角形的形状, 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得，． （2）解：是等腰三角形．理由如下： 由方程，解得或． 当时，，是等腰三角形； 当时，，不能构成三角形． 故是等腰三角形． 22．（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 23． 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是2，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是________，的小数部分是________，的整数部分是______，的小数部分是_______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)；；1； (2) 【分析】（1）根据算式平方根的性质可确定的整数部分，再确定的小数部分；根据夹逼法得到的整数部分，再求出的小数部分； （2）估算的整数部分和小数部分，分别求出、，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， ∴的小数部分是，即 ∵ ∴ ∴的整数部分为1， ∴的小数部分是． （2）解：∵，即 所以的整数部分是2，小数部分是， 根据题意可得为的整数部分，为的小数部分， ∴，， ∴ 24．阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3)已知正整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；② (3)， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可； （2）①根据有理化因式得到，，即可比较大小； ②仿照题意根据分母有理化的方法得到，再把所求式子裂项求解即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， ， 故答案为：，； （2）解：①，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②∵ ， ． （3）解： ， ， ， ， ，， ． 25．数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ dm； (2)由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为______； (4)若，，求代数式的值，并用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上表示对应的点．保留作图痕迹 【答案】(1) (2)， (3) (4)，见解析 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据正方形的对角线的长为，再根据数轴表示数的方法进行计算即可； （3）面积为5的正方形的边长为即可； （4）化简代入计算结果为，再在数轴上表示即可． 本题考查实数与数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：边长为1的小正方形的对角线长为， 故答案为：； （2）由题意得，点A所表示的数为，点B所表示的数为， 故答案为：，； （3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为， 故答案为：； （4），， ∴， 在数轴表示如图所示： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第二章 实数（拔高卷） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项） 1．相传，古希腊有一个叫希伯苏斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线长的平方等于2，这个对角线的长度是以前从来没有见到过的数，它既不循环，又无穷尽，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数中是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 2．下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 4．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 6．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 7．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 8．下列结论正确的是（  ） A．是3的算术平方根 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0 D．的平方根是 9．若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．在中，，，为三边，则化简结果为（　） A． B． C． D． 11．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 12．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若，则的平方根是 ． 14．若与互为相反数，则 ． 15．若一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的面积是 ． 16．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程） 17．（1）计算： ①； ②已知：，求的值. （2）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： ①运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______． ②请写出正确运算过程． 18．计算 (1)； (2) ． 19．计算： (1)． (2)． 20． 先化简再求值：，其中，． 21．已知a，b，c分别是的三边长，且a，b满足关系式． (1)求a，b的值． (2)若c是方程的解，判断的形状，并说明理由． 22．（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 23． 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是2，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是________，的小数部分是________，的整数部分是______，的小数部分是_______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 24．阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)与_____互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)①比较大小：_____（填入，，或中的一种）； ②计算下列式子的值：； (3) 已知正整数a，b满足，求a，b的值． 25．数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ dm； (2)由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为______； (4)若，，求代数式的值，并用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上表示对应的点．保留作图痕迹 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$