湖南省永州市第一中学2026届高三上学期模拟（一）数学试题

高三数学 学校 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.已知集合A={x>-},B=G<2},则A∩B=（) A.{d-1<x<2y B.-1<x<4 C.{x0<x<4 D.{0≤x<4 之设为虚数单位，若复数：，则：=() A.-3i B.-3 C.3i D.3 3.+2 的展开式中x的系数为 A.10 B.20 C.40 D.80 4.过点P(1,0)且与抛物线C:x2=y有且仅有1个公共点的直线I的条数为() A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知a,b,ceR,则“a,b,c既是等差数列又是等比数列"是“a=b=c"的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若函数f(x)有唯一零点，且f(x+1)=x2-1+a(e+e),则a=() A贵 B. C. D.1 .已知函数f()=血x+ac0sx的一个零点是雪，将函数y=f2y)的图象向左平移径个单位长度后所得 12 图象的表达式为() A. B.y=2m2+ C.y=-2cos2x D.y=2cos2x 8.设f()是定义在R上的函数，对xyeR,有fx+)-f(x-)=f(x+)f0y-1),且f(2)=-2,则 ff(2025)=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 试卷第1页，共4页 二、多选题 .y2x2 9.已知双曲线C:话卡1和C2三山其中a>0,6>0,且a*,则) A.C与G有相同的实轴 B.C与C有相同的焦距 C.C与C有相同的渐近线 D.C与C有相同的离心率 10.若△ABC的内角4，B,C所对的边分别为a,6,G,且满足b-3a+6asim4牛B=0,则下列结论正确 2 的是() A,角C一定为锐角 B.3a2+5b=3c2C.4tanA+tanC=0D.tamB的最 大值为子 11,在等腰梯形ABCD中，BC/1AD,BC=AD=4,∠A=60,E为AD中点，点O为BE的中点，将AABE 沿BE折起到△ABE的位置，使得平面ABE⊥平面BCDE,下列说法中正确的有() A.BE⊥平面AOC B.点B到平面ACD的距离为3√2 C.AB与平面4CD所成角的正弦值为 4 80 D.三棱锥A-EBC外接球表面积为 三、填空题 12.若曲线y=2tan(ox-(@>0)的一个对称中心为（匹，0），则m的最小值为 3 6 13.函数f(x)sinx|+|cosx|的最小正周期为 14.已知抛物线C:y2=2pr(p>0)的焦点为F,准线为1，过F的直线与C交于P,Q两点(P在x轴上 方)，M为PO的中点若FO=-3FP,点M到I的距离为4，则p的值为 试卷第2页，共4页 四、解答题 15.如图，正四棱锥S-ABCD,SA=2,AB=√2，P为侧棱SD上的点，且S亚=3PD. B C (I)求证：AC⊥SD: (2)求异面直线SA与CP所成角的余弦值. 16.已知数列{an}是首项为2的正项等比数列，又4，a,4-8构成等差数列. (1)求数列{a}的通项公式： 2洁数别位}满是46+a4+a鸣++aA=2a-小3+2.令C,=女求数列{G,}的前项和工 17.已知函数f(x)=e*-ax-1. (1)当a=1时，求f(x)的最小值； (2)若f(x)2x2对x∈(0，+∞)总成立，求实数a的取值范围. 试卷第3页，共4页 18.某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下 表所示。 成绩区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,10] 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）： (2)该运动员用分层抽样的方式从[50,80)的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次， 设成绩落在区间[60,70)的次数为X,求X的分布列及数学期望： (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分， 原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，己知该运动员优化动作成功的概率为p(0<p<1).