新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆实验中学2025-2026学年高三上学期起点检测（第一次月考）数学试卷

新疆实验中学高三起点定位检测（第一次月考） 数学试卷（问卷） (卷面分值：150分考试时闻：120分钟) 注意事项： 1,本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页。答卷4页。答题前请考生务必将自己的班级、姓 名、准考证号的信息填写在答题卡上。 2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡 卡面清洁、不折叠，不破提、不能使用涂改液、修正带， 3.考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小顾5分，共40分，在每小题只有一项是符合题目要求的， 1已知集合A-{-5<<5,B-{-3.-1,0,23引，则AnB A.-l,0 B.23到 C,13-1.0 D.-1.0.2H 2.已知通数-mmx+引则/ A.0 8.-2025 C,2025 D.4050 3调和信号是指類率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信 号的策碱已知一个阅和信号的函致为)-二。它的图象大致为 c D. 4.已知a,B(引cos(a+音 5 tana+tan B=3.cos(a-B)= A B.13 c D.1 5.设x,高是函数f(x)=x'+四2+x+1的两个极值点，若+3%=2，则a= A.0 B.1 C.2 D.3 高三数学第1典共4则 6.定义运算： -a4,-a,4,将函数f)- 5血叫的图像向左平移号个单位。所餐像对安 1 cos cx 的函数为偶函数，则@的可能取值是 A寻 7 8.4 C.3 7.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,aosB=(2c-b大sA,设AM是△ABC 的高。则AM的最大直为 A. B.95 c 0.35 4 2 8.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f),且当x(0门时，f(x)=x(x-1)若对任意xe(-,m, 部有2多则m的取值范足 (别 c（ (周 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9,《几何原木》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理何题的重要依据根 据这一方法，很多代数公现、定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明“如图所示，AB是半圆O 的直径，点C是AB上一点（不同于A,B,O),点D在半强O上，且CD⊥AB,CE⊥OD于点E.设1AC-a, BC一b,则该图形可以完成的“无字证明“为 A画c生”e>ab0u B.atb<2ab (@20.b>0.ab) 2ath C. +F,g+ha>0.b>0a+b .2 2 10。在直角坐标系内，由A,B,C,D四点所确定的“N型函数指的是三次承数 f(x)=r+hx2+口+d(a≠0)，其图象过A,D两点，且f(x)的图像在点A处的切线经过点：，在点D处 高三数学第2到共4项 的切线经过点C,若将由A(0,0),B(1,4),C(3,2),D(4,0)四点所确定的N型函数"记为y=f(x),期下 列选项正确的是() A.曲线y=f(x)在点D处的切线方程为y=-2r+8 B.f-40-8) C.曲线y=f()关于点(4,0)对称 D,当4≤x≤6时，fx20 11,记△AC的内角AB,C的对边分别为a,b.c,已知A是△ABC的最小内角，且nA为整数. c0s4+asinC=2、2,则下列说法正确的是(） A4-员 B。c=3 C,当C>B>A,且nB也是整数时，nC■-3 D。△A8C面积的取值范国是 99 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.log,+log. .已知m经+小子则ma-} 14.)是定义在实数集是上的奇函数，xR,f0+)=1-x),若f)=1,则 f0+2f(2)+3f(3)+…+10f10)= 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15(本小题满分13分)已知幂函数f()=x“(实数meZ)的图像关于y轴对称，且f(2)>3). (1)求m的值及函数f(x)的解析式： (2)若f(a+2)<f1-2a),求实数a的取值范围 高三数学第3典共4则 16.(本题满分15分)在△ABC中，角4.B.C的对边分别为a,b.c.已知asin B=√动osA,c-2b=1,a=万. (1)求A的值： (2求c的值： 3引求sin4+2B的值 7.(本小题满分15分)已知a>0函数国-c(匹- x-1 (1山若a=2,求f(x)的单调区间： (2)若(x)在(2，+四)上不单调，果a的取值范围. 18(休题满分辽分)已知函数/2ncsp+2血p-4如管p(o>0<小.其国像的一条 对称轴与相邻对称中心的横坐标相差子一从以下两个条件中任选一个补允在空白横线中 ①函数/(x)的图像向左平移票个单位长度后得到的图像关于，轴对称且f(0)<0: ②通数的像的一个对称中心为合0且/得引0， 1)求函数f(x)的解析式： 省美于x的方程2-引加有实根。求实数的取值高 L9.(木题满分17分)已知函数f(x)■e-加x+na。 (1)当a■心时，求曲线y=f(x)在点(1，f()》处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积： (2)若不等式f(x)之1恒成立，求a的取值范围 高三数学第4與共4则 第一次月考解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2．已知函数，则（   ） A．0 B． C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解. 【详解】因为， 则， 故. 故选:B. 3．调和信号是指频率恒定的一种信号，三角函数性质可以表达调和信号的周期性，指数函数可用来描述信号的衰减.已知一个调和信号的函数为，它的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在内的零点个数和奇偶性判断. 【详解】解：令，则，，解得， 则在内有两个零点，故排除选项A，D， 又不具有奇偶性，则图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除选项C， 故选：B 4．已知，，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】确定，计算得到，，计算得到答案. 【详解】，化简得， 故，解得， 又，则， 故. 故选：D. 5．设是函数的两个极值点，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果. 【详解】由题意得，又是函数的两个极值点， 则是方程的两个根， 故， 又，则，即，则， 则，所以，解得， 此时. 故选：C． 6．定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合辅助角公式可得，根据图像变换结合诱导公式可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 将函数的图像向左平移个单位，所得， 因为为偶函数， 则，解得， 可得，结合选项可知：B正确，ACD错误. 