在 一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时？的取值范围， 设已知双曲线C:号千(Q>b>0的右顶点到其渐近线的距离为，点2列在C上 3 (1)求C的方程： (2)过点2(2,0)的直线1交双曲线C于M,N两点. (①若1与C的渐近线交于点A,B,且业=音(O是坐标原点)，求的方程： (i)记M=1ON,若点R满足派=-RN,求点R的轨迹方程. 试卷第4页，共4页 《高三数学（一）》参考答案 题号 4 8 9 11 答案 0 0 A BC ACD 1.D【详解】由<2，可得0≤x<4,则AnB={xx)-1}n{x0≤x<4)={x0≤x<4:故选：D. 2.A【详解】2=-3-31.30+1.31+-6 1-i1-i(1-(1+2 =3i,故选：A 3.c详锅，由题可得7m=C(广（图）=G7x0中令10-3=4，则r=2所以G2=C2=40放选c 4.D【详解】如图，直线x=1与抛物线C:x2=y有且仅有1个公共点，符合题意， 将x2=y求导可得y=2x,设切点坐标为x,号)，切线斜率k=2x, 则切线方程为y-x后=2x(x-x),代入点P(1,0)可得-号=2x(1-x),解得=0或 y x。=2,可知过点P(1,0)的切线有2条，综上所述：符合题意的直线有3条故选：D 5.A【详解】当a=b=c=0时，a,b,c是等差数列，不是等比数列， 当a,b,c既是等差数列又是等比数列，则a=b=c,故“a,b,c既是等差数列又是等比数列"是 “a=b=c”的充分不必要条件，故选：A. 6.C【详解】由于∫(x)有唯一的零点，所以f(x+1)也有唯一的零点，由于y=x2-l,y=(e+e)均为偶函数，所以 8闭=/八x+为偶系数，因此g0)=f0=-1+2a=0,故a=之故选：C 7.D【详解】依题意， /2)-2a2x-司引向在平管个华位长度得到y=2an[x+引-2m2x到引-2w2a:D 8.A【详解】函数f(x),对x,yER,有fx+y)-f(x-y)=f(x+1)fy-1), 取x=y=1,得f(2)-f(0)=f(2)f(0),而f2)=-2,则f0)=2,对x∈R,令y=1,得 f(x+1)-f(x-1)=f(x+)f(0)=2f(x+1),即f(x+)=-f(x-),因此f(x+4)=-f(x+2)={-f(x】=f(x),函数 f(x)周期为4，令x=y=0,得f()f(-1)=0,而f(x+1)=-fx-),则f)=-f(-1)=0, 所以f(f(2025》=ff)=f(0)=2.故选：A x2 y2 9,.BC【详解】对于选项A双线G:一一方=1的实轴在x轴上，实精长为2a, 曲线G:片-艺1的实轴在y轴上，实轴长为26，所以选项A错误 x2 y2 对于选项B,双曲线C。京1和C:片-1焦距均为28=2厅+B,所以选项B正确 答案第1页，共7页 对于选项C双曲线C:号上 21的渐近线为y=士二x,双曲线C:京- =1的渐近线为y=士x,所以选项C正确， d 对于选项D,双曲线C x2 y2 aF户=1的离心率为e=9.F+: a a 双曲线C2: 一京=1的商心率为e=90+ 一，所以选项D错误，故选：BC bb 10.BcD详解抽b-30+6asin24牛B=0可得6-3a+6aX-cos4+B-0,又A+B=元-C,放b-3a+3a+3 acsC=0. 2 2 cosC=- <0，故C为她角，A错误：又由余弦定理，c0sC.+-C。-力，化简得30+562=30，B正确： 3a 2ab 3a 由正弦定理cOsC= 39inA即3sm4cosC+sinB=0,又A+C=元-B,故3 sin 4cosC+sim(4+C)=0, sin B 即4 sin AcosC.+sin CcosA=0,即4tanA+tanC=0,C正a确： 由上知，C为钝角，故4∈0， tan 4>0,tan B=-tan(4+C)=tan4+tanC=tan 4-4tan4 tan Atan C-1 tan 4-(-4tan A)-1 3tanA 3 3 3 4tan2A+1 -≤ 1 1 4tanA+ 1 4,当且仅当4tanA= tan 4 4.- tan A 千，即tanA=时取等，D正确故选：BCD, tan A 正，ACD【详解】在等腰梯形ABCD中，BC1/AD,BC=D=4,∠A=60,E为AD中点 BC//ED,且BC=ED,∴四边形BCDE为平行四边形， ∴BE/ICD,且BE=CD=AB,又∠A=60°，所以△ABE为等边三角形， 即BE=AB=AE=4,所以四边形ABCE和四边形BCDE均为菱形，∴BE⊥AC,BD⊥AC,OA=OC=25, 0D=V16+4-2×4×2×c0s120°=4W7,翻折后， BE⊥AC,BE⊥AO,BE⊥OC, 又4O,0Cc平面AOC,AOCOC=O,所以BE⊥平面AOC,故A正确： 对于B,平面ABE⊥平面BCDE,平面ABEC平面BCDE=BE,AO⊥BE, A0⊥平面BCDE,0C,0Dc平面BCDE,A0⊥OC,A0⊥0D,AC=2+12=2N6,AD=V12+28=210, Cm=4,则4C+D=40,即4C1D.及m=x26x4=46, 设点B到平面ACD的距离为h, ②四号×号x4x25x258=4号h6h,解得h=6,放B推阅 3 对于C4B与平面4CD所成角的正弦值为力=6 4B￥，故c正确。 对于D,根据题意ACBEA,BE为等边三角形，且平面ABE⊥平面BCE, 设CBE6A,BE外接圆圆心O,O,过O,O分别作平面BCE与平面ABE的垂线，交点M即为球心，连接MB,BO, 答案第2页，共7页 3 心=M8=BC+QM所以E楼候4一BC外接球表面积为S=R2=0, 元，故D正 3 确：故选：ACD, n.2【详料1由鱼线)y-2m(@r一孕o>0)的-个对称中心为（后0，得0-子-经keN, 6 32 解得0=3k+2,∈N,所以0的最小值为2.故答案为：2 乏/行【详解】由腾号公式可.知x+孕m(x+孕引+1cose+孕-lcosxI+1s血x非f闭， 3.交1 当0<a<号时.f+a)由+a+cox+a)l与了不恒相章，故)的最小正周期为受敢答案为至 14.3【详解】方法一：当P2斜率为0时，过F的直线与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设0：=+号P6,X05,4).%>0⅓<0，由x=网+号与y=2x联立，得y-2pmy-P=0,所以 2 为+男=2pm4=-.由西=-3师，得为=-3明，代入%=-，得-3听=，旅听-p公=3p2. 因为M为P吧的中点，所以M点的横坐标为+五， 2 因为点M到1的距离为4，所以十五+卫=4， 22 星+姓 卫+32 即2卫2五+2=4：故6，之+号=4解得P-=3: 2 2 2 21 方法，段0的角为0，则p时-。g0+g由厄-师得0-P期1+。0 3p 1+cose 1-cos0 2则s血0=V-c0s20=5 1 解得cos0= 由点M到1的距离为，得P0=2×4=8,即2。=8，所以p=4sin20=3. 2 sin20 故答案为：3 15.【详解】(1)连结BD交AC于点O,连结S0, B 因为正四棱锥S-ABCD,所以SO⊥平面ABCD, 又ACC平面ABCD, 所以SO⊥AC,因为正四棱锥S-ABCD, 所以四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD,因为AC⊥SO,AC⊥BD,SOBD=O,SOC平面SBD,SOC平面SBD, 所以AC⊥平面SBD,又SDC平面SBD,所以AC⊥SD: 答案第3页，共7页 (2) S D 因为OS⊥OB,OS⊥OC,OB⊥OC, 所以以O为原点建立空间直角坐标系0-2， 40,-1,0),S0,0,√3)，C(01,0),D(-1,0,0). 所以4=(0，-1，-V5),D8=L,0,5, -而+m-而+西1-0r9}- 所以cos(S4,C乎= a.c乎√ 阿 28' 因此异面直线S1与CP所成角的余弦值为 8 16.【详解】(1)设等比数列{an}的公比为g(q>0), 因为4，a,a-8构成等差数列， 所以2a2=4+4-8,即4g=2+2g2-8,解得9=3或q=-1(不符合题意舍去)， 所以an=2×3-: (2)令Sn=a4+ab+a4+…+ab, 当n=1时，a,b=2, 当n22时，a,b.