故选：B. 7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，设是的高，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结合正弦定理和三角函数恒等变换公式可求得，再结合余弦定理得，从而可求出三角形面积的最大值，进而可求出的最大值. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以由余弦定理得， 当且仅当取等号， 所以，当且仅当取等号， 因为是的高，所以， 所以，当且仅当取等号， 所以的最大值为. 故选：D 8.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．    【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 二、多选题 9．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，），点D在半圆O上，且，于点设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知，根据题意，借助射影定理和勾股定理，表示出各边关系，即，，，然后根据四边长度关系即可比较大小. 【详解】连接AD，BD，在上取一点，使得，连接， 由， 根据图像，在中，由射影定理可知：， 即， 又， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， 因为 由勾股定理可知：， 选项A，由图像可知，，所以，选项A正确； 选项B，由图像可知，，所以，选项B错误； 选项C，由图像可知，，所以，选项C正确； 选项D，由图像可知，，所以，选项D正确； 故选：ACD. 10．在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B． C．曲线关于点对称 D．当时， 【答案】ABC 【分析】A.根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B.根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C.由B得到判断；D. 由B结合，有，判断. 【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确. 因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确. 由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确. 当时，有，，所以，故D不正确. 故答案为：ABC. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题. 11．记的内角的对边分别为．已知是的最小内角，且为整数，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当，且也是整数时， D．面积的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件易得，即可判断；对于B，利用正弦定理计算即得；对于C，根据也是整数，且，可分和两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于D，由正弦定理推得，结合，利用正切函数的单调性即可求得面积的范围判断. 【详解】对于A，因是的最小内角，则，又因为整数，故，可得，故A正确； 对于B，由，，可得， 由正弦定理，，可得，解得，故B正确； 对于C，由，可得，因，且也是整数， 若，因，则，则， 此时，符合题意； 若，则，同理，此时，，不合题意， 随着取更大的整数，的值逐渐减小，不合题意， 故当，且也是整数时，，故C错误； 对于D，由正弦定理，和，可得， 因是的最小内角，则，，则. 当时，，的面积为， 当时，， 因，则，，故， 综上，面积的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 3、 填空题 12． . 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算性质将对数化为同底数的对数，再进行运算. 【详解】解: 【点睛】本题考查对数的运算，熟记运算法则是解题的关键 13．已知，则 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】利用诱导公式得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以， 所以. 故答案为：. 14．是定义在实数集上的奇函数，，，若，则 ． 【答案】49 【难度】0.65 【知识点】函数的周期性、抽象函数的奇偶性、函数对称性的应用 【分析】首先根据题意可知函数是周期为的周期函数，然后再根据周期以及，即可求出结果. 【详解】∵对，，∴函数的图象关于直线x=1对称，又是定义在实数集上的奇函数，∴对都有成立，即函数是周期为的周期函数，∴；所以，故填49. 【点睛】本题考查了函数的对称性及周期性，一般的对于函数有一条对称轴和一个对称中心的周期为. 四、解答题 15．(本题满分13分)已知幂函数（实数）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数（实数）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递减函数， 所以，解得， 又由，且函数（实数）的图像关于轴对称， 所以为偶数，所以， 所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递减函数， 所以不等式，等价于且， 解得或， 所以实数的取值范围是. 16．（本题满分15分）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 17．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，令即可求解； （2）求导可得，设，则，解之即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 18．（本题满分15分）已知函数，其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中. ①函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称且； ②函数的图像的一个对称中心为且. (1)求函数的解析式； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换化简，然后由条件可得，根据正弦型函数的性质结合条件即可求得； （2）根据题意，将方程根问题转化为两函数交点问题，再结合换元法求得 的值域，即可得到结果. 【详解】（1）因为 ， 又其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差， 所以，即，所以，即， 若选①，则函数向左平移个单位长度后为， 又其为偶函数，所以，即， 又因为，且，所以，所以； 若选②，因为函数的图像的一个对称中心为， 则，即，所以， 又因为，且，所以，所以， 故无论选①还是选②，都有 （2）因为 ，令，则， 即，则 则方程有实根，即与有交点，所以，则. 19．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$