=S。-S=2(n-1)3”+2-[2(n-2)3+2]=2×3=(2n-1), 显然n=1时也满足上式， 因为an=2×3-1,所以b,=2n-1, muc点en-l2西{3品》 所=G++G++--+)0-2)=2 答案第4页，共7页 17.【详解】(1)a=1时，因为f(x)=e-x-l,所以f(x)=e-1, 所以当x<0时，f(x)<0,当x>0时，'(x)>0,所以f(x)在(-o,0)上单调递减， 在(0，+oo)上单调递增，所以f(x)=f(0)=0. (2)因为x>0,所以f)≥x2等价于a<--l ◆g间=-则gw--lg-x-l, 由(1)得x>0时，f(x)=e-x-1>0, 所以当0<x<1时，g(x)<0,当x>1时，g(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以g(x)mn=g(1)=c-2, 所以a≤c-2. 18.【详解】(1)依题意，平均值 星000×100x55+200x65+300x75+240x85+160×99=76d 0.1+02+0.3=0.6<0.75,0.6+0.24=0.84>0.75, ÷上四分位数落在区间80,90)，且等于80+0,75-0.6×10=8625. 0.24 (2)由样本数据可知，训练成绩在[50,60)U[70,80),[60,70)之内的频数之比为2：1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在[50,80)中随机抽取了6次成绩， 在[50,60)U[70,80)之内的4次，在[60,70)之内的抽取了2次， 所以X可取的值有：0,1,2， P(X=0)= 等-合mx-0-8-音x=-是- cg151 分布列为： X 0 1 2 2 8 1 P 5 15 15 2 8 12 B(X0=0x号+1 +2× 15 153 (3)法一：设事件4,4,4分别表示动作优化前成绩落在区间[70,80)，[80,90)，[90,100]， 则A,A,A相互互斥，所以动作优化前， 答案第5页，共7页 在-次度赛，人复率P4U4)=风+月湖调04 设事件B为"动作优化成功”，则P(4)=P(A2)=PB)=P, 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：4UA,武U4,且事件4B,4B,4相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 P(4民U4武U4)=八4+氏4商+氏)=氏四片B4+東4中B4+R多 做P4UU4)小-器P+温+0+o16. 1000 4 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：乃 240+160_2=0.4, 10005 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间[70,80)或[80,90)的成绩。 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 300 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率乃一1OO0 240 160 + 1000 =0.54p+0.16 1000 由0.54p+0.16>0.4,得p>4 设【件】》品由双线C:号-茶-1，可得右丽点为a0,其种一来新运线方租为：乌。 因为双自战C经过点亿)，可得子京山。 又因为右顶点到新近线y=之x的距离为6，可得 ab-16 3 a+b23 联立方程组，解得a=V反，b=1,所以双曲线C的方程为 2y2=1 (2)解：()由双曲线C: 5，即x±V2y=0. 1 -y2=1,可得渐近线方程为y=士 2 设直线1的方程为x=my+2,且M(,片，N(:,y4A(名，)，B(x,y), x=my+2 联立方程组 2 y=1'整理得(m-2y2+4y+2=0. 则m2-2≠0且△=(4m)2-8(m2-2)>0,解得m≠√互， 4游 2 可得为+%m二24m-2: f-0+w--号-5 6.ms16 16 m2-2 m2-2m2-2 答案第6页，